3.2基本不等式（解析版）.docx

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1、3.2基本不等式而 2,y0,y = 8(&-1)时等号成立,详用星】设x = a + 2,y = ，那么 a = x_2, = y22 l(2 2M 、4x 2ylq + 2 byJ8 y x j由生+，立，y %当且仅当把=旦=丁 =缶=1=4(2-四), y x)此时x2, y。满足，故高+ ：的最小值为(6 + 4月 = 5 + *, 应选：D.93.当x0时，工+丁的最小值为()2%A. 3B. 1c. 2A/2 D. 3V2【答案】D【答案】3【点拨】由题设条件可得=1,贝展开即可利用均值不等式求最值【详解】因为、一+枷:3一一 11+4/明以丁落一1 + 4 + 5 +b24b2

2、a2/ 4/、, II7 00b cr /2）当且仅当一=%即4=2/=1时,等号成立.b cr故答案为：39. （1）xl,求4x + l+一的最小值;九一1（2）Ovxvl,求x（4-3x）的最大值.4【答案】（1） 9； （2）【点拨】（1）由于x10,那么4x + l + 1 = 4（x-1） + 1+ 5,然后利用基本不等式求解即可, x-1X-1（2）由于Ovxvl,变形得x（4-3力=（3。（4-3力，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为X1,所以x10,所以4x + l +，= 4（x-1） +，+ 5 2 2,4（% 1），+5 = 9 , x 1x 1 Vx 11

3、 3当且仅当4（x-1）=-即x = 3 口寸取等号， x 12所以4% + 1 + 1的最小值为9.x-111 （ 4y + 4-3yY 4（2）因为Ovxvl,所以x（4 3x） = L（3x）（4 3x）kL - =3312）32 当且仅当3x = 4 3x,即x = 时取等号，故1（4-3月的最大值为:10. （1）设。VXV2,求y = “（4-2%）的最大值;14（2）。0, b0,假设。+力=2,+ -的最小值.1+。 1+bg【答案】（1）V2 ;（2）【点拨】（1）将y = Jx（4 2x）转化为y = .j2x（4 2x）,用基本不等式求最大值即可;I 4i 4|， 11

4、V（2）将1二十一一变形为一 +- + - （。+ 1） +。+ 1）,整理后用基本不等式求最值.1 + Q 1+Z?1 +。 1 + Z? 411 +。 1+产【详解】（1）因为0vxv2,所以4一2%0,所以 y = Jx（4 2x）二与也%（42%）4号2x + ：-2x二及,当且仅当2x = 4-2x,即x = l时等号成立，所以J = Jx（4-2x）的最大值为近 ；（2）因为。0, 0,所以。+ 10, Z? + l 0 .乂a + b = 2,所以q + l+ /?+l=4,1=4（ + 1）当且仅当a + 1 - b + 1 ，即；时取等号，所以1L十ry的最小值为彳.,八,5

5、1+。 +b4塞三维练素养.假设实数九、 满足f+ y2=i + xy,那么以下结论中，正确的选项是（）A. x+y1D. x2 + y2 时取等号,I 2 7对于C, D,由/ + ；/=i +冲可得,a(x+)24, /.-2x+y2,故 A、B 错误,%2 + _1 =孙光当且仅当 = y时取等号,/. x2 + /54-2史女x险工=9,当且仅当=迎土。即=人+ 2时等号成立. Z? +1 a + b + 1 a + h所以 a + 2/7 + 129,q + 2028.应选：B.1 .对于不等式”+#2石，x + -2 (xwO),J/+不停曲(、+),、beR),以下说法正确的选项

6、是()A.正确，错误B.正确，错误C.错误，正确D.错误，正确【答案】C【点拨】根据平方后做差判断，取特例判断，利用基本不等式及不等式性质判断，即可求解.【详解】因为(+)2(2逐)2=10+后20 =回102否错误；当取x = l时，显然x + = 2N2不成立，故x 22错误； XX因为一+32 N2ab(a,beR),所以2(/+/)2(+ 与2 ,所以,6+/ 2与 a + b)2 =a + b与(a + b),故正确.应选：C.以下说法正确的有()V2+1A. y的最小值为2x4B.xl,贝ljy = 2x +;一1的最小值为40 + 1C.假设正数x, y为实数，假设x + 2y

