【教学课件】第二章逻辑代数和函数化简.ppt

《【教学课件】第二章逻辑代数和函数化简.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【教学课件】第二章逻辑代数和函数化简.ppt（93页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章第二章 逻辑代数和函数化简逻辑代数和函数化简逻辑代数：逻辑代数：研究只用0、1构成的数字系统的数学2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算0 0、1 1两种对立状态三种基本的逻辑运算：与逻辑运算与逻辑运算或逻辑运算或逻辑运算非逻辑运算非逻辑运算 一、“与”逻辑决定事件成立的所有条件都具备时，事件成立。2.1.1 逻辑代数的三种基本运算EFABC与逻辑状态表与逻辑状态表开关A 开关B信号灯F 与逻辑真值表与逻辑真值表A BF断开 断开断开 接通接通 断开接通 接通灯灭灯灭灯灭灯亮0 00 11 01 10001与逻辑真值表与逻辑真值表A BF0 00 11 021 10 001F=AB 逻辑乘逻

2、辑乘(与与)100111000=.=.=.AAAAAAAA=.=.=.=.10与门功能概括：与门功能概括：全全1出出1，有，有0出出00010AAA与逻辑符号与逻辑符号:A BF F&A B FA B 可编程逻辑器件与门逻辑符号:&国际标准符号国内常用符号欧美流行符号ABF0 1 0 1 0&ABF波形图&ABCF写出三变量输入与门的真值表A B C F 0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000001二、“或”逻辑 在决定事物结果的诸条件中，只要有任何一个满足，事件就会发生。灯灭灯亮灯亮灯亮 断开 断开 断开 接通 接通 断开 接通 接通信号

3、灯L开关K1 开关K2或逻辑状态表或逻辑状态表或逻辑真值表或逻辑真值表0 1110 00 11 021 1FA B或逻辑真值表或逻辑真值表0 1110 00 11 021 1FA BF=A+B 或门功能概括：全或门功能概括：全0出出0，有，有1出出1011A1A或门的逻辑符号：或门的逻辑符号：+A BF(b)惯用逻辑符号 A BF(c)欧美逻辑符号1ABF(a)国际逻辑符号可编程逻辑器件或门逻辑符号如下:A BF+1 A BFA BF)ABF0 1 0 1 01ABF波形图1ABCF练习：写出三变量输入或门的真值表A B C F 0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11

4、 1 01 1 101111111三、三、“非非”逻辑逻辑只要某一条件A具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。AEFR灯亮灯灭断开接通非逻辑状态表非逻辑状态表LA1001非逻辑真值表非逻辑真值表FAAF=逻辑非的运算规则为 由此可推出 10A10非门逻辑符号：非门逻辑符号：惯用符号 国标符号FA(b)FA1(a)AF(c)欧美符号可编程逻辑器件符号AAAAF0 1 0 1 01AF波形图复合逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。最常见的复合逻辑运算有：与非运算与非运算、或非运算或非运算、与或非运算与或非运算、异或运算异或运算、同或

5、运算同或运算等(1)与非运算与非运算表达式为表达式为与非逻辑符号与非逻辑符号 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A BF0 00 11 021 1&国际标准符号国内常用符号欧美流行符号“全全1出出0，有，有0出出1”1110(2)或非运算或非运算 表达式为表达式为或非逻辑真值表或非逻辑真值表或非逻辑符号或非逻辑符号 A BF0 00 11 021 1ABFABF1ABF+“全低出高，全低出高，有高出低有高出低”1000(3)与或非运算与或非运算表达式为表达式为&ABCD 1F ABCDF +ABFCD与或非逻辑符号与或非逻辑符号 练习：写出其真值表与或非逻辑真值表与或非逻辑真值表A B C DF0

6、0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 111101110A B C D F1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 111100000(4)异或运算异或运算表达式为表达式为异或逻辑符号异或逻辑符号 FABFABFAB)+)异或逻辑真值表异或逻辑真值表A BF0 00 11 021 1异或逻辑的运算规则为异或逻辑的运算规则为AB+AB01100110AA10两变量异或功能概括为：“输入两变量相异时输出为输入两变量相异时输出为1”偶数个1“相异或”，结果为？奇数个

7、1“相异或”，结果为？思考：(5)同或运算同或运算 逻辑表达式为逻辑表达式为 F=AB 同或逻辑符号同或逻辑符号 FAB FABFAB )=BABA+A0=A1=AAA=0AA=1同或逻辑真值表同或逻辑真值表A BF0 00 11 021 11001同或逻辑的运算规则为同或逻辑的运算规则为00=01=10=11=F=AB=BABA+AA01两变量同或功能概括为：“输入两变量相同时输出为输入两变量相同时输出为1”=BABA+1001对于两个变量两个变量来说，异或和同或因此 B AB=互为反函数互为反函数 AB C A B C+=与运算、或运算和非运算2.2逻辑函数及其描述2.2.1逻辑函数的基本

