2022年全国统一高考试卷试卷（新高考Ⅱ）.docx

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1、2022年全国统一高考数学试卷(新高考H)一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个 选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1. (5 分)集合人= 1, 1, 2, 4,B=x| |x1| W1,那么 AGB=( )A. -1, 2B. 1, 2C. 1, 4D. -1, 42. (5 分)(2 + 2i) (l-2i)=()A. -2+4iB. -2-4iC. 6 + 2iD. 6-2i3. (5分)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BBZ , CC , DD/是 桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的 示意图，其中DDi，CC】,

2、 BBi，AAi是举，OD DCV CBV BA1是相等的步，相 邻桁的举步之比分别为黑=0.5,卷=%，|fi=k2,普=1 = b98,那么 t=()A. 16B. 15 C. 5D. 65. (5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，假设甲不站 在两端，丙和丁相邻，那么不同的排列方式共有()A. 12 种B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种6. (5 分)假设 sin(a + 0)+cos(a + 0) =2 cos (a + sinp,那么()A. tan (a-0) =1B. tan (a+0) =1C. tan (a-0) = 1D. tan (a+0) =

3、 17. (5分)正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为38和4百，其顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为(综上，该球的外表积为IOOtu应选：A8. (5 分)函数 f (x)的定义域为 R,且 f (x+y)+f (xy) =f (x)f (y), f(1) =L 那么f(k)=()A. -3B. -2 C. 0D. 1答案：A解析：令 y = l,那么 f (x+1) +f (x 1) =f (x),即 f (x+1) =f (x) f (x 1),Af (x + 2) =f (x+1) f (x),f (x + 3) =f (x + 2) f (x+1),/.f (x + 3) =f

4、 (x),贝lj f (x + 6) =-f (x + 3) =f (x),Af (x)的周期为6,令 x = l, y = 0 得 f (1) +f (1) =f (1) Xf (0),解得 f (0) =2,又 f (x+1) =f (x) f(X1),：.f (2) =f (1) -f (0) = -1,f (3) =f (2) -f (1) =2,f (4) =f (3) -f (2) =-l,f (5) =f (4) -f (3) =1,f (6) =f (5) -f (4) =2,= l l 2 1 +1 + 2 = 0,跄if(k) = 3X0 + f (19) +f (20)

5、+f (21) +f (22) =f (1) +f (2) + f (3) +f (4) =-3.应选：A二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得 0分。(多项选择)9. (5分)函数f (x) =sin(2x + (p) (OVcpVn)的图像关于点(学,0)中心对称，那么()A. f(x)在区间(0,工)单调递减B. f(x)在区间(-看，詈)有两个极值点C.直线x=?是曲线y = f(x)的对称轴 6D.直线y=x是曲线y = f(x)的切线答案：AD解析：因为f (x) =sin(2x + c

6、p) (0(pVii)的图象关于点(丁，0)对称, 所以 2X与+(p = kn, kGZ,所以(p = kir一拳因为OVcpVm所以q=字故 f (x) =sin(2x + y),令32x+等季解得一陞:x0）焦点 F的直线与C交于A, B两点，其中A在第一象限，点M（p, 0）.假设|AF| = |AM|, 那么（）A.直线AB的斜率为2乃B. |OB| = |OF|C. |AB|4|0F|D. Z0AM+Z0BM2p = 4|0F|,故 C 正确; 4312侬|2=警，|0B|2=(, |AM=誓，阶|2=嗒，|OM|=p,V|OA|2 + |AM|2|OM|2, |OB|2 + |B

7、M|2|OM|2,NOAM, NOBM 均为锐角，可得 NOAM+N0BMV180。，故 D 正确.应选：ACD（多项选择）11. （5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED_L平面ABCD, FBED,AB = ED = 2FB.A. V3 = 2V2C. v3=v1+v2答案：CD解析：设 AB = ED = 2FB=2,B. V3fD. 2V3 = 3%平面 ABCD,，I ED |为四棱锥EABCD的高,VFBED,I FB|为三棱锥FABC的高,平面ADE平面FBC,点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离,即三棱锥EFBC的高=|DC | =2,几何体的体积 V=Ve_ab