7、= 3个，那么2x+y的最大值为3D.设羽 ) 为实数，假设9/ +)/+盯=1,那么3x+y的最大值为坦 7【答案】BD【点拨】对于A选项，当x0时，y0,故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出2x+y的最小值为3,所以C选项错误；对于BD选项，可以根据条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.Y 4 1【详解】对于A选项，当x =土二1时，x-l0 ,44I4-r-那么 y = 2x +l = 2(x-l) + + 1.2J2(x-l)+ 1 = W+1 ,x 1x 1 Vx 1当且仅当 =夜+ 1时，等号成立，故B选项正确，尤 + 2v 21对于C选项，假设正数1

8、、满足 + 2y = 3xy,那么3 = + ,xy x y-1z_ xz2 11z_ 2x 2yx 1 z_ _ lx 2yx _2x + y = (2x + y)( h) = (5 h1).(5 + 2 1)= 3,3xy 3 y x 3 y y x当且仅当x = y = i时，等号成立，故c选项错误， 2对于 D 选项1 = 9x2 + 2 +肛=(3x+y 一*3xy.(3x+y)2 9。二+ A = JL(3x+ , 3312所以(3x+”M当且仅当y = 3x时，等号成立，可得率釉中 零，x =叵,丁 =叵时取最大值，故3x+y的最大值为巫，D选项正确. 2177应选：BD.5.设

9、。0, h09。+人=1,那么以下不等式中一定成立的是()1 1 9 1A. I24B+ b N a b2C. f + -3D. b-0 b a【答案】AB【点拨】利用“1”的代换求得！ + ?的最小值判断选项A；利用均值定理求得/+的最小值判断选项b； a b利用均值定理求得 + 2的最小值判断选项c；求得人-1的范围判断选项D.b a【详解】对于 A,因为a0, b0, a + b = l,所以L + , = L + L(a + b) = l + 2 + g + 122 + 2j2x3=4, a b a b)a b a b当且仅当2 =即 = b =!时取等号，所以，+ 1之4成立，故A正

10、确；a b2a h对于B,因为0, b0, Q+b = l,所以=1,当且仅当4 =匕=!时取等号，所以I 2 J 42cr b2-2ab = -2ab-tL,故 B 正确；对于C,因为0, b0, a+b = l,N2亚=2,当且仅当。=人工时等号成立，故C错误; ba b a2对于D,因为q0, b。, a+b = L 所以人一1 = 一0,故D错误.应选：AB.iY + 2.有以下4个关于不等式的结论：假设x0,那么x + -2；假设xeR,那么/之2；假设xR,那么xW+ix + 22；假设0, xx + 22；假设0, x那么(1 + )1 + 544.其中正确的序号是【答案】【点拨

11、】根据基本不等式结论对各结论逐一判断.时取等号，正确;当且仅当x = ()时取等号，正【详解】假设x0,那么(1 + ) +工=2 + + 42 + 2、11=4,当且仅当a = l时取等号,正确. V a)a V a故答案为：.x，y为正实数，那么+47的最小值为.x I y【答案】6y 16【点拨】将原式变形为捻石，结合基本不等式即可求得最值.is y 16【详解】由题得5+*=+小，X设2 = (0),那么/) =+普=/ + 2 +普222，+ 2).至2 = 8 2 = 6.X2+12+1 V 2+t当且仅当/ = 2时取等.所以$的最小值为6人 4人I 故答案为：68.假设正数。，