8、概念普通普通代数中的函数：Y=AB+C自变量因变量逻辑逻辑代数中的函数：Y=AB+C输入变量输出变量输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1加油站油罐液位控制系统 MS MLABC40201030 有两台一大一小电动机ML和MS驱动油泵向油罐注油。当油罐的液位低于A点高于B点时由小电动机MS单独驱动；当液位在B点与C点之间时，由大电动机ML单独驱动；当液位在C点以下时，由两台电动机同时驱动。试设计控制该电动机工作的逻辑电路。加油站油罐液位控制系统 MS MLABC40201030 液位A、B、C为输入逻辑变量电动机MS和ML为输出逻辑变量 液位低于A、B、C某点时，用1表示，否则用0表示Ms和 M

9、L工作时用1表示，0表示不工作A B CMs ML0 0 01 0 01 1 01 1 10 01 00 11 1液位控制真值表液位控制真值表A B C Ms ML0 0 01 0 01 1 01 1 10 01 00 11 1MS的逻辑表达式为：的逻辑表达式 MS MLABC40201030 A.B.CA.B.C+A.B.C+A.B.C液位控制逻辑电路液位控制逻辑电路 +ABCABCABCMs ML例：设计一个三人表决电路，若有两个以上的人同意则决议通过。用A、B、C来表示三人的态度，“1”表示同意；“0”表示“否决”；用F来表示结果:“1”表示决议通过；“0”表示决议不通过AFBC0 0

10、00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAF+=-逻辑表达式：由以上分析可见，表示逻辑关系的函数称为逻辑函数。逻辑函数一般表示为：F=f(A,B,C.)ABCCABCBABCAF+=-根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图：&1FABCABCA B CABCABCABCABCABC 逻辑函数的描述方法1.逻辑真值表 由于每个逻辑变量只有0和1两种可能的取值，因此，n个逻辑变量只能有2 2n n种取值组合。逻辑函数描述的方法有哪些：文字描述真值表逻辑函数表达式逻辑电路图卡诺图AF一变量真值表一变量真值表FA B C三变量真值表三变

11、量真值表FA B二变量真值表二变量真值表010 00 11 01 10 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 12.逻辑函数式逻辑函数式 是把输出与输入之间的逻辑关系写成与与、或或、非非等运算的组合式，即逻辑代数式。例如:3.逻辑图逻辑图 逻辑图就是用逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的与与、或或、非非运算的逻辑电路图。1.1.逻辑函数表达式逻辑函数表达式真值表真值表逻辑函数表达式真值表F=AB+AB0 00 11 01 1ABF01102.2.3 逻辑函数各种表示方法间的相互转换 首先首先将n个变量的2n种0、1状态组合按二进制数填写到真值表的左边一栏（按顺

12、序写按顺序写）然后将每一行的变量值代入逻辑表达式，算出输出逻辑值，记入右边一栏中由真值表写出逻辑表达式由真值表写出逻辑表达式 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001第一步第一步 在真值表上找出输出为1的行；第三步第三步 将所有乘积项逻辑加，便得到逻辑函数表达式。ABCCBACBACBAF+=第二步第二步 将这一行中所有自变量写成乘积项，并且当变量的真值为“1”时写为原变量A，当变量对应的真值为“0”写为反变量A；A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110010001F=?

13、2 2、逻辑表达式、逻辑表达式逻辑电路图逻辑电路图逻辑电路图逻辑表达式11FABABABAABABB=AAB+总结步骤：总结步骤：逐级写出逻辑函数表达式逐级写出逻辑函数表达式最后写出输出端的逻辑函数表最后写出输出端的逻辑函数表达式达式ABBP=ABC+BC1ABCBCABCBCF=ABC。ABC。ABC2 2、逻辑表达式、逻辑表达式逻辑电路图逻辑电路图&A B CA B CA B C0 0 00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011001FAPBC01001001P=ABC+BCF=ABC。ABC。ABC2.3 逻辑代数的运算法则一、如何判断逻辑函数的

