3-1不等式的基本性质（原卷版）.docx

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1、3.1不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法那么与比拟大小实数的符号：任意xeR,那么x0 （x为正数）、尤=0或x 0,/? 0ah0 ；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0,bab 0 , x = 0o%2=（）.比拟两个实数大小的法那么：对任意两个实数。、b a-b0oab；。一人 b , a = b , qvZ?三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比拟两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证 明不等式与解不等式的主要依据.最小值为（）A. IB. 3C. 5D. 7二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合

2、题目要求.全部 选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分.9.（2022 重庆巴蜀中学高三阶段练习）以下命题正确的选项是（）c c1 1A.假设,那么假设Q0,那么 a ba bC.假设 avbvO,那么abv。？。.假设。0,cvd0,那么 occbd10. （2022 浙江温州市第八高级中学高二期中）实数羽y满足lx6, 2y3,那么（）A. 3x+y98,-1 x-y3 xC. 2xy18D. -jz,那么以下不等式一定成立的 是（）A. xyxzB. xyyzc. x2 + z2y2D. y|z|z三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.12. （2022 辽宁高二阶段练习

3、）la3且2b4,那么2a匕的取值范围.13. （2022 广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文）假设尸=疝彳+ &,。= 历万+疝4心0）.贝”，。的大小关系 （用“202,那么 + 是假 命题的一组整数。，b,。的值依次为.14. （2022 全国高一课时练习）设那么/+22 2a + 2）中等号成立的充要条件是.四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步聚.15. （10 分）（2022 上海市大同中学高一期中）设x、V是不全为零的实数，试比拟2/ + 丁2与/+9的大小，并说明理由.16. （12 分）1+ c = 3ci 4。+ 6（2022 全

4、国高一课时练习）设实数、b、c满足 72 ） ）试确定、氏。的大小关系，并说。一/? = /-4。+ 4明理由.17. （12 分）（2022 广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与 地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为an?,地板面 积为m?,（1）假设这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,那么这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）假设同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为m?,那么公寓的采光效果是变好了还是变坏 了？请说明理由.18. （12 分）（2022 福建福州三中高一阶

5、段练习）证明以下不等式（1 ）假设 bc-ad0, bd0,求证：+”0,。0,求证：幺+幺2 + b a（12 分）11（2022 湖北武汉市钢城第四中学高一阶段练习）：实数%求证：不等式+ %+ X1“2成立的充分条件是不 bobh, b c = a c(3)可力口性：aboa + cb + cc 0 n ac be(4)可乘性：ab, ac = bec acb,c d = a + cb + d.(2)可乘法贝 ij： a bO,c d 0 a- c h- d 0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比拟两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式。、b,可以作差。-匕后比

6、拟Q-b与。的关系，进一步比拟与的大小. aZ?0 0 ab；。一bvOoavb； a-b = 0oa = b .作商法：任意两个值为正的代数式、b,可以作商。人后比拟3与1的关系，进一步比拟与b的大小. b 1 0 Q 匕； b(D 1 = ab ； b（3） = 1 a = b . b中间量法：假设a且bc,那么，c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比拟两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比拟大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取

7、值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例L （2022 湖南怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费不低于300元（）.A a3QOD. 8OOB. n 5000 C. n800D. ;?5000例3.（2022 湖北华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直 角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字+/） K ab+/） K ab母的不等式表示出来（）（c厂 +） 0,0vvl,那么氏的的大小关系为（）A . a ab ab2B. a ab a ab2D. ab ab1 a例7.（2

8、022 江苏高一）x = a3-b, y = a2b-a,那么乂丁的大小关系为（）A. xYB, xb0,。为实数，那么以下不等关系不一定成立的是（）.47 fl IA - ac2 be2 B. bD. a + cb + c例9.（2022唉国高一专题练习）以下四个代数式4nm，祖?+4/ ,W +川，例+岛假设根 （）, 那么代数式的值最大的是.（填序号）.例10. （2022 江苏高一）（1）比拟31x + 1与2d+x 1的大小；a h（2）cqZ70,求证：-c-a c-b【方法技巧与总结】作差法比拟大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例H. （2022 上海崇明二模）如果。

9、0,那么以下不等式中正确的选项是（）A. a2 b D.0,那么以下不等式中恒成立的是（）A. acbcB. crch2cC. a2 +ch2 +cD. ac1 ，那么以下不等式中一定成立的是（）C2,2A. a + bb cB. acbcC. 0D. （a-b）c 0a-b例14. （2022 江苏南京模拟预测）设。、匕均为非零实数且。 B. a2 b2 C. D. a 0 ,求证：匕0, 0cd ,求证：一一, c d例16.（2022 河南濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文）（1） a = d + y3, b = y + Xy 其中x, y均为正实数，比拟m 8的大小；（2） 证明：

