【教学课件】第三讲随机变量的函数与特征函数.ppt

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1、第三讲随机变量的函数与特征函数3.1 随机变量的函数变换随机变量的函数变换 这个函数关系的含义为：在随机试这个函数关系的含义为：在随机试验验E中，设样本空间为中，设样本空间为S=ei，对每一，对每一个试验结果个试验结果ei，对应于对应于X的某个取值的某个取值X(ei)，相应地指定一个，相应地指定一个Y(ei)，且，且Y(ei)与与X(ei)有如下关系：有如下关系：显然，显然，Y的概率特性与的概率特性与X是有关系的。是有关系的。3.1.1 一维变换一维变换 若随机变量若随机变量X、Y满足下列函数关系满足下列函数关系 如果如果X与与Y之间的关系是单调的，并且之间的关系是单调的，并且存在反函数，即存

2、在反函数，即 若反函数若反函数h(Y)的导数也存在，则可利的导数也存在，则可利用用X的概率密度求出的概率密度求出Y的概率密度。的概率密度。综合上述讨论，得到综合上述讨论，得到 如果如果X和和Y之间不是单调关系，即之间不是单调关系，即Y的取值的取值y可能对应可能对应X的两个或更多的的两个或更多的值值x1,x2,xn。假定一个假定一个y值有两个值有两个x值与之对应，则有值与之对应，则有 一般地，如果一般地，如果y=g(x)有有n个反函数个反函数h1(y),h2(y),hn(y)，则，则3.1.2 二维变换二维变换 设二维随机变量设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度的联合概率密度f(x1,x2

3、)，另有二维随机变量，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且，且 求随机变量求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度的联合概率密度f(y1,y2)。如果随机变量如果随机变量Y是二维随机变量是二维随机变量(X1,X2)的函数，即的函数，即 可求可求Y的数学期望和方差。的数学期望和方差。3.2 随机变量的特征函数随机变量的特征函数3.2.1 特征函数的定义特征函数的定义 随机变量随机变量X的的特征函数特征函数就是由就是由X组成的组成的一个新的随机变量一个新的随机变量ejwX的数学期望，即的数学期望，即 离散随机变量和连续随机变量的特征离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为函数分别表示为 随机变量

4、随机变量X的的第二特征函数第二特征函数定义为特征定义为特征函数的对数，即函数的对数，即 对二维随机变量，可用类似的方法定对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数义特征函数第二特征函数第二特征函数定义为定义为3.2.2 特征函数的性质特征函数的性质性质性质1：性质性质2：若：若Y=aX+b，a和和b为常数，为常数，Y的特征函数为的特征函数为 性质性质3：互相独立随机变量之和的特征：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，函数等于各随机变量特征函数之积，即若即若 则则3.2.3 特征函数与矩函数的关系特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：矩函数与特征函数之间存

5、在如下关系：3.2.4 特征函数与概率密度的关系特征函数与概率密度的关系3.3 常见分布常见分布3.3.1 常见的离散型分布常见的离散型分布一一.两点分布两点分布 如果随机变量如果随机变量X的分布为的分布为 则称则称X服从服从两点分布两点分布，也称为，也称为贝努里分贝努里分布布。当。当a、b分别为分别为0、1时，称这种分时，称这种分布为布为01分布分布。XPab1pp二二.二项分布二项分布设随机试验设随机试验E只有两种可能的结果只有两种可能的结果且且将将E独立地重复独立地重复n次，那么在次，那么在n次试验中事次试验中事件件A发生发生m次的概率为次的概率为称为称为二项分布二项分布。三三.泊松分布

6、泊松分布设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,且分且分布密度为布密度为则称则称X服从服从泊松分布泊松分布。3.3.2 常见的连续分布常见的连续分布一一.均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X在有限区间在有限区间a,b内内取值，且其概率密度为取值，且其概率密度为则称则称X在区间在区间a,b上服从上服从均匀分布均匀分布。随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为1)一维高斯分布一维高斯分布 高斯变量高斯变量X的概率密度为：的概率密度为：二二.高斯分布高斯分布概率分布函数概率分布函数 对高斯变量进行归一化处理后的对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量

7、。即随机变量，称为归一化高斯变量。即令令 ，归一化后的概率密，归一化后的概率密 度为度为 服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量的高斯变量X，其特征函数为，其特征函数为 服从服从 的高斯变量的高斯变量Y，其特，其特征函数为征函数为 （1）已知）已知X为高斯变量，则为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，为常数）也为高斯变量，且且特点：特点：（2）高斯变量之和仍为高斯变量。）高斯变量之和仍为高斯变量。例：求两个数学期望和方差不同且互相例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。之和的概率密度。推广到多个互相独立的高斯变量

