3.1不等式的基本性质（解析版）.docx

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1、 3.1 等式的基本性质组一维练基础题型一：由条件判断所给不等式是否正确1. （2021四川宜宾高一期末）假设ab, ceR,那么（）A. acbcB. ac2 bc2C. yD. b-a0 a b【答案】D【点拨】当c=0时，直接排除A、B、C选项，再由不等式的性质得D正确即可.【详解】对于选项A：当c=0时，不等式用=松，故A不正确；对于选项B：当。=0时，=心,故B 不正确；对于选项C：当c = 0时，- = 7 = 0,故C不正确；对于选项D：因为所以6-4，JMa2 b2B.假设|4b,那么C.假设/ 护,贝假设。网，那么【答案】D【点拨】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可

2、得D正确.【详解】对于A,当。=-1/=-2时，满足，不满足/从，故a不正确；对于B,当 =-1, = -2时， 满足1。1不满足/乩故b不正确；对于C,当a = -2,力=-1时，满足/从，不满足故c不 正确；对于D,假设。怜|20,那么/|次=从，故d正确.应选：D.3. 以下命题正确的选项是（）A.假设acbe ,那么 aAB.假设 ac = be , jlW a = bC.假设 a b ,那么， be2，那么 a b【答案】D【点拨】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A,假设evO,由得：a b , A错误：对于B,假设c=0,那么ac = Z?c = 0,此时a = 未【

3、答案】证明见解析【点拨】根据题意证明成+权, + M 0,所以 + 权, + ca 0.mol 11 ab + bc + ca . 八 , 八因为一+ 7 + =；， abc0. abc10.设2a7, b2,求a +劝，2a-b,f的范围. b【答案】5va +劝13, 2V加一人13, l-7 b【点拨】根据不等式的基本性质，先求出。+给与2-的范围，再由可乘性得出?的范围即可. b【详解】2。7, b2,，4v2/714, 33Z?6, -2-h-, -l , 2 b5 4 + 3 v 13, 22(i-b13 ,h故5a + 313, 22/一方13, l-7. b组三维练素养厘1%.

4、1 .那么()A. 2b(a-c)C. -D. (67-c)3 (Z?-c)3 a-c b-c 7【答案】D【点拨】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.【详解】解：对于A,因为aZ?c0,所以a + Z?+ab+c , K|J 2ab+c,故错误；对于 B,取 = 3 = 2c = I 0,那么(。一c) = 3v(a-c) = 4,故错误；对于 C,由a8c0,得一e一c(),所以，故错误；对于D,由得.一cb-c0 ,所以(4一域 (力一，那么4C0cB.如果。，那么。02反2C.如果“，那么 - D.如果a，c一d c c【答案】D【点拨】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出

5、答案.【详解】对于A,如果c=0,那么a=从，故错误；对于B,如果c=0,那么加2=此2,故错误；对于C,如果c0,那么色2,故错误； C C对于D,如果c 一 d,由“，那么a-cZ?-d,故正确.应选：D.3 .4=&, b=五-瓜C = y/6-y/2,那么。，b, C的大小关系为（）A.a cbC. c abV）. cb a【答案】B【点拨】通过作差法，a-b = 6 +6-8，确定符号,排除D选项；通过作差法，a c = 2亚-娓，确定符号，排除C选项；通过作差法，-c = （5+ &）-（而+6），确定符号，排除A选项；【详解】由- =& + 6-近，且（近+ 6）2=5 + 26

6、7,故。/八由-c = 2应-指且（2&尸=86,故ac； 一c = （a/Y +月.（5/ += 9 + 2719 + /） 故c/?.所以a c 。，应选：B.4 .以下说法正确的有（）A.假设ab,cb-d B.假设a bO,ccd 0, IjliJ ac bc。,贝lj D.假设那么:a bb b+c【答案】AB【点拨】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B：利用同向不等式相乘可以证明；对于C：利用不等式的可乘性可以判断;对于D：取特殊值。= 3,6 = 2,c = l可以判断.【详解】对于A：因为c-d,利用同向不等式相加可以得到：CLC-.故A正确；对于B：因为c4-40,又因

7、为,利用同向不等式相乘可以得到：-cicT?d ,所以/?c0,所以一.因为c0,所以一.故C错误：对于D：取特殊值 a ba bn 3 a + r 4a = 3“ = 2,c=l满足a“c0,但是g = L 所以 b 2 b+c 3产.故D错误. b b + c应选：AB5 . (2022,广东深圳科学高中高一期中)以下说法正确的选项是()A.假设a Z?0 ,那么, b 0, m 0,那么+ a ba + in aC. ab0,贝/一4人?d.假设。Z?0,贝卜426(?2【答案】ABC【点拨】根据不等式的性质判断AD,结合作差法比拟大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为人0,故二0,