14、相等利用真值表利用真值表二、逻辑代数的公理1.1.1=1=；0=0=2.2.1 1.1=1=；0+0=0+0=3.3.1 1.0=0=；1+0=1+0=4.4.0 0.0=0=；1+1=1+1=5.5.如如A0A0，则，则A=A=；如；如A1A1，则，则A=A=0 01 11 11 11 10 00 00 00 01 11.交换律：A.B=;A+B=2.结合律：A.(B.C)=;A+(B+C)=3.分配律：A.(B+C)=;A+(B.C)=4.01律：1.A=;0+A=;0.A=;1+A=5.互补律：A.A=;A+A=6.重叠律：A.A=;A+A=7.反演律（德.摩根定理）：8.A.B=A+B

15、;A+B=A.B 9.8.还原律：A=三逻辑代数的基本定律B.AB+A(A.B).C(A+B)+CA.B+A.C(A+B)(A+C)AA0101AAA9、吸收律：1)AB+AB=;(A+B)(A+B)=2)A+AB=;A(A+B)=3)A+AB=;A(A+B)=AAA+BABA AAB+ACAB+AC+BC=10、冗余定理：(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)推论：AB+AC+BC f（a,b,c,）=.AB+AC问题：问题：AB+AB+AB=A+B+AB 可不可以消去可不可以消去AB 项？项？与或式最简的标准:(两个最少原则)1)与项个数最少;2)每个与项中的变量个数最少.2

16、.6.2代数法化简方法：代数法化简卡诺图化简1、利用公式BAB AB+=可将函数的两个与项合并。F1BABCA C=+=BC+=BC A A()2.6逻辑函数的化简例例2.化简函数CBA+CBA=CBACBA+=）（C=例例.化简函数 A2.吸收法吸收法利用公式：A+AB=，吸收多余项。例例 化简函数 BCAC+DBBCAA+=)(BCA+=AC+DBBCA（A+BC）+=)(3.消去法消去法利用公式 ，消去某项的多余因子。AAB+=AB+例：例：化简函数 BCAB+=)(CBA+=4.消项法消项法 利用多余项定理消去多余项BC。CAAB+=BCCAAB+CBAC+=+CBBAAC=例例.化简

17、函数 例例.化简函数 EFDCAEBADCBAF+=EBADCBA+=FAEDCEBADCBA+=ABCD+AE+BE6.6.综合举例综合举例例例.化简函数解解：=+FAABACBDACEGBEGDEGH=+ABDBEGDEGH=+ABDBEG冗余定理的推论例例.化简函数例例.化简函数=A+B+CD=AB+AB+CD例例.化简函数+=(AAB)CB+ACA+BABC=A+B CA+BABCBACBACBAABAF+=)()(=+ABBC=A+B+C例例 化简函数=+ACBCABD+AB=+ACBCDAB=+ACBCAB D()=+ACBCD例例.化简函数)()()()(DCDCBCBACDAB

18、ABABAF+=解解：)()()(CDABABABA+=)()()()(DCDCBCABCDABABABA+=F=AB+AB+AB+(A+D)C=A+AB+AC+DC=A+B+AC+DC=A+B+C+DC=A+B+C1、代入规则 代入规则指出，将逻辑等式中的某一变量代以另一函数其等式仍然成立。例 A+B=A BF=A+F=A F逻辑代数的三个规则2、对偶规则（求偶函数规则）将函数中的 .变成+变成.0变成 1 1变成0 这样则得到原函数的对偶函数F注意事项：1、求对偶函数时，原来的运算顺序不变。2、长非号、短非号都不变3、(F)=F例：F=（A+B.C.D)E F=(A.(B+C+D)+E3、

19、反演规则（求反函数规则）将函数中的 .变成+变成.0变成1 1变成0 原变量变成反变量 反变量变成原变量这样则得到原函数的反函数若F=AB+AB+CF=F=(A+B)(A+B)C注意事项：1、求反函数时，原来的运算顺序不变。2、把多个变量上面的长非号作为子函数对待，长非号消去后，下面的子函数结构不变。例如：例如：F=（A+B.C.D）E F=A.(B+C.D)+E2.4 2.4 逻辑函数表达式的形式及其变换逻辑函数表达式的形式及其变换2.4.1.完备逻辑的概念 最基本的逻辑运算：逻辑与与、逻辑或或、逻辑非非。用它们可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集完备逻辑集”。逻辑表达

20、式常用形式有与或式与或式、或与式或与式、与非与非式式、或非式或非式、与或非式。与或非式。逻辑函数式的形式逻辑函数常用表达式有哪些？与或式或与式与非与非式（与非式）或非或非式（或非式）3、F=AC AB4、F=A+B+B+C5、F=AB+AC2、F=(A+B)(A+C)1、F=AC+AB与或非式1)与或式转换成或与式F=AC+AB分配律:=(A+C)(A+B)(C+B)=(AC+A)(AC+B)分配律:冗余定理:=(A+C)(A+B)F=AC+AB2)与或式转换成与非式非非律:=AC+AB摩根定理:=AC.AB3)与或式转换成或非式首先,应将原式转换为或与式或与式分配律:=(A+C)(A+B)(