8、cd+Ve- fbc+Ve-abfuIxSabcdXIEDI+IxSmbcx|dc|+；xsaABFx|ab|=4,1Vi=-XSaACDX|ED1=*记三棱锥EACD, FABC, FACE的体积分别为V:V2, V3,那么V?=X Sabc X I FB I =， ooV3=V-V1-V2 = 2.故C、D正确，A、B错误.应选：CD(多项选择)12. (5 分)假设 x, y 满足x?+y2 xy=l,那么()A. x + ylB. x + y2一2C. x = x2+y2xyx2+y2 +x +y = 3(x +y , 2/.x2+y2|,故 D 错误.应选：BC三、填空题：此题共4小

9、题，每题5分，共20分。13. (5分)随机变量X服从正态分布N(2, a2),且P(22. 5)=.答案：0.14解析：随机变量X服从正态分布N (2, 02),AP (2VXW2.5) +P (X2. 5) =0.5,AP (X2. 5) =0.5-0. 36 = 0. 14,故答案为：0. 1414.(5分)曲线y = ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.+y22D. x2+y2l答案：BC解析：对于 A, B,由x?+y2xy=l 可得,(x+y)2 = 1 + 3xy1 + 3()2,即；(x+y)2Wl,(x+y)2W4,.-2Wx+yW2,故 A 错，B 对, 2 I 2对

10、于 C, D,由x2+y2 xy=l 得，x2+y2xy = xy-, 2Ax2+y22,故 C 对； 0时，y=lnx,设切点坐标为(X。，lnx0),.,iy = 一， X切线的斜率k=L, X。切线方程为ylnx()=工(xx0), x0又丁切线过原点，lnx0 = 1,x0 = e,，切线方程为 yl=(x - e),即 x ey = O,当x 丫2)，线段AB的中点为E,由五十琏=1,遗+或=1,6363相减可得：44=-p%2-12那么kEkAB=泞入1十42 %2冗1 42尢1/设直线 1 的方程为：y = kx + m, k0, M (, 0), N (0, m), k/ 1

11、1 E ( 9 -) 9 KqF k, 2k 2Ub一kk=-3 解得 k=一当,V |MN|=2V3,怛+ m2 = 2C,化为：+ 巾2 = 12.7 kzkz/. 3m2 = 12, m0,解得 m=2.* 1 的方程为 y= x + 2,即 x+Vy 2加=0, 2故答案为：x + V2y-2V2 = 0四、解答题：此题共6小题，共70分。解容许写出文字说明、证明过程或 演算步骤。17. （10分）aj是等差数列，bj是公比为2的等比数列，且anb2 = a3-b3 = b4-a4.（1）证明：a1=b1；（2）求集合k|bk=am+ai，lWmW500中元素的个数.解答：（1）证明：

12、设等差数列aj的公差为d,由a2bz=a3b?,得a1+d2bl=ai+2d4b那么 d=2bx,a2b2b4 a4, 得a-d2b1=8上一（% + 3（1）,即 a1+ d 2bi =4d （a1 + 3d）, a1=b.(2)由(1)知，d = 2b1 = 2a1,由氏=2血+ 21知I,bi 2k-1=b1+ (m1) 2b1+b1, BP2k-1 = 2m,又 lWmW500,故 2W2kT1000,那么 2WkW10,故集合k|bk = am+ai，lWmW500中元素个数为9个.18. (12分)记AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,分别以a, b, c为边长

13、的三个正三角形的面积依次为Si，S2, S3.Si S2 + S3=段sinB = 1 3(1)求AABC的面积；(2)假设 sinAsinC=j, 求 b.解答：(1) S1=-a2sin60 =a2,24,S2=-b2sin60 =b2, z 24S3=-c2sin60 =c2,c c c V3 2 V3V3 2 V3.S2 + S3=azbz+一，1 z 54442解得：a2b2 + c2 = 2,VsinB=-, a2b2 + c2 = 20,即 cosB0, 3 d 2 企 cosB ，3 n_a2 + c2 b2_2V2COSd,2ac 3解得：ac=, 4SAABC=|acsin

14、B=.ABC的面积为或.8(2)由正弦定理得：工=号=7， sin B smA sinC bsinAb sin C .a = ，C=，sin Bsin B由（1）得 ac=, 4bsinA b sin C 35/2 ac=sin B sin B 4，sinB=-, sinAsinC=, 33解得:b-19. （12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者 的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20, 70）的概率；（3）该地区这种疾病的患者