8、，其推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即和也是高斯分布。即 若若Xi服从服从 ，则其和的数学，则其和的数学期望和方差分别为期望和方差分别为 若有大量相互独立的随机变量的和若有大量相互独立的随机变量的和 其中每个随机变量其中每个随机变量Xi对总的变量对总的变量Y的影的影响足够小时，则在一定条件下，当响足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量时，随机变量Y是服从正态是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律分布的，而与每个随机变量的分布律无关。无关。（3）中心极限定理）中心极限定理 结论：任何物理过程，如果它为许多结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于独立

9、作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。高斯分布。2）二维高斯分布）二维高斯分布 设设X是均值为是均值为 ，方差为，方差为 的正的正态随机变量，态随机变量，Y是均值为是均值为 ，方差为，方差为 的正态随机变量，且的正态随机变量，且X,Y的相关系的相关系数为数为 ，则二维随机变量，则二维随机变量(X,Y)为一为一个二维正态随机变量，其联合概率密个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为度函数为 设设n维随机变量向量为维随机变量向量为Y，数学期望和，数学期望和方差向量为方差向量为m和和s，它们具有如下形式：，它们具有如下形式：Y=m=s=协方差矩阵协方差矩阵C C=则则n维联合概率密度函数为维联合概率

10、密度函数为三三.分布分布 1)中心中心 分布分布 若若n个互相独立的高斯变量个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为零，方差为的数学期望都为零，方差为1，它们，它们的平方和的平方和 的分布是具有的分布是具有n个自由度的个自由度的 分布分布。其概率密度为其概率密度为 当互相独立的高斯变量当互相独立的高斯变量Xi的方差不是的方差不是1，而是，而是 时，时，Y的概率密度为的概率密度为 性质：两个互相独立的具有性质：两个互相独立的具有 分布分布的随机变量之和仍为的随机变量之和仍为 分布，若它分布，若它们的自由度分别为们的自由度分别为n1和和n2，其和的自，其和的自由度为由度为n=n1+n2。

11、2)非中心非中心 分布分布 若互相独立的高斯变量若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,n)的方差为的方差为 ，数学期，数学期望为望为 ，则，则 为为n个自由度的非中心个自由度的非中心 分布分布。其概率密度为其概率密度为 称为称为非中心分布参量非中心分布参量 性质：两个相互独立的非中心性质：两个相互独立的非中心 分分布的随机变量之和仍为非中心布的随机变量之和仍为非中心 分布，分布，若它们的自由度为若它们的自由度为n1和和n2，非中心分，非中心分布参量分别为布参量分别为 和和 ，其和的自由度，其和的自由度为为n=n1+n2，非中心分布参量为，非中心分布参量为四四.瑞利分布和莱斯分布瑞利分布和莱斯分

12、布1)瑞利分布瑞利分布 对于两个自由度的对于两个自由度的 分布，即分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则且相互独立的高斯变量，则为为瑞利分布瑞利分布。R的概率密度为的概率密度为 对对n个自由度的个自由度的 分布，若令分布，若令 则则R为为广义瑞利分布广义瑞利分布2)莱斯分布莱斯分布 当高斯变量当高斯变量Xi(I=1,2,n)的数学期的数学期望为望为 不为零时，不为零时，是非中心是非中心 分布，而分布，而 则是则是莱斯分布莱斯分布。对于任意对于任意n值有值有3.4.1 随机序列收敛随机序列收敛 设有随机变量设有随机变量X及随机变量序列及随机变量序列Xn(n=1,2,)，均有二阶矩，且，均有二阶矩，且 则称则称随机变量序列随机变量序列Xn 依均方收敛于依均方收敛于X，或者说，随机变量或者说，随机变量X是随机变量序列是随机变量序列Xn 在在n趋于无穷时的均方极限。（趋于无穷时的均方极限。（m.s.收敛）收敛）3.4随机序列收敛随机序列收敛 如果随机变量序列如果随机变量序列Xn满足满足 那么该那么该序列序列k阶收敛于阶收敛于X。以概率1收敛（a.e.收敛，准处处收敛，强收敛）依概率收敛（p收敛，随机收敛）分布收敛（d收敛，弱收敛）四种收敛的关系