【教学课件】第三章函数极限.ppt

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1、第第 三章三章 函数极限函数极限本章内容n函数极限概念函数极限概念n函数极限的性质函数极限的性质n函数极限极限存在的条件函数极限极限存在的条件n两个重要极限两个重要极限n无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量第一节第一节 函数极限概念函数极限概念一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 通通过上面的上面的观察察:问题:如何用数学如何用数学语言刻划函数言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在着正数总存在着正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的的一切一切 ,所对应的函数值所对应的函

2、数值 都满足不等式都满足不等式,那那末末常常数数 就就叫叫函函数数 当当 时时的的极极限限,记作记作2.另两种情形另两种情形:3.几何解几何解释:例例1证证例例2证证左半部分成立，只考察右半部分左半部分成立，只考察右半部分 的范围，的范围，则有：，则有：二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限定义定义2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正数总存在正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一切的一切 ,对应的函数值对应的函数值 都满足不等式都满足不等式,那末常数那末常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限时的极限,记作

3、记作2.几何解几何解释:注意：注意：证证例例3例例4证证函数在点函数在点x=2处没有定没有定义.例例5证证几点注释n1 定义中的 相当于数列极限中的 ，它与 有关，但不是唯一确定。n2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。n3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。3.单侧极限极限:例如例如,左极限左极限 右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证第二节第二节 函数极限的性质函数极限的性质六种极限 一一 函数极限的性质函数极限的性质 1.局部局部有界性有界性2.唯一性唯一性定理定理 推论推论3.局部局部保号性保号性4.局部局部保保不等不等性性

4、定理定理 5.夹逼准逼准则本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。6、极限运算法则、极限运算法则 二、求极限方法举例二、求极限方法举例 例例1 1 解解小结小结:解解商的法商的法则不能用不能用由无由无穷小与无小与无穷大的关系大的关系,得得例例2 2 解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)例例4 4 解解小结小结:例例5 5 解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,n例例6 求求 n例例7 求求n例例8 证明证明第三节第三节 函数极限存在的条件函数极限存在的条件函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理)定理定理注：注：本定理有如下几点

5、注释：本定理有如下几点注释：1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。本定理通常用来证明函数极限的不存在性。证证 例如例如,例例1证证二者不相等二者不相等,单调有界准则：单调有界准则：以上以上4种极限有相互对应的单调有界准则种极限有相互对应的单调有界准则。定理定理Cauchy收敛准则收敛准则：设函数设函数 在在 内有定义。内有定义。存在存在的充要条件为：的充要条件为：1收敛函数的函数值在收敛函数的函数值在 几乎几乎“挤挤”在了一起

6、。在了一起。2通常用通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在收敛准则证明函数的极限不存在。第四节第四节 两个重要极限两个重要极限一一例例1 1 解解二二例例2 2 解解例例3 3解解三、小结三、小结 1.两个准两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准逼准则;单调有界准有界准则.第五节第五节 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量一、无穷小量一、无穷小量 1.定定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 e e(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 d d(或正数或正数 X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 d d -x X)的一切的一

7、切 x,对应的函数值对应的函数值)(x f 都满足不等式都满足不等式 e e )(x f,那末那末 称函数称函数)(x f 当当 0 x x（或（或 ）时为无穷小时为无穷小,记作记作 ).0)(lim(0)(lim 0=x f x f x x x 或或 极限极限为零的零的变量称量称为无无穷小小量量.例如例如,注意注意1.无无穷小是小是变量量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作零是可以作为无无穷小的唯一的数小的唯一的数.2.无无穷小与函数极限的关系小与函数极限的关系:证证意义意义 1.将一般极限将一般极限问题转化化为特殊极限特殊极限问题(无无穷小小);3.无无穷小的运算性小的运

8、算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的有限个无穷小的代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小.证证注意注意无无穷多个无多个无穷小的代数和未必是无小的代数和未必是无穷小小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无都是无穷小小二、无穷小的比较二、无穷小的比较 例如例如,极限不同极限不同,反映了反映了趋

9、向于零的向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不可比不可比.定义定义:例例1 1 解解例例2 2解解常用等价无穷小常用等价无穷小:例如例如,定理定理4(4(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证例例3 3 解解不能不能滥用等价无用等价无穷小代小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意例例4 4 解解解解错错例例5 5 解解三、无穷大三、无穷大 绝对值无限增大的无限增大的变量称量称为无无穷大大.特殊情形：正无特殊情形：正无穷大，大，负无无穷大大注意注意1.无无穷大是大是变量量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无无穷大是一种特殊的无界大是一种特

10、殊的无界变量量,但是无但是无界界变量未必是无量未必是无穷大大.不是无不是无穷大大无界，无界，证证四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系 定理定理5 5 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证意义意义关于无关于无穷大的大的讨论,都可都可归结为关于无关于无穷小的小的讨论.五、小结五、小结 几点注意几点注意:无无穷小与无小与无穷大是相大是相对于于过程而言的程而言的.（1）无无穷小（小（大）是大）是变量量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无零是唯一的无穷小的数；小的数；（2 2）无无穷多个无多个无穷小的代数和（乘小的代数和（乘积）未必是无）未必是无穷小小.（3）无界无界变量未必是无量未必是无穷大大.例例7证证