8、故0/匕0, ?(),aba bb + m b a(b + m)-b(a + m m(a-bb + m b故a0, a + 0,故=-Z = 4(0,即竺”9,正确；对于C选项,由于故 a-b0, t/3 - b3 - a2b + ab2 =a2(a- b) + b2 (a-b) = (a-b)a2 + b2) 0,即a5 -b3 a2b-ab2，正确；对于D选项，当c = 0时，ac2 = be1 =0,故错误.应选：ABC. (2021上海市杨浦高级中学高一期中)久b、ceR,以下命题中正确的选项是(将正确命题的序号填在横线上)假设ab,那么42儿2； 假设a0, jjlijA0,那么a0

9、; 假设那么|a + ll + c|. a【答案】【点拨】取c=0检验即可；和利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；取a = l,b = 0,c = -2检验即可【详解】假设当C = 0时，那么念2 =从2 ,故错误;假设空。0,不等式两边同时乘以二，那么, ab a b 故正确；假设20,不等式两边同时乘以/,那么曲0,故正确；假设abc,当a = l2= 0,c = -2时， a那么|a +勿出+ c,故错误：故答案为：6 .设a/eR,那么+尸+2之2+ 2中等号成立的充要条件是.【答案】4 = 1且 =1.【点拨】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可

10、.【详解】由题设，a2 -2a + + b2-2b+ = (a-)2 +(b-)2 0 ,.要使等号成立，那么a = 1且8=1,当 a = l 且 =1 时，有a?+2 = 4,2。+ 2 = 4, HP a2 +b2 + 2 = 2a + 2b综上，a = 且Z; = l是a2+/+222a + 2中等号成立的充要条件.故答案为：。=1且6 = 1.8,试比拟以下组式子的大小：(1)4+1与五-4-1 ,其中xl ； (2)M+A = - + -,其中。0,力0； (3) + a +b + a +ba- +h-与， ab0. a + b【答案】(l)Jx+l-五五-Jx-l ；(2)M-

11、a + b- a + b【点拨】通过比拟了/尸与/ 的大小来确定与的大小;通过作差 Jx+Jx JX + Jx-法来比拟M,N的大小；(3)通过作差法或作商法比拟与伫1的大小.a +b-a + b【详解】(1)解：4x+-y/x = -，4x-4x= r .-,VA + 1 + Vxx/x + V-V-1因为 y/x+ + fx fx + Jx-1 0， x/xTT + /x 4x + Jx-即 yx+ -x 0, b(),所以(l + a)(l+)0, -(a-h)22 )(+/)(2 +/?2)( + /?)因为 ab0,所以 a + b0, a-bOf Ictb 0 , a1 +b2 0

12、 .2ab(a-b) 所以(/+6)(, + )09匚 ri Q_a b所管中方法二（作商法）因为所以J=o, =0, 2c活0,a +ba + ba1-b22所以= 匚r/J21 22 f2，)b a +b- a +b- a +Z? a + b口- a -h a b 所以kF9.证明以下不等式 （1）假设 bc-acm0, bd0,求证：4。b d（2） a0, b0,求证：+ a + b b a【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【点拨】（1）运用作差比拟法得罕-邛K0,由此可得证; b d（2）作差，判断符号得偿+与）-（。+ 6）2由此可得证.【详解】证明：（I）因为竺2一&

13、=担电色二回也=正生，又权-在0, bd0, b dbdbdrc. ad-be, a + b c + d所以. W。，所以一4一： bdb d因为偿+。/ + ）=-八一加=（。叫（。叫；又心o, Q0,所以也皿二尤0, b a Jabab而所以+22 +江 b a10.假设4 e (0+8),那么10.假设4 e (0+8),那么2a+b a + 2 3（1）假设存在常数使得不等式2a+ b a + 2b+ a + 2b 2a + b对任意正数a，b恒成立，试求常数M的值，并证明不等式：M证明不等式:+a + 2b 2a + bb L3a +2b 2a + 3b 2a + 3b 3a + 2

14、b2【答案】证明见解析；（2）证明见解析.【点拨】（1）令= 即可求解例，利用不等式性质即可证明不等式；（2）从原不等式入手，对原不等式变形, 通过分类讨论与匕之间的大小关系即可证明.222【详解】证明：（1）当。=时，故知二, JJJ+a + 2b 2a+ b(a + 2b) - 2b +(2a + b)- 2aa + 2b2a+ b_ _z b a 、 a b 2= 2-2(+),且+-,a + 2b 2ab2a + b a + 2b 3利用不等式性质可得.七,（2）欲证（2）欲证a b , a b +3a + 2b 2a + 3b 2a + 3b 3。+ 2b只需证明367 + 22?