12、b,满足4 +给=1.求必的最大值;41(2)求?十；的最小值.。+ 1 b【答案】(1)：； (2)3 + 28O【点拨】(1)对。+给=1直接利用基本不等式，即可得出油的最大值；411 ( 42 )(2)将。+ 1看作一个整体，由- + 7 = - - + (。+ 1 + 2份，展开后，再利用基本不等式，即可得出 + 1 b 2( q + 1 2b J答案.【详解】(1)因为a + 茄，所以122,当且仅当时等号成立，所以当4,人;时，5明= N4o411 lyfab + 2y/bc + 2yac = 4ab + yfbc + ac ,当且仅当Q = = C时取=”.故 a + b + c

13、Nyfbc + 4ac .(2)证明：因为/+/?2之26力，当且仅当。=b时取=,所以 2(q2+/)2q2+2qZ? + /?2=(q + Z?)2,所以/ +匕2 N (+),所以a/2 + b2 ，同理“2+02之贵,当且仅当人=。时取取“=，当且仅当=。时取=.当且仅当=。时取=.+，得力2 +/ +2 +/ +&2 +/ 2 2d + 2；+2c = o(a + b + c), v2当且仅当，=人=。时等号成立.9 .某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品 每件定价最多为多少？(2

14、)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并 提高价格到X元，公司拟投入600)万元作为技改费用，投入5()万元作为固定宣传费用，试问：该商 品明年的销售量。至少到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时 每件商品的定价.【答案】40元改革后销售量至少到达10万件，才满足条件，此时定价为30元/件【点拨】(1)设每件定价为/元，那么8-。2(-25)1225x8,解之即得所求；(2)依题意可歹Ux2 25x8 + 1(Y600) + 50 (x25),别离参数可得。2年+尤 25有解，应用均值不等式求不含参数这一边

15、的最值即得所求【详解】(1)设每件定价为/元， 那么8-0.2(25)12 25x8,整理得r-65/ + 1000融=25 r?40,.要满足条件，每件定价最多为40元；(2)由题得当x25 时：axN25x8 +(x2600) + 5。有解,即：。2 +,羽%25有解. x 6当且仅当x = 3025时取等号，即改革后销售量至少到达10万件，才满足条件，此时定价为30元/件9【点拨】依据均值定理去求x +的最小值即可.2x【详解】由x +0亘=3近（当且仅当x夜时等号成立.）2x V 2x2g可得当光。时，X+丁的最小值为3五2x应选：D4 .xl,那么x + 1的最小值是（） x-1A.

16、 3B. 8C. 12D. 20【答案】A【点拨】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为11,所以x + = x l + - + 122j（x 1）+ 1 = 3,当且仅当x l=，时取等号，即当x = 2时取等号, x-1x-1 V x-lx-1应选：A.xo,y。，且xy = i,那么1+y的最小值为（）A. IB. 2C. 3D. 4【答案】B【点拨】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为乂y。，所以x+y22而=2,当且仅当x=y = l时取应选：B.题型二：利用基本不等式求积的最大值.假设0,0且。+ /? = 4,那么的最大值为（）A. 4B. 2C. 4D,- 24【答案】A【

17、点拨】直接利用基本不等式计算可得；/7【详解】解：因为。0,8。且。+ 6 = 4,所以出，土吆 =4,当且仅当。二人=2时取等号；（2 ）应选：A.实数居y满足/ + 丁=2,那么孙的最大值为（）A. -B.gC. ID. 242【答案】C【点拨】根据重要不等式炉+ / 2 2町即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由Y + y2=2N2xy,可得盯1,当且仅当x= y = 1或x= ），= -1时等号成立. 应选：C.3.。+6 = 12,那么的最大值是（）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】B【点拨】利用基本不等式求得最大值.（4 + 人丫 （2丫【详解】ab =36,当且仅