15、的患病率为0.设，该地区年龄位于区间40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，假设此人的年龄位于区间40, 50）,求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的 频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0. 0001）.频率/组距0.0230.0200.0170.0120.0060.002 0.001年龄/岁解答：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为:% = 5X0. 001 X 10+15X0. 002X 10 + 25X0. 012X 10 + 35X0. 017X 10 + 45X0. 023X 10 + 55X0. 020X 10

16、+ 65X0. 017X 10 + 75X0. 006X 10 + 85X0. 002X10 = 47.9 岁.（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20, 70）的频率为：（0. 012 + 0. 017 + 0. 023 + 0. 020 + 0. 017） X 10 = 0. 89,估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20, 70）的概率为0.89. （3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间40, 50）为事件B,此人患这种疾病为事件3那么 P (C|B)、0 0014.P(BC) O.1%XQ23X1尸(B)16%20. （12分）如图，PO是三棱锥pABC的高，PA =

17、 PB, ABAC, E为PB的中占I 八、(1)证明：0E平面PAC；(2)假设NAB0=NCB0=30 ， P0 = 3, PA=5,求二面角 C-AE-B 的正弦值.解答：(1)证明：连接OA, 0B,依题意，0P,平面ABC, 又 OAu平面 ABC, OBu平面 ABC,那么 OPLOA, OPOB, AZP0A=ZP0B=90 ,又 PA=PB, OP = OP,那么POAgAPOB,，OA=OB,延长BO交AC于点F,又ABLAC,那么在RtZXABF中，。为BF中点，连接PF,在4PBF中，0, E分别为BF, BP的中点，那么OEPF,OEQ平面 PAC, PFu平面 PAC

18、,JOE平面 PAC；(2)过点A作AMOP,以AB, AC, AM分别为x轴,y轴,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，由于 P0=3, PA = 5,由(1)知 0A = 0B = 4,又NAB0=NCB0=30。,那么 AB=4百，AP (2V3, 2, 3), B (4V3, 0, 0), A (0, 0, 0), E (3疗 1,又 AC = ABtan60。=12,即 C (0, 12, 0),设平面AEB的一个法向量为元=(x, y, z),又JS= (4V3, 0, 0), AE= (3V3, 1,( n - AB = 4a/3x = 0一那么L荏=3昌+ y +=。,那么可取

19、为，3，2),2A. IOOtiB. 128nC. 144TlD. 192n8.(5分)函数f (x)的定义域为R,且f (x + y)+f (x y) =f (x)f (y), f =1,那么跄 J(k)=()A. -3B. -2 C. 0D. 1二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得 0分。(多项选择)9. (5分)函数f (x) =sin(2x +隼)(0(p0)焦点 F的直线与C交于A, B两点，其中A在第一象限，点M(p, 0).假设|AF| = |AM|, 那么()A.直线AB的斜率为2

20、遥A.直线AB的斜率为2遥B. |OB| = |OF|C. |AB|4|0F|D. Z0AM+Z0BM V2, V3,那么EB. V3=V1D. 2V3 = 3%A. V3 = 2V2C. V3=V1+V2设平面AEC的一个法向量为访=(a, b, c),又前=(0, 12, 0), AE= (3V3, 1, |)n . ( m , AC = 12b = 0rirrr 一 / L 、那么卜荏=3图+ b+|c =。,那么可取(一代，6)，设锐二面角C - AE - B的平面角为0,贝Ijcos9 = | cos |,111 mn 113/. sin 0 = Vl - cos221. (12分)

21、双曲线C：称一9=l(a0, b0)的右焦点为F(2, 0), 渐近线方程为y=Bx.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(xi, %), Q(X2, 丫2)在C上，且XiX20, yi0.过P且斜率为一遍的直线与过Q且斜率为8 的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在 AB 上；PQAB；|MA| = |MB|.注：假设选择不同的组合分别解答，那么按第一个解答计分.解答：(1)由题意可得2=8，7a2包 =2, a解得 a=l，b=V3,因此C的方程为x2=1,6=,即二面角 CAEB 正弦值为13132(2)设直线PQ的方程

22、为丫 = 1+111, (kWO),将直线PQ的方程代入x2匕 31 可得(3 k2) X2 2kmx m2 3 = 0,A =12 (m2 + 3-k2) 0,Vx1x20/.x1+x2=0, XX2 =一鲁f0,.e.3-k20,/ x Ix n A2V3*Vt?i.2 4-3k2 Xi-X2 =7(X1 +x2)2 - 4X1X2 =七，设点 M 的坐标为(xM, yM),那么yM-yi = -,(XM-Xi), I yM - y2 = V3(xm - x2)两式相减可得y1一y2 = 2VXM百(x1+x2),7yiy2=k (Xix2),/.2V3xM = V3 (x1 +x2) +