15、3a + 2b2a + 3b 2a + 3ba-b - a-b, 3a + 2b 2a + 3b当=）时，显然不等式a-b ，即4一/?0,故a-b 2a + 3b ,由广。，、显然3。+ 2/?22。+ 38成立,故原不等式a b a b+0人时，-0i C错误；对于D,当仇此2时，由不等式性质知: a bab, D正确.应选：D.4. （2021.上海上外附中高一期中）。力为非零实数，且ab,那么以下命题成立的是（）A. a2 2 B. a2bab2C. 从=,所以A错误，对于B,假设a = -2,b = l,那么九=4加=_2,所以B错误，对于C,假设 =-2,。= 1,那么2 =_（：

16、 = -2,所以C错误，a -22 h对于D,因为。,二为非零实数,所以/从0，因为所以$ ，即一士，所以D正确，crb ab- ab crb应选：D5.设a,be R,那么0,再考虑充分性和必要性得解. a b ab【详解】解：a b a b ab当av0,所以!,所以是的充分条件；当号0时，有可能 aba ba babba0,不一定有。少0,所以人（T是的非必要条件. a b所以“ a y ”的充分非必要条件.a b应选：A题型二：由不等式的性质比拟数（式）的大小.a + 0, b-b-aB. a-b-abC. a-bb-aD. a b-a -b【答案】c【点拨】根据不等式的性质求解即可.

17、【详解】因为 +力0, Z?- ,所以由不等式的性质得，a-bb-a.应选：C.x0,0y x 冷FB. xy xy1 xC. x xy a）?2D. x xy2 xy【答案】C【点拨】由不等式的基本性质可得答案.【详解】由。yV，可得孙工广应选：C3. （2021.上海市甘泉外国语中学高一期末）假设、氏CWR,且且比0,那么以下不等式中正确的 是（）A. cb2 ab2 B. c（b-a）acD.呢（a-c）0【答案】C【点拨】由c（）,（）,再利用不等式的性质对选项逐一判断.【详解】由ac O,cv。，假设 =0,那么加=加，故A错误；因为cvO, 一 a0, B 错误；aOybc,所以故

18、 C 正确；ac0,所以 ac（a-c） c,那么以下不等式正确的选项是（）A. ci + cbB. acbcC. !一D.丝-c,所以对于A：当a = 3, b = 2 , c = -5时， + c人不成立，故A错误；对于B：当a = 3, b = 2 , c = 0时，a c = b c 9故B错误；对于C：由于所以a-c力一 c、(),故，c=0,那么一 c cB.如果a。，那么/ bC.如果a，cd,那么 a + d + cD.如果a人，cd,那么 a-dZ?-c【答案】D【点拨】根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.【详解】4hcv0时，-所以选项A错误；0a时，a2h所以选项B错

19、误；取 C C = 3,Z? = 2,c = -2,f/ = -5 ,此时，a + d d 时，-d -c,又 ab :.a-db-c选项D正确.应选：D.题型三：作差法比拟代数式的大小.!:(),那么以下结论正确的选项是() a bA. abB. a+b 同 D. ab b【答案】B【点拨】结合不等式的性质、差比拟法对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】因为所以 。0，故A错误；因为bva0,所以。+0,所以a + bab, a b故B正确：因为 a可不成立，故C错误；ab-b2=b(a-b),因为 a0,ab-b2=b(a-b)0,所以仍 那么()A. tsB. tsC. YsD. t

20、s【答案】C【点拨】作差法即可比拟大小.【详解】/-5 =(2 + 2/7)-(2+2/74-1)= -(-1)20,故rKs,当。=1 时，t=s.应选：C.bA a2b- b aa2b d3 - - a b1 .。-1/kO.那么()A. bA a2b-B, a bC. -b3 b,= 0 即一 一b a ab b a：.a2b-b3=b(a2-b2),即/bv/；力上加一1) NB. M = NC. M N.应选：A.设例=2(-2), N=(a+l)(a-3),那么有()A. M NB. M NC. M 0,M N ,应选：A.题型四：根据不等式的性质证明不等式. （2022广东中山高

