【教学课件】第三节函数的单调性与极值.ppt

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1、第三节第三节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值二、函数的极值三、函数的最大值和最小值三、函数的最大值和最小值一、函数的增减性判别法一、函数的增减性判别法bayOxAB，曲线上升曲线上升AaOybxB，曲线下降曲线下降定理定理1 1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，则内可导，则（i）如果在）如果在(a,b)内内f (x)0，（ii）如果在）如果在(a,b)内内f (x)f(x0)），），则称则称f(x0)为为f(x)的极大值的极大值(或极小值）或极小值）如果恒有如果恒有f(x)f(x0)，定义定义

2、函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，的分界点，不存在的点不存在的点.因此极值点只能是因此极值点只能是 和和但驻点和导数不存在的点不一定是极值点但驻点和导数不存在的点不一定是极值点.但但f(x)在点在点x=0不取得极值。不取得极值。Oxy通常称为函数通常称为函数f(x)的驻点的驻点因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点.例如，对函数例如，对函数y=x 3,y =3x 2,x=0是驻点

3、是驻点使导数使导数f (x)等于零的点等于零的点x0可以证明：若函数可以证明：若函数f(x)f(x)在在xx 0 处可导，且在处可导，且在xx 0 处取得极值，则这个函数在处取得极值，则这个函数在xx 0 处的导数为零。即处的导数为零。即不存在的点。不存在的点。(iii)若在若在x0的两侧，的两侧，f (x)不变号，不变号，定理定理2 2（极值存在的一阶充分条件极值存在的一阶充分条件）设设f(x)在在x0的某邻域内连续，的某邻域内连续，在该邻域（在该邻域（x0可除外）可导，可除外）可导，x0为为f(x)的驻点或使的驻点或使f (x)(i)若当若当x 0；则则 f(x0)是是f(x)的极大值；的

4、极大值；(ii)若当若当x x0 时，时，f (x)x0 时，时，f (x)0，当当x x0 时，时，f (x)0时，时，f(x0)是是f(x)的极小值。的极小值。例例5 5 的极值的极值.定理定理3 3（极值存在的二阶充分条件）（极值存在的二阶充分条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处具有二阶导数，处具有二阶导数，（i）当）当f (x0)0时，时，f(x0)是是f(x)的极大值；的极大值；令令得驻点得驻点:由极值第二判别法由极值第二判别法,xx=1时时,f(xx)有极小值有极小值:f(1)=4.由于由于所以所以,需用极值第一判别法判定需用极值第一判别法判定:从而从而时时,无极值无极值.三、

5、最大值、最小值问题三、最大值、最小值问题（2）计算区间端点处的函数值；）计算区间端点处的函数值；例例6 求函数求函数上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。在区间在区间 1 求连续函数求连续函数f(x)在在a,b上的最值：上的最值：（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；）计算函数驻点与不可导点处的函数值；（3）对以上两类函数值进行比较即得。）对以上两类函数值进行比较即得。令令函数的不可导点为函数的不可导点为x=0,1.解解得驻点得驻点函数函数f(x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：比较之，得最大值：比较之，得最大值：最小值：最小值：一般地说

6、，若函数一般地说，若函数f(x)的最大的最大(小小)值是在区间值是在区间(a,b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值 在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定此时，如果确定此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），（或导数不存在的点），可导函数可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），在其区间内部确有最大值（或最小值），那么，这个点就是函数的最值点那么，这个点就是函数的最值点注注1：注注2：2 实际问题中最值的求法实际问题中最值的求法 例例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为内阻为r,负载电阻为负载电阻为R，问，问R为多大时，输出功率最大？为多大时，输出功率最大？解：由电学知道，消耗在负载电阻解：由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率上的功率 I为回路中的电流为回路中的电流.又由欧姆定律知道又由欧姆定律知道则有令令此实际问题应有最大值，故当此实际问题应有最大值，故当输出的功率最大，输出的功率最大，