【教学课件】第三章平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点要点 用逆解法、用逆解法、半逆解法半逆解法求解平面弹性求解平面弹性力学问题。力学问题。1.1.多项式解答多项式解答2.2.矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3.简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷主主 要要 内内 容容（1）逆解法逆解法（1）假设满足相容方程的假设满足相容方程的(x,y)的形式；的形式；（2）主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。求出应力分量求出应力分量 （具有待定系数）；（具有待定系数）；（3）利用边界条件和边界几何形状，考察应力函数利用边界条件和边界几何形状，考察应力函数(x,y)对应什么样的边界

2、面力，得知所设应力函数对应什么样的边界面力，得知所设应力函数(x,y)可可以求解什么问题。以求解什么问题。（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与与(x,y)的关系及的关系及 ，求出，求出(x,y)的形式；的形式；（3）求出求出 ，并让其满足边界条件和位移单值条件。，并让其满足边界条件和位移单值条件。一一.求解方法求解方法 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法二二.多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由

3、一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的，能解决什么样的力学问题。力学问题。逆解法逆解法其中：其中：a、b、c 为系数。为系数。检验检验(x,y)是否满足是否满足相容方程相容方程：显然显然(x,y)满足相容方程，因而可作为应力函数。满足相容方程，因而可作为应力函数。1.一次多项式一次多项式（1）（2）对应的对应的应力分量应力分量：（不计体力：（不计体力：X=Y=0）（3）应力）应力边界条件边界条件得得结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；无体力、无面力和无应

4、力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式二次多项式其中：其中：a、b、c 为系数。为系数。(假定：假定：X=Y =0)相容方程相容方程（1）(可作为应力函数可作为应力函数)（2）应力分量应力分量：xy2c2c2a2a结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。（3）边界条件边界条件(a 0,b 0,c 0)xy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy3.三次多项式三次多项式a 为系数系数相容方程相容方程（1）(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：X=Y

5、 =0)（2）应力分量应力分量（3）边界条件边界条件结论结论3：对应于对应于线性应力分布，线性应力分布，矩形截面梁的矩形截面梁的纯弯曲纯弯曲。MMxy（3）边界条件边界条件（确定常数（确定常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系）的关系）三三.矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲（不计体力）（不计体力）1xyllMM相容方程相容方程（1）设应力函数设应力函数 满足满足（2）应力分量应力分量上下边界；上下边界；精确满足精确满足左右边界；左右边界；满足满足满足满足xy1llMM说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须线性须线性分布分布，且中心处为零，结果才，且中心处为零，结果才是是精确的精

6、确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。四四.位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出应变分量、位移分量？求出应变分量、位移分量？xyl1hMM1.应变

7、分量与位移分量应变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）应变分量）应变分量(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：(b)（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：(c)（2）位移分量）位移分量(c)将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：(d)将式将式(d)代入代入(c)中第三式，得：中第三式，得：式中：式中：为待定函数。为待定函数。整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有(e)式中：式中

8、：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d），得），得(f)（1）(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。当当 x=x0=常数常数（2）位移分量）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明：同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角相同线段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立的假设成立。（2）将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁

9、纵向纤维的曲在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即率相同。即 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：与材力中结果相同与材力中结果相同按应力求解的按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应

10、力分量的应力分量（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。五五.简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定应力函数的确定(1)分析：分析：主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，不随常数，不随 x 变化。变化。，不随不随 x 变化。变化。假设：假设：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函

11、数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数由由 确定确定：代入相容方程：代入相容方程：2.相容方程相容方程xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立内方程均成立即有无穷多个根即有无穷多个根，须有，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。故：的一、二次的系数、自由项同时为零。故：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数中的常数项项对第三个方程得：对第三个

12、方程得：积分得：积分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c)(d)代入代入(b)，有有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数中的一次项和常数项项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。(e)3.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)4.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用(f)(g)(h)4.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上

13、式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N=0；弯矩弯矩 M=0；剪力剪力 Fs=ql；(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动

14、满足。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：三次抛物线三次抛物线4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q(p)5.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式(p)，有，有xyllqlql1yzh/2h/2q比较，得：比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该，该项误差很小，可略；当项误差很小，可略；当 h/l较

15、大时，较大时，须修正。须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。中不考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：梁的左右边界存在水平梁的左右边界存在水平面力：面力：说明此应力表达式在两说明此应力表达式在两端不适用。端不适用。解题步骤小结：解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计对称性等），估计某个应力分量某个应力分量（）的变化形式。）的变化形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式 ，求得应力，求得应力函数函数

16、 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程：确确定定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式 ，求得应力，求得应力分量分量 。由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、矩形长板类弹性力学平面问题的类弹性力学平面问题的基本步骤基本步骤：弹性力学平面问题的基本理论小结弹性力学平面问题的基本理论小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应

17、变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变应应 力力外外 力力几何形状几何形状体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的尺于板面内的尺寸（等厚度薄平板）寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长柱体）二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分方程（假定：假定：小变

18、形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（2）几何方程）几何方程（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（3）物理方程）物理方程（平面应力）（平面应力）（平面（平面应变）应变）（假定：假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：思路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再

19、由几何方程、，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。物理方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：位移表示的平位移表示的平衡方程衡方程位移表示的应位移表示的应力边界条件力边界条件位移边界条件位移边界条件（2）按应力求解）按应力求解思路：思路：以应力以应力 为基本未知量，将基本方程用只有为基本未知量，将基本方程用只有 的的3个方程，从中求出个方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。其余未知量。基本方程：基本方程：平衡方程平衡方程相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件边值条件

20、边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：）两类平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题（4）边界条件）边界条件 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确

21、定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形适用情形：小变形、任意小变形、任意弹塑弹塑性材料性材料。(常体力情形常体力情形)五、边界条件与圣维南原理五、边界条件与圣维南原理位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；）静力等效；（3）结果影响范围：）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（）面力分布复杂的边界（次要边界次要边界）如：集中力，集中力偶等；如：集中力，集中力偶等；（2）位移边界（）位移边界（次要边界次要边界）；）；