23、k(Xix2)?解得Xm =kVm2+3-k2-km两式相加可得 2yM(yi+y2)=W(Xtx2),Vy1+y2 = k (x1+x2) +2m,2yM=V3 (xxx2) +k (x1+x2) +2m,解得Ym =3vm24-3-k2-3mk2-3yM=1xM,其中k为直线PQ的斜率; K假设选择:设直线AB的方程为y = k (x - 2),并设A的坐标为(x3, y3) B的坐标为 (X4，yj仙=忆。3 2)2k2V3/C那么y3=V3x3,解何X3，丫3=氤，同理可得X4=品，y，=-鬻， I4k2112k.x3+x4=-, y3+y4=r；-, J k2-3 Jk2-3此时点M

24、的坐标满足，ryM = /c(xm-2)2k21yM=2XM ,斛何Xm=M=5(X3+X4), yM =1k=1 卬3+丫4）， M为AB的中点,即|MA| = |MB|；假设选择:当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2, 0）,此时不在直线y/x上,矛盾,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y = m （x 2） （mWO）,并设A的坐标为（X3, 丫3），B的坐标为（X4, 丫4），那么胪=叱T?解得Y3 = V3%32m2y/3mF， V3 十, m-y/3 J J m-y/3同理可得X4 =2m2y/3mf 9 y 4十,m+V3m+V3此时Xm=3 (x3+x4)227n

25、2=，m2-3_1 / I _ 6m(丫3+丫4)-乙IIL O由于点M同时在直线y=；x上，故601=；2瓶2,解得k = m, kk因止匕PQAB.假设选择,设直线AB的方程为y = k （x 2）,并设A的坐标为（X3, 丫3），B的坐标为(X4, y4),Y3 = k(%3 2). , 2k2V3/CV3=N 解倚 *3=会，y3=，同理可得X4=，y =港，设AB的中点C (xc, yc),那么Xc=：（X3+X4）=那么Xc=：（X3+X4）=2k21 /1、 6kW ycq 0时,f(x)ln(n+l).解答：(1)当 a=l 时，f (x) =xex ex = ex (x 1)

26、,fr (x) =ex (x1) +ex = xex,Vex0,当 x (0, +)时、(x) 0, f (x)单调递增；当 x ( , 0)时，f7 (x) 0),Vf (x) -l, f (x) +l0,.*.g (x) 0 上恒成立，又 g (x) =eax+xaeax -ex,令 h (x) =g (x),那么 h (x) =aeax + a (eax + axeax) ex = a (2eax + axeax) ex,Ah, (0) =2a-l,当 2a10,即 a-, h (0) = lim g (x)g (0)= lim g (x)0,2x-0+x-0%-O+%/.3xo0,使得

27、当 x (0, Xo),有L电0,X.e.g,(x) 0,*.g(X)单调递增，g (x0) g (0) =0,矛盾；当 2aIWO,即2gr (x) = eax + xaeax ex = (1 + ax) eax ex,假设 l + ax0,那么 g (x) 0,所以g (x)在0, +)上单调递减，g (x) Wg (0) =0,符合题意.假设 l+axO,贝Ug， (x) = eax + xaeax-ex =+ax)-exelx+ln(1+lx)i , i-exe2x+ix-ex = 0,所以g (x)在(0, +8)上单调递减，g (x) Wg (0) =0,符合题意.综上所述，实数a

28、的取值范围是aWj(3)由(2)可知，当 a=工时，f (x) =xe2x ex0), 2令 x = ln (1+-) (nN*)得，In (1 +工) e如。十一整理得,整理得,In(1+-) i+-lni+- n.号 1nn+1、), n yn 1 ,乙k二l币西枭%ln )二1n(|x x 等)=ln(n+1),即号i+短+“+高】n (n+1).(多项选择)12. (5 分)假设 x, y 满足x?+y2xy= 1,那么()A. x+yWlB. x+y 2C. x2+y22D. x2+y2l三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13. (5分)随机变量X服从正态分布N(2, a