18、当。=b=6时等号成立.0, n0,且加+ -26=0,那么加的最大值是（）A. IB. V5C. 3D. 5【答案】D【点拨】结合基本不等式求得加的最大值.【详解】依题意2 + = 26，/ 2所以（岁=5,当且仅当m=省时等号成立.应选：D.直角三角形的两条直角边的和等于4,那么直角三角形面积的最大值是（）A. 4B. 272 C. 2D.叵【答案】C【点拨】由基本不等式可求得结果.【详解】设直角三角形两直角边长分别为。/，那么 + = 4,2所以，直角三角形的面积S=必巴吆=-x4 = 2 （当且仅当。=匕=2时取等号）.22 I 2 J 2故直角三角形面积的最大值是2.应选：C.题型三

19、：基本不等式“1”的妙用求最值.设自变量X对应的因变量为y,在满足对任意的心不等式）都成立的所有常数M中，将”的最小值12叫做y的上确界.假设。为正实数，且I,那么一五二的上确界为（991A.-B.-C.-D.-4224【答案】A【点拨】利用基本不等式即可求解.【详解】解析因为m匕为正实数，且。+人=1,1 ?所以五+1=2 +仔+当二+2、三互=222a h J 22a b 2| ?当且仅当。=2m即4=，时等号成立,因此有一，-因此有一，-2 9、 h 2129即一五一2的上确界为一.应选：A1 191 .实数，那么+ 的最小值为（ a bA. 100B. 300C. 800D. 400【

20、答案】D【点拨】应用“的代换，将目标式转化为362 +=+宁，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成 a b立的条件.【详解】由,0,+ 19 = 1, 119119、/! qj x19b 19ci X/-） 。 I19b 19a /八八 小 彳口 上 1 口坐：口 品告一+ = （ + 一）（a +19b） = 362 + + 362 + 2 = 400， =且乂 = a = /?时等节成乂.a b a ba b a b119* 的最小值为400.a b应选：D8 2.x0, y0,且一+ = 1,那么x+y的最小值是（）% yA. 10B. 15C. 18D. 23【答案】C【点拨】利用

21、“1的代换”的方法，结合基本不等式求得正确结论.【详解】尤+y = (x+y) - + - = + + 102/6 + 10 = 18,(y 刃 工 y(当且仅当包=生，即x = 12, y = 6时，等号成立). x y应选：c3 .40, b0, 3a + b = 2ab,那么q+方的最小值为()A. 2B. 3C. 2 + 72 D. 2 + 6【答案】D31【详解】根据题意，3 +人=2仍=77 +丁 = 1, 2b 2a.6Z + /? = fA + 6Z + /?)= 2 + + 2 + 2J = 2 + 73 ,当且仅当6 =百。且3Q+b = 2Qb时等号成立,12b 2a)2

22、b 2a V 2b 2a，a+b的最小值为2 + 6 ,应选：D.3 15.假设正数x,y满足一+ = 5,那么3x + 4）的最小值是（ % ya 24 c 28 厂,A. B. C. 5D. 655【答案】C【点拨】利用基本不等式力”的代换求3x + 4y的最小值，注意等号成立条件.【详解】3x + 4y = 5（3x + 4y）（9 + L） = ：（13 +亘+亘）2。（13 + 2、3在）=5,当且仅当x = 2y时等号成立, 5x y 5 x y 5 x y，3x + 4y的最小值是5.应选：C题型四：基本不等式的应用1 .如图，矩形花园A8CD的边A5靠在墙尸。上，另外三边是由篱

23、笆围成的.假设该矩形花园的面积为4平方米，墙P。足够长，那么围成该花园所需要篱笆的（）A.最大长度为8米B.最大长度为40米C.最小长度为8米D.最小长度为40米【答案】D【点拨】根据条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解.【详解】设5C = q米，CD = b米,那么而=4,所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2 + = 24 + .2）24出=4五， a a4当且仅当2 = ,即=后时取等号. a应选：D.2 .某产品的总本钱C （单位：元）与年产量。（单位：件）之间的关系为。=热。2+3ooo.设该产品年 产量为。时的平均本钱为“Q）（单位：元/件），那么/（Q）的最小值

24、是（）A. 30B. 60C. 900D. 180【答案】B【点拨】利用基本不等式进行最值进行解题.【详解】解：某产品的总本钱C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为。=而。2+3000 当且仅当需=等，即Q = 100时，等号成立.，/（。）的最小值是60.应选：B3,假设一lvx2,那么 x +工的（）x-2A.最小值为。B.最大值为4C.最小值为4D.最大值为。【答案】D【点拨】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为-lvx2,所以x-2 I r那么x + =2- 2 X + 0, b0,。+人=4,那么以下各式中正确的选项是（）A. H B. H -.IC. yfab.