21、C+B)=(AC+A)(AC+B)分配律:冗余定理:=(A+C)(A+B)非非律:=(A+C)(A+B)摩根定理:=(A+C)+(A+B)F=AC+AB4)与或式转换成与或非式首先,应写出或非或非表达式分配律:=(A+C)(A+B)(C+B)=(AC+A)(AC+B)分配律:冗余定理:=(A+C)(A+B)非非律:=(A+C)(A+B)摩根定理:=(A+C)+(A+B)F=AC+AB=AC+AB小结小结:与或式与或式或与式或与式分配律 冗余定理或非式或非式非非律 摩根定理与或非与或非摩根定理非非律 摩根定理与非式与非式2.5 逻辑函数表达式的标准形式 2.5.1 最小项和最小项标准表达式 1.

22、最小项定义最小项定义2.在一个逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项最小项。乘积项中的变量只能以原变量或反变量的形式出现一次。对于1个变量A来说：A、A对于2个变量A、B来说：A BBAABA B 由于一个变量只有两种形式，所以，n n个变量的逻辑函数共有2 2n n个最小项。对于3个变量A、B、C来说：A B CA B CA CBA CBBA CBA CBA CBA C序号序号 A B C 最小项二进制代码最小项二进制代码 代号代号mi0123456700001111A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B Cm0m1m2m3m4m5m6m700110

23、01101010101三变量最小项编号方法三变量最小项编号方法m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ABCABCABCABCABCABCABCABC1001000000000000001000000001000000001000000001000000001000000001三变量最小项的真值表ABC性质性质1 每一个最小项唯一地与变量的一组取值相对应，且只有该组取值才使其为1。m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ABCABCABCABCABCABCABCABC1001000000000000001000000001000000001000000001000000001000

24、000001三变量最小项的真值表ABC性质性质2 所有最小项的逻辑和为1；记为：m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ABCABCABCABCABCABCABCABC1001000000000000001000000001000000001000000001000000001000000001三变量最小项的真值表ABC性质性质3 任意两个不相等的最小项的逻辑乘为0，即:相邻项：指只有一个变量为互补，其余所有变量均相同的两个最小项。A.B.C的相邻项：ABCABCABCABCABC 对于n个变量的逻辑函数,每个最小项均有n个相邻项。任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互任何两个相邻项均

25、可合并成一项并消去一个互补因子。补因子。2.5.2 最小项标准表达式 由最小项组成的与或与或逻辑表达式，称为标准与或表达式，也称为最小项标准表达式。000001010011100101110111ABC最小项符号编号ABCABCABCABCABCABCABCABCm0m1m2m3m4m5m6m701234567F=AC+AB+AB(C+C)ABC+ABC=ABC+=ACBABC+=m3m1m5m4ABC+ABC+=m(1,3,4,5)011001101100=AC(B+B)ACB例：由真值表写F=AC+AB 的最小项标准表达式A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0

26、 11 1 01 1 101011100F=ABC+ABC+ABC+ABC 从函数的真值表中直接写出的与或逻辑表达式就是最小项标准表达式。一、卡诺图画法有n个变量的逻辑函数共有 个最小项.2n 如果把每个最小项用一个小方格表示,再将这些小方格以循环码顺序排列（即满足最小项按相邻项排列），就可以构成n个变量的卡诺图。(1)二变量卡诺图的画法：2个变量的逻辑函数共有 个最小项.4那么，需 个方格4AB ABAB ABABBAABAB01232.7逻辑函数的卡诺图化简法(2)三变量卡诺图的画法：23那么需 个方格23ABC0100011110AAABCABCABCABCABCABCABCABC013

27、24576(3)四变量卡诺图的画法：3个变量的逻辑函数共有 个最小项.4个变量的逻辑函数共有 个最小项.24那么需 个方格24ABCD0001111000 01 11 1001324576121315148911100132457612131514891110ABCDAB C三变量卡诺图三变量卡诺图CAB4 5 7 60 1 3 2ABC010001111001324576AFBC0 0 00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10001011100100111AFBC0 0 00 0 10 1 0 0 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000100