21、一期末）以下结论正确的选项是（）A.假设ab ,那么acB.假设ab ,贝lj, be?，那么 aD.假设 ab ,那么 a?。？【答案】C【点拨】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B：取 =-1进行否认；对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对丁 D：取。=1, = -1进行否认.【详解】对于A：当“时，假设取c40,那么有acW灰.故A不正确；对于B：当时，取。=1/=-1时，有上?故B不正确;对于C：当a/ 布，两边同乘以,那么故C正确;对于D：当取 a bc-时，有.故D不正确.应选：C.1 .以下命题中正确的选项是（）A.假设 a

22、 b,c d ,那么呢,/WB.假设 ac be ,那么C.假设ab,cd ,那么a-cb-D.假设二，贝ijab c c【答案】D【点拨】ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立.【详解】对于 A,令 =l,b = -l,c = -2,d = -3,那么ac = -2 反，但 a o,不等式两边同乘以得：ab, D选择正确.c c应选：D2 .证明：cvb, bca.【点拨】根据不等式的性质证明即可；【详解】证明：因为c，所以cb0, b-a0,所以（c-）+（。a） 0 ,即c0,所以c0, cd 0,证明：ac bd.【点拨】利用不等式的性质证明【详解】证明：由

23、力0, c0 ,那么?加?0,又。4 02 0, KO be bd , X ac be , toac bd.3 ./?(), cede。, ?0,求证:a-c b-d【点拨】（1）由cd-d0,再利用不等式的加法性质，相加，化简即可得证.（2）由（1）知一b0, -c-d 0, :.a-c b-d 0=! a-c b-d（2）又加 , m t a-c b-d组二维练能力. （2021江苏盐城市田家炳中学高一期中）也其R, ab,那么说法正确的选项是（）A. acbeB. a + ch + cC. b2 a b【答案】B【点拨】根据题意，结合不等式的性质，一一判断即可.故B正确；对【详解】对于选

24、项A,当evO时，ac/）,得a + c + c,于选项C,当。0时，-7，故C错；对于选项D,当0八时，2a0,那么以下不等关系正确的选项是（）A. -B. 0- 2Z?D.： =，a+b = 57 = ,故 A, C, D 错误.a 2 b 3a 2 b 3由0,得:0,所以故B正确. bb应选：B.3.设/）, cb + dB. acbdC. a-cb-d D. a-db-c【答案】C【点拨】对于选项A, B, D举反例，对于C,按照不等式的性质推导即可.【详解】令。=1, b = - , c = - , d = l,满足cd ,但a + b = b + d, ac = bd , a-d

25、 -b-c，故 A, B, D 错误；由 c-d ,由不等式性质可知一d ：应选：C.4. （2022四川自贡高一期末（文）对任意实数命题：假设 ab,c0 ,那么 ac be ：假设 ab,那么 ac2 be2;假设 ac2 be2,那么 a .假设/ bab L a b其中真命题的个数是（）A. OB. IC. 2D. 3【答案】C【点拨】取evO可判断的正误；取c=0可判断的正误；利用不等式的基本性质可判断的正误；判断。力的正负判断即可【详解】对于，假设a，evO ,那么错；对于，假设c=（）,那么ac? =bc2 ,错；对于，Tiac2 bc1,贝由不等式的基本性质可得对；对于，假设而

26、oA,那么 a b对，应选：C.假设1vav3, 2Vb5,那么2一3+1的取值范围为.【答案】【点拨】根据。力的范围求出勿,一3的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得2a-3+1的范围.【详解】解：因为lav3,所以2v2av6；又因为2v = V7-V3, c = V6-V2 ,那么。，b, c的大小关系.【答案】acb44【点拨】依题意可得b =在R，c=娓+正,即可得到人c,再由=2, rc,从而得解：详解解：因为力二b-6 =五:6,. =,因为 0 V /6 + /2 所以 /y+ 所以 Z? V C ,而片=2，Kijc2 =(V6-V2) =8-2/i2 =8-748 。，

27、所以。c.故答案为：acb.设 4、b、c、JeR, a + c + d”是且 cd”的 条件.【答案】必要非充分【点拨】根据充分性和必要性的概念以及不等式的性质可得答案.【详解】a + cvb+d不能推出avb且cvd,如3 + 12 + 3,由不等式的性质，a b H.cvd可推出a + cv+4 ,所以“a + c + ”是“。且cvd”的必要非充分条件故答案为：必要非充分.6 . -70,那么以下不等式：ab,ab?cb, +力中正确的不等式的序号为 a ba b【答案】【点拨】结合不等式的性质以及差比拟法确定正确答案.【详解】由于,?。，所以a a2, ab0.所以错误.b_a/L-a()ba所以错误 a b an a bair -crb = ab(b-a) 0、加 v ab,正确.止确.1 一 Ao-故答案为：.设“，b , cg R , a+ + c = O, abc 0,证明