25、2D. .1a b 4abab【答案】B【点拨】利用基本不等式逐个分析判断即可【详解】解：因为，解b09 a+b=4,；（2 + 2） = l1 （a + b + -+41 a b J当且仅当。=人=2时取等号，5正确，A错误;由基本不等式可知,，匕 =4,当且仅当，=0=2时取等号, I 2 ）故C错误；.；, O错误.ab 4应选：B.三国时期赵爽在勾股方圆图注中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图，我们教材中利 用该图作为几何解释的是（）A.如果 Q ,/? C,那么B.如果那么C.如果Qc0,那么 acZ?cD.对任意实数。和A 有q2+2 2M,当且仅当。=时，等号成立【答案】

26、D【点拨】直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为。，那么*=/+，利用大正方形的面积与四个直 角三角形面积和的不等关系得结论.【详解】直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为。，那么/=/+从，在正方形的面积为四个直角三角形的面积和为2,因此有即十？，当且仅当，= 时，中间没有小正方形，等号成立.应选：D.4.。1,那么 + 一；的最小值是（） a-iA. 5B. 6C. 36D. 272【答案】A44【点拨】由于。1,所以10,那么。+ 7 = （。-D + - + 1,然后利用基本不等式可求出其最小值 a-ia-【详解】由于。1,所以a1044 I所以Q + =-1 + + 12（6

27、/-1）+ 1 = 5,CL 1CI 1y（6Z 1）4当且仅当1=-即a = 3时取等号. a-l应选：A.3.人且必= 18,那么 l的最小值是（）a-bA. 11B. 9C. 8D. 6【答案】A【点拨】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.2【详解】/+/_=（叫+2% =（叫+ 工因为所以a力0,故a-ba-ba-b（a-bU-l2s（a-bY（-l=l,当且仅当a 一必当=4 = 3 + 3外*=36_3时，等号成立.a-b a-b）a-b应选：A4 14.假设。0、bQ,且一+ 丁 = 1,那么必的最小值为（）.a bA. 16B. 4C. D.一 164【答案】A【点拨】根

28、据基本不等式计算求解.【详解】因为。0、b0,所以3 +,22、员工=4、口，即所以疝24,即H216,当仅当 a h a h V ah ab4 1=:，即a = 8,方=2时，等号成立.a b应选：A.45.x0,那么2 3尤的最大值是x【答案】2-473【点拨】直接利用基本不等式求最大值.4(4 1 I 4 l【详解】vx 0,那么 2 3x = 2- 3x + l,那么x l的最小值为.x-【答案】2【点拨】运用基本不等式可得答案.【详解】因为xl,所以九一10,因为% H1 =(X 1) HN 2 ,X 1X 1当且仅当x-l=/7时，即 = 2等号成立，x-1所以X + 1的最小值为

29、2.x-1故答案为：2.7 .假设正数匕满足a + 2Z? = Z?,那么2 + b的最小值为.【答案】91 2【点拨】依题意可得7 + = 1,再利用乘力”法及基本不等式计算可得. b a【详解】解：因为正数。，b满足a + 2b =而,1 2所以;+ * = 1, b aimi 07(、 j2 u 2b 2a、匚 12b 2a 八那么 2a + /? = (2a + b I = 5 H12 5 + 2J , 二 9，Vtz b)a b y a b当且仅当殳=学且!+ 2 =晨即。=人=3时取等号， abba所以2a + Z?的最小值为9.故答案为：9.8.，匕都是非零实数，假设片+4/=3,那么，+，的最小值为一