28、01二、卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示最小项标准表达式 将逻辑函数中的出现的最小项按标号以“1”填入卡诺图的对应方格，其余格（即没有出现的最小项）填“0”例如：F=ABC+ABC+ABC+ABC=m1+m2+m5+m70010101011111257=m（1，2，5，7）首先，看逻辑函数中有几个逻辑变量？3那么，三个逻辑变量的卡诺图需几个方格？2301324576 1 1 1 1 0 0 0 0每个乘积项包含组成函数的全部变量 将一般与或式用卡诺图表示一般与或式是相对于最小项标准表达式而言例如：F=AB+ABC+BC第一种方法：将一般与或式展成最小项标准表达式。原式=AB(C+C)+ABC+(A

29、+A)BC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABCm7m6m5m6m2=m（2,5,6,7）01324576 1 1 1 0 0 0 0 1第二种方法：观察法指AB=1即A,B同时为1AB C 1 1F=AB+ABC+BC 1 1（3）由卡诺图求逻辑函数表达式AB CF=m（2，5，6，7）01324576+ABC=ABC+ABC+ABC（4）由卡诺图求反函数F=m（0，1，3，4）+ABC=ABC+ABC+ABC 1 1 1 10000三、利用卡诺图化简逻辑函数例如：化简F=m（0,2,4,5,7,8,10,12)为最简与或式化简步骤:1、将函数表示在卡诺图上；2、以2n个相临“1”方格画圈

30、合并最小项，将每个圈所统辖的公共变量写成与项；0132457612131514891110ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1“两个最少”原则：1、变量最少原则：包围圈尽可能的大，但变量的个数必须是2n;与中轴线对称的小方格也是相邻项。2、与项最少原则：包围圈的数量最少，画圈时应该使每个包围圈至少包含一个没被包围过的方格。对不对？F=CD+ABD+BD用卡诺图化简下列函数为最简与或式1）F1=m（1,3,6,7,10,11,13,15)1 1 1 1 1 1 1 1ABCDF1=ABD+ABC+ABD+ABC2）F2=m（3,4,5,7,8,9,13,14,15)ABCD 1 1 1 1

31、1 1 1 1 1对不对？+ABC+BD+ABC+ABCF2=ACD3）F3=m（0,1,5,7,8,10,14,15)ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1F3=ABC+ABD+ABC+ABD4）F4=A+BC+ACD+ACDABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0F4=ABCF4=F4=ABC=A+B+C“1”多“0”少时可圈“0”所得函数为反函数5）F5=AC+D+AB+ACD=ACD+AB+ACDABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0F5=+ABF5=ADF5=+ABAD=AD.AB=(A+D)(A+B)=AA+AB+

32、AD+BD四、具有无关项的逻辑函数化简 MS MLABC40201030 A B C Ms ML0 0 01 0 01 1 01 1 10 0100 11 10 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 输入变量的某些组合在外部条件下不会出现或对输出无影响的项。通通常用常用（）或（）或D D（）（）来表示。来表示。对具有无关项的逻辑函数，在用卡诺图进行逻辑函数化简时，对任意项的小方格既可以作1处理，也可作0处理,应视具体要求而定。0 0100 11 10 0 01 0 01 1 01 1 1Ms MLA B C0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 MS的逻辑表达式为：的逻辑表达式

33、ML00 01 11 10 0 1 1ABC0 01MS00 01 11 10 1 1 0ABC0 010 0100 11 10 0 01 0 01 1 01 1 1Ms MLA B C0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 MS=C+ABML=B例如：利用无关项化简下列逻辑函数为最简与或式：1、P=m m(1,2,9,14)+(1,2,9,14)+(0,5,7,8,10,12,15)(0,5,7,8,10,12,15)ABCD 1 1 1 1P=BC+BD+AD2、R=BC+ABD+ACDAB+AC=0（约束条件）ABCD 1 1 1 1 1 1R=BC+CD+BD五、卡诺图的运算1

34、、判断逻辑函数相等卡诺图完全相同2、卡诺图的或运算：AB C111+AB C111AB C1111将对应小方格中的值求逻辑和3、卡诺图的与运算：AB C111.AB C111AB C11将对应小方格中的值求逻辑乘+AB C111AB C111AB C11将对应小方格中的值相异或4、卡诺图的异或运算：例:X=AB+BC+CD+AD Y=AB+BD+BD+AC Z=ABD+ACD 试用卡诺图求:P=XYABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1XABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Y1111CPABDP=ACD+ABD 例:X=AB+BC+CD+AD Y=AB+BD+BD+AC Z=ABD+ACD 试用卡诺图求:P=XY F=P+Z H=P.ZABCD 1 1 1 1Z