【教学课件】第二节正项级数及其收敛法.ppt

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1、第二节第二节 正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法u 正项级数及其收收敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:则称此级数为正项级数正项级数.2.2.正项级数收敛的正项级数收敛的充分必要充分必要条件条件:正项级数收敛的正项级数收敛的基本定理基本定理注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 un 0 0足够足够快。快。3.比较审敛法比较审敛法重要参照级数重要参照级数:等比级数等比级数,p-级数。级数。极限形式极限形式:注注:须有参照级数须有参照级数.比较审敛法的不方便比较审敛法的不方便结论:解解发散发散.故原级数收敛故原级数收敛.由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛

2、性由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性.比值审敛法、比值审敛法、根值审敛法的优点根值审敛法的优点:注意注意:解解解解解解解解比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法第三节第三节 任意项级数任意项级数u 交错级数及其收收敛法u 绝对收敛与条收收收敛一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数.称为级数余项收敛且S0,使得当|x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1)仅在 x=0 处收敛;(2)在 内处处收敛;(3)在(R,R)内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径收敛半径R=

3、0R=+2.收敛半径的求法定理2(证明略)例 求收敛半径和收敛域x=1 时收敛；x=1时收敛域是(1，1发散 收敛域是(，）仅在 x=0 点收敛设 x2 t,由(1)知收敛域是(1,3收敛域是(1,1令t=3 时t=3时发散发散收敛域是(3,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三三.幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为 和 ,记则对于任意的 ,有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2.分析运算性质设收敛半径为R,则(1)S(x)在收敛域内连续;(2)S(x)在(-R,R)内可导,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3)S(x)在(-R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例 求和函数设和函数为S(x)(|x|1 )设和函数为S(x)则