10、 已矢口且Q + b + c = 0, 求证： a-c b-c例17. （2022 湖南高一课时练习）利用不等式的性质证明以下不等式：（1）假设a b , c。；（2）假设 av。， -1 /?3 求证： b da h（2） cabQ, 求证： c-a c-bc d例19.（2022 全国高一专题练习）三个不等式：时0；一：；bcad.假设以其中两个作 a b为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.n /7 + 717例20. （2022 江苏高一专题练习）（1）设人0, m0,证明：-0, y 0, z 0 证明：111b0, cdc（1）求证：b + c0；i、.b

11、+ ca + d（2）求证：1人2；（tz - c）（b-a）b + ca + d（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足7一了0 = 力；a-b = 0a = b； a-b0ab.这是比拟两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.（3）比拟法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比拟和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比拟大小例22.（2022 新疆莎车县第一中学高二期中（文）设b =近-日 c = V6-V2 ,那么。，b,

12、 c的大小关系.例23.（2022 江西赣州高二期中（理）1,且x =y = &-d，那么x, y的大小关系是.例 24. （2022 浙江三模） a,b,c,dR,且 q vbc,cwd,（Q d）S d）（c d） + c = d ,那么（）A. d aB. ad hC. bd c例25.（2022 河南夏邑第一高级中学高二期中（文）假设。是实数，p = Jq2+io + , 0 =五2+6 +力2+4,那么P，。的大小关系是OA. QPB.C. PQD.由。的取值确定例26.（多项选择题）（2022 湖南长郡中学高二期中）假设a0,那么以下不等式中一定成立的是（）A. a + cb +

13、cB. ac beC. ac b- - a h例27.（多项选择题）（2022 山西运城高二阶段练习），b2B. a-babC. |a| b2例28. （2022 江苏高一课时练习）（1）烂1,比拟3/与37工+1的大小.（2）a, b, c是两两不等的实数，p=a2-b2+c2, q=ab+bc+ca,试比拟与q的大小.例29. （2022 江苏高一课时练习）-Ivxvyv。，比拟,，%2,产的大小关系.【方法技巧与总结】注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导, 更不能随意构造性质

14、与法那么题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30. （2022 福建厦门市国祺中学高一期中）假设lva + v3, 2Vv4,，= 2a + 3，那么，的取值范 围为.例3L （2022 江苏苏州大学附属中学高一阶段练习）假设实数x, 满足-142x+yl且l3x+y0,且c5，那么的取值范围是 b例33.（2022 河北大名县第一中学高一阶段练习）假设实数月满足-1。+ 243,那么。+ 3月 的取值范围为.例34.（2022 河南西平县高级中学高一阶段练习）实数乂分别满足，lx5, 2y7.（1）分别求2x + 3y与4x-5y的取值范围；x（2）假设xy，试分别求xy及一的取

15、值范围.y例35. （2022 江苏高一专题练习）-la-b3,求3a 2的取值范围.例36.（2022 江苏高一专题练习）实数。涉满足一3Kq + /?K2, -ia-b4.（1）求实数。力的取值范围；（2）求3。-2）的取值范围.例37. （2022 全国高一专题练习）（1）假设12vqv60, 15Z?满足一Jx yJ, 0x+y 1,求3尢y的取值范围.例38.（2022 安徽阜阳市耀云中学高二期中）一l2a + bv2且384,求5 + 的取值范围.V2V4例39.（2022 全国高一课时练习）设实数X, y满足1W2（2, 2 3,求的取值范围. yy【方法技巧与总结】利用不等式的

16、性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如20vx+y v30/5xy 18,要求2x + 3y的范围，不能分别求出,y的范围，再求2x + 3y的范围，应把的“ x+y ” “ xy ”视为整体，即2x + 3y = *（x+y）-（x-y）,所以需分别求出 *（x+y）,-（x-y）的范围，两范围相加可得2x + 3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题，那么不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与的量间 的数量关系，然后去求.注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这

17、种转化不是等价变形，如 果在解题过程中屡次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. （2022 四川成都外国语学校高一阶段练习（理）如果实数涉满足。80B. C. achcD. a1 0, （6/ + /7）（a3+/73） = 2,那么以下不等式一定成立的 是（）A. a2+b2y/2C. a-b V2a + bb , cd ,那么 Q + 假设 ab ,那么C.假设 ab0 , cd0 ,那么假设 ab ,那么 c d（2022 河南高二期中（文）m b, ceR, ab,且必wO,那么以下不等式中一定成立的是（）A. a n b. ah h12C. ac2 hc2 D. o, b37.（2022 江西赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文）匿bwR, ab0,那么以下不等式中一 定成立的是()a a- 六 11A. B. b b- a-h h a 4 + 1 -1 , 1C. D. a b b /7 +1b af% 3y+ z 5