【教学课件】第三章导数的应用函数的单调性与极值、最大值与最小值.ppt

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1、上页上页下页下页返回返回第二、三节函数的单调性与极值、最大值与最小值一、一、函数单调性的判别法函数单调性的判别法二、二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法三、三、函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值第三章第三章 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导1上页上页下页下页返回返回一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法定理定理1第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值目录目录后退后退主主

2、页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2上页上页下页下页返回返回证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值3上页上页下页下页返回返回例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的

3、单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值4上页上页下页下页返回返回单调区间求法：单调区间求法：问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调

4、区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值5上页上页下页下页返回返回例例2 2解解单调区间为单调区间为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性

5、与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值6上页上页下页下页返回返回例例3 3解解单调区间为单调区间为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值7上页上页下页下页返回返回例例4 4解：解：注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,确定函数确定函数 的单调区间的单调区间函数的定义域为（函数的定义域为（-，）令令得：得：目录目录后

6、退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值8上页上页下页下页返回返回列表讨论：列表讨论：x（-，-1）-1（-1，3）3（3，+）f（x）+0-0+f（x）目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值9上页上页下

7、页下页返回返回小结：小结：单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的闭区间换成开区间、半开区间或定理中的闭区间换成开区间、半开区间或无限区间，结论仍然成立无限区间，结论仍然成立.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值10上页上页下页下页返回返回二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的

8、与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值11上页上页下页下页返回返回定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数使函数取得极值的点称为取得极值的点称为极值点极值点.极值是一个局部极值是一个局部性的概念性的概念。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值

9、函数的单调性与极值、最大值与最小值12上页上页下页下页返回返回函数极值的求法：函数极值的求法：定理定理2 2(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值13上页上页下页下页返回返回定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节

10、 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值14上页上页下页下页返回返回求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值15上页上页下页下页返回返回例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的

11、与要求本节重点与难点本节复习指导第二、三节第二、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值16上页上页下页下页返回返回图形如下图形如下目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值17上页上页下页下页返回返回定理定理(第二充分条件第二充分条件)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求

12、本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值18上页上页下页下页返回返回例例2 2解解图形如下图形如下目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值19上页上页下页下页返回返回注意注意:目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难

13、点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值20上页上页下页下页返回返回例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值21上页上页下页下页返回返回小结：小结：极值是函数的局部性

14、概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值22上页上页下页下页返回返回三、函数的最大值

15、和最小值三、函数的最大值和最小值目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值23上页上页下页下页返回返回步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这

16、个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值24上页上页下页下页返回返回应用举例：应用举例：例例1 1解解计算计算目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三、三、三、三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性

17、与极值、最大值与最小值25上页上页下页下页返回返回比较得比较得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值26上页上页下页下页返回返回例例2 2求函数求函数在区间在区间11，ee上的最大值和最小值上的最大值和最小值解：解：因为在（因为在（1 1，e e）内）内所以函数所以函数在区间在区间11，ee上单调增加上单调增加其最小值为其最小值为f f（1 1）=0=0最大值为最大值为f f（e e）=e=

18、e目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值27上页上页下页下页返回返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例3 3敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相

19、距最近射击最好）？距最近射击最好）？目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值28上页上页下页下页返回返回解解(1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值

20、、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值29上页上页下页下页返回返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值30上页上页下页下页返回返回例例4 4 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出

21、去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月元，元，租出去的房子有租出去的房子有套，套，每月总收入为每月总收入为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值31上页上页下页下页返回

22、返回（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值32上页上页下页下页返回返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例5 5目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三三三三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与

23、极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值33上页上页下页下页返回返回解解如图如图,目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节三节三节三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值34上页上页下页下页返回返回解得解得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三、三、三、三节节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数

24、的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值35上页上页下页下页返回返回例例6 6：把一根半径为：把一根半径为R R的圆木锯成矩形条木，问矩的圆木锯成矩形条木，问矩形的长和宽多大时，条木的截面积最大？形的长和宽多大时，条木的截面积最大？x2R解：解：设矩形的长为设矩形的长为x则矩形的宽为则矩形的宽为矩形的截面积为矩形的截面积为其中其中（0 x2R）现在求现在求x为何值时，函数为何值时，函数A在区间在区间（0，2R）内取得最大值。）内取得最大值。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与

25、极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值36上页上页下页下页返回返回令令得：得：（舍去）（舍去）由于函数由于函数A在（在（0，2R）内只有一个驻点）内只有一个驻点由实际情况知，函数由实际情况知，函数A的最大值一定存在，因此，当的最大值一定存在，因此，当时，函数时，函数A取得最大值取得最大值目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单

26、调性与极值、最大值与最小值37上页上页下页下页返回返回此时，矩形的宽为此时，矩形的宽为即：当矩形的长和宽都为即：当矩形的长和宽都为条木的截面积最大。条木的截面积最大。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值38上页上页下页下页返回返回小结：小结：注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的

27、步骤.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值39上页上页下页下页返回返回目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求本节的学习目的与要求本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值1理解函数单调性的

28、判定定理；理解函数单调性的判定定理；2理解函数极值的判定定理；理解函数极值的判定定理；3理解函数极值的概念；理解函数极值的概念；4正确区分函数的极值与最值；正确区分函数的极值与最值；5利用定理正确求出较复杂函数的单调利用定理正确求出较复杂函数的单调区间和极值；区间和极值；6.能够正确解决实际应用中的最值问题。能够正确解决实际应用中的最值问题。40上页上页下页下页返回返回本节的重点与难点本节的重点与难点目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第二第二、三节、三节、三节、三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值函数的单调性与极值、最大值与最小值重点1利用定理正确求出较复杂函数的单调利用定理正确求出较复杂函数的单调区间和极值区间和极值2正确解决实际应用中的最值问题。正确解决实际应用中的最值问题。难点1、正确理解函数极值的概念；、正确理解函数极值的概念；2、正确区分函数的极值与最值、正确区分函数的极值与最值。41