【教学课件】第二章随机向量.ppt

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1、第二章 随机向量v2.1 多元分布v2.2 数字特征v2.3 欧氏距离和马氏距离v*2.4 随机向量的变换v*2.5 特征函数12.1 多元分布v一、多元概率分布函数v*二、两个常用的离散型多元分布v三、多元概率密度函数v四、边缘分布v五、条件分布v六、独立性2一、多元概率分布函数v一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随机向量。v随机变量x的分布函数：v随机向量 的分布函数：3三、多元概率密度函数v一元的情形：v多元的情形：v多元密度f(x1,xp)的性质：4四、边缘分布v设x是p维随机向量，由它的q(0。v(2)设A为常数矩阵，b为常数向量，则当p=1时，退化为v例 的分量之间存在线性

2、关系（以概率1）。15v例2.2.3 设x=(x1,x2,x3)的数学期望和协差阵分别为令y1=2x1x2+4x3,y2=x2x3,y3=x1+3x22x3,试求y=(y1,y2,y3)的数学期望和协方差矩阵。v(3)设A和B为常数矩阵，则v(4)设 为常数矩阵，则16推论 证明 （先证推论，再证性质(4)）17v(5)设k1,k2,kn是n个常数，x1,x2,xn是n个相互独立的p维随机向量，则 18三、相关矩阵v随机变量x和y的相关系数定义为v 的相关阵定义为19v若(x,y)=0，则表明x和y不相关。v x=y时的相关阵(x,x)称为x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj)

3、,ii=1。即 vR=(ij)和=(ij)之间有关系式：R=D1D1 其中 ；R和的相应元素之间的关系式为 20前述关系式即为21标准化变换v最常用的标准化变换是令 22v可见，相关阵R也是一个非负定阵。232.3 欧氏距离和马氏距离v一、欧氏距离v二、马氏距离24一、欧氏距离v 之间的欧氏距离为v平方欧氏距离为 25不适合直接使用欧氏距离的例子v下面是各国家和地区男子径赛记录的数据（1984年）：国家和地区100米（秒）200米（秒）400米（秒）800米（分）1500米（分）5000米（分）10000米（分）马拉松（分）阿根廷10.3920.8146.841.813.714.0429.36

4、137.72澳大利亚10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.3奥地利10.4420.8146.821.793.613.2627.72135.9比利时10.3420.6845.041.733.613.2227.45129.95百慕大10.2820.5845.911.83.7514.6830.55146.62巴西10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13缅甸10.6421.5248.31.83.8514.4530.28139.95加拿大10.1720.2245.681.763.6313.5528.09130.15智利10.342

5、0.846.21.793.7113.6129.3134.03中国10.5121.0447.31.813.7313.929.13133.53哥伦比亚10.4321.0546.11.823.7413.4927.88131.3526v即使单位全相同，但如果各分量的变异性差异很大，则变异性大的分量在欧氏距离的平方和中起着决定性的作用，而变异性小的分量却几乎不起什么作用。平均大小等于27v图中两个外点哪个更离群？v在实际应用中，为了消除单位的影响和均等地对待每一分量，我们常须先对各分量作标准化变换，然后再计算欧氏距离。v令 ，则 28v由于 ，故平方和中各分量所起的平均作用都一样。v欧氏距离经变量的标准

6、化之后能够消除各变量的单位或方差差异的影响，但不能消除变量之间相关性的影响。29二、马氏距离v 之间的平方马氏距离定义为v 到总体的平方马氏距离定义为v特点(1)马氏距离不受变量单位的影响，是一个无单位的数值。30比例单位变换v如x的分量是长度、重量、速度、费用和用时等，则变量的单位变换可表达为 其中 。31带有常数项的单位变换v例子 摄氏温度与华氏温度的换算公式：F(C95)32，C(F32)59 式中F华氏温度，C摄氏温度。v 32v特点(1)的证明 x1,x2经单位变换后为y1,y2，即有33v特点(2)马氏距离是x和y经标准化之后的欧氏距离，即 其中 ，它们的均值 皆为0，协差阵皆为单位阵I。v特点(3)若 ，则 即当各分量不相关时马氏距离即为各分量经标准化后的欧氏距离。34