29、2),且P(2VXW2. 5)= 0. 36,那么 P(X2. 5)=.14. (5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.15. (5分)设点A( 2, 3), B(0, a),假设直线AB关于y = a对称的直线与 圆(x+3)2 + (y+2)2 = l有公共点，那么a的取值范围是.2216. (5分)直线1与椭圆2+5=1在第一象限交于A, B两点，1与x 63轴、y轴分别相交于M,N两点，且|MA| = |NB|, |MN| =28,那么1的方程为.四、解答题：此题共6小题，共70分。解容许写出文字说明、证明过程或 演算步骤。17. (10分)aj是等差数列，bj是公比

30、为2的等比数歹1J,且anb2 =a3-b3=b4-a4.(1)证明：a1=b1；(2)求集合收|取=2加+ 21，lWmW500中元素的个数.18. (12分)记AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,分别以a, b, c为边长的三个正三角形的面积依次为Si，S2, S3.% S2 + S3=f, sinB = 1 .3(1)求aABC的面积;19. (12分)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者 的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患

31、者的年龄位于区间20, 70)的概率；(3)该地区这种疾病的患者的患病率为0. 1%,该地区年龄位于区间40, 50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，假设此人的年龄位于区 间40, 50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的 频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0. 0001).频率/组距0.0230.0200.0170 10 200 10 2030 40 5060 70 80 90年龄/岁20. （12分）如图，P0是三棱锥PABC的高，PA = PB, ABAC, E为PB的（1）证明：0E平面PAC；（2）假设NAB0=NCB0=30。，

32、P0=3, PA=5,求二面角 CAEB 的正弦值.2221. （12分）双曲线C：b0）的右焦点为F（2, 0）,az bz渐近线方程为y=Kx.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点PG1，yj , Q（X2, 丫2）在C上，且XiX20, yi0.过P且斜率为一遍的直线与过Q且斜率为百 的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M 在 AB 上;PQAB；|MA| = |MB|.注：假设选择不同的组合分别解答，那么按第一个解答计分.22. (12分)函数f (x) =xeax (1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f

33、(x)ln(n+l).2022年全国统一高考数学试卷(新高考H)参考答案一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个 选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1. (5 分)集合 A= -1, l,2,4,B=x| |x-1| W1,那么 AAB=( )A. -1, 2 B. 1, 2 C. 1, 4 D. -1, 4答案：B解析：|x 解得：0WxW2,集合 B=x|0WxW2AAnB=l, 2.应选：B2. (5 分)(2 + 2i) (1 2i)=()A. -2 + 4i B. -2-4iC. 6 + 2i D. 6 2i答案：D解析：(2 + 2i) (l-2i) =

34、2-4i+2i-4i2 = 6-2i.应选：D(5分)图1是中国古代建筑中的举架结构，AN , BBZ , CCZ , DDZ是 桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的 示意图，其中DDi，示1，BBi，AAi是举，ODi，DCV CBV BA1是相等的步,相 邻桁的举步之比分别为啜1二。.5, *=ki，警=12，普=1 9 那么 t=()A. -6B. -5 C. 5D. 6答案：c解析：响量d= (3, 4), b (1, 0), c=d-tb9.c= (3 + t, 4),V 9a c bc向面一曲25 + 3t 3 + t , 51解得实数t = 5.

35、应选：C5. (5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，假设甲不站在两端，丙和丁相邻，那么不同的排列方式共有()A. 12 种B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种答案：B解析：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有心用=48种情况，甲站在两端的情况有废朗朗=24种情况，.甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有4824 = 24种， 应选：B6. (5 分)假设 sin (境 + 0)+cos (a + 0) =2 cos (a + sinp,那么()A. tan (a -0)=1B. tan (a + 0) =1C. tan (a P)= -1D. tan (a+0)

36、 = 1答案:c解析：由题意可得,sinacosp + cosasinp+ cosacosp sinasinp = 2 (cosasina) sinp,即 sinacosp cosasinp + cosacosa+sinasinp = 0,所以 sin (aP)+cos (aP)=0,故 tan (ap) = - 1.应选：c7. (5分)正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3遮和46，其顶 点都在同一球面上，那么该球的外表积为()A. IOOtiB. 128Tl C. 144Tl D. 192Tl答案：A解析：当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 及J=3,下底面所在平面截球所得圆的半径为二心如图， 2 sin 602 sin 60设球的半径为R,那么轴截面中由几何知识可得W?2 320?2 42 = 1,解得R = 5,，该球的外表积为4tiR2=4itX25 = IOOti.当球心在台体内时，如图，此时 32+、R2 - 42 = 1,无解.