【教学课件】第一章函数、极限与连续习题课.ppt

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1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容 函 数 的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1 1、函数的定义、函数的定义函数的分类函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数

2、的性质、函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(3)函数的单调性函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点 及 ，当 时，恒有：(1),则称函数 在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数 在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(4)函数的有界性函数的有界性:设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx3 3、反函数

3、、反函数4 4、隐函数、隐函数5 5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数指数函数3）对数函数对数函数4）三角函数三角函数5）反三角函数反三角函数7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限

4、函 数 极 限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大1 1、极限的定义、极限的定义左极限左极限右极限右极限无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无

5、穷小.推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限定义:7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等

6、价无穷小替换定理)8 8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9 9、极限的唯一性、极限的唯一性左右连续在区间a,b上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类1 1、连续的定义、连续的定义定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点:可去

7、型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域

8、内的区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.二、典型例题二、典型例题例例1 1解例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得解联立方程组解联立方程组例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则例例4 4解解 解法讨论解法讨论例例5 5解解例例6 6解解例例7 7证明证明讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上综上,自自 测测 题题自测题答案自测题答案