【教学课件】第一章逻辑代数基础.ppt

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1、数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 绪论绪论一、一、本课程的性质和任务本课程的性质和任务数字电子技术是电器类、自控类和电子类、计算机类专业在电子技术方面入门性质的技术基础课。本课程的任务是使学生获得数字电子技术方面的基本理论、基础知识和基本技能，培养学生分析问题和解决问题的能力，为深入学习计算机、数控类有关课程以及为今后从事专业工作打下良好的基础。性性质：质：任任务务：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础计算机系统硬件软件主机外设系统软件应用软件CPU存储器I/O接口总线输入设备输出设备操作系统语言处理数据库计算机系统相互连接构成网络，缩小变成单片机、嵌入式系统等数字逻辑-第一章 逻辑代数基础课程之间的

2、联系课程之间的联系组成原理、接口技术、外部设备电子技术、数字逻辑物理程序设计算法和数据结构离散数学、程序和计算理论数学和逻辑学电磁学系统结构网络编译、汇编、解释成机器码操作系统执行数据库、网络编程、图形图像、游戏、计算机仿真等嵌入式系统、可编程逻辑等硬件软件数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、二、如何学好这门课如何学好这门课2、数字电子技术比模拟电子技术好学。3、重视习题。4、重视实验课。实验是培养动手能力，同时有助于理论的深化，希望大家加强重视。1、数字电子技术是一门全新的课程，任何同学只要认真的下点功夫就一定能学好。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础三、三、数字电路的优点：数字电路的优点：2 2

3、、抗干扰能力强，精度高。、抗干扰能力强，精度高。（2）模拟系统的精度由元器件决定，模拟元器件的精度很难达到10-3以上，而数字系统只要14位就可以达到10-4的精度。在高精度的系统中有时只能采用数字系统。1 1、基本单元电路简单。、基本单元电路简单。对电路中各元器件参数的精度的要求相对不高，允许有较大的分散性，只要能区分两种截然不同的状态即可。（1）由于数字电路加工和处理的都是二进制信息，不易受到外界的干扰，因而抗干扰能力强。而模拟系统的各元件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应的等的影响。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础3 3、数字信号便于长期存储、数字信号便于长期

4、存储4 4、保密性好、保密性好5 5、通用性强、通用性强 由于数字部件具有高度规范性，便于大规模由于数字部件具有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产，而对电路参数要求不严，集成、大规模生产，而对电路参数要求不严，故产品成品率高。采用标准化的逻辑部件来故产品成品率高。采用标准化的逻辑部件来构成各种各样的数字系统，省时省力。构成各种各样的数字系统，省时省力。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 基本公式、基本定理和常用公式基本公式、基本定理和常用公式1.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数

5、及其表示方法1.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法t数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.1.1 数字量与模拟量数字量与模拟量模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础一、数字信号的特点一、数字信号的特点:数字信号在时间上和数值上均是离散的。数字信号在时间上和数值上均是离散的。数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流数字信号在电路中常

6、表现为突变的电压或电流图图1.1.1 典型的数字信号典型的数字信号数字逻辑-第一章 逻辑代数基础有两种逻辑体制：有两种逻辑体制：正逻辑体制正逻辑体制规定：高电平为逻辑规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑，低电平为逻辑0。负逻辑体制负逻辑体制规定：低电平为逻辑规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑，高电平为逻辑0。如如果果采采用用正正逻逻辑辑，图图所所示示的的数数字字电电压压信信号号就就成成为为下下图图所所示示逻逻辑辑信信号。号。二、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.1.2 1.1.2 数制与码

7、制数制与码制 数制数制是人们对数量计数的一种统计规则。是人们对数量计数的一种统计规则。一种进位计数包含着两个基本因素：一种进位计数包含着两个基本因素：(1)(1)基数基数：它是计数制中所用到的数码个：它是计数制中所用到的数码个数，常用数，常用R R表示。表示。(2)(2)位权位权：处在不同数位的数码，代表着不：处在不同数位的数码，代表着不同的数值，每一个数位的数值是由该位数码的值同的数值，每一个数位的数值是由该位数码的值乘以处在这位的一个固定常数。不同数位上的乘以处在这位的一个固定常数。不同数位上的十进制中，包含0,1,2,9等10个数码。进位规则是“逢10进1”。所以它的基数R10。(例如)

8、数字逻辑-第一章 逻辑代数基础固定常数称为位权值，简称固定常数称为位权值，简称位权位权。如十进制数如十进制数1111，同样都是，同样都是1，它们所处的，它们所处的数位不一样，那么它们所代表的数值就不一样。数位不一样，那么它们所代表的数值就不一样。犹如：同样都是人，他们所处的地位不一样，那犹如：同样都是人，他们所处的地位不一样，那么他们的权力不一样。拿我们的军队来讲：么他们的权力不一样。拿我们的军队来讲：又如杆秤，同样一个秤砣，它处的位置不又如杆秤，同样一个秤砣，它处的位置不一样，那么所表示的重量也是不一样的。一样，那么所表示的重量也是不一样的。下面对常用的几种数制一一介绍下面对常用的几种数制一

9、一介绍（如表如表1-1-11-1-1）(例如)十进制数个位的位权值是1，十位的位权值是10，百位是10，依次类推。司令司令军长军长师长师长旅长旅长团长团长营长营长连长连长排长排长班长班长战士战士数字逻辑-第一章 逻辑代数基础一、一、各种进制转换成十进制各种进制转换成十进制 基数为基数为R的的R进制转换成十进制的方法很简进制转换成十进制的方法很简单，只要按公式就可求得。单，只要按公式就可求得。【例【例1.1.1】一个二进制数为】一个二进制数为(1010.011)2化为十化为十进制数。进制数。解解 ：(1010.011)2=数制间的转换数制间的转换数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、二、十进制转换成

10、十进制转换成R进制进制 一个任意的十进制数可以由整数部分一个任意的十进制数可以由整数部分和小数部分构成，若设整数部分为和小数部分构成，若设整数部分为M1，小数部分为小数部分为M2。则整数部分为：则整数部分为：(M1)10=an-1Rn-1+an-2Rn-2+a2R2+a1R+a0 我们将这种方法取名为我们将这种方法取名为除以除以R取余法取余法，逆序排列逆序排列。其中其中R为基数。为基数。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 小数部分为：小数部分为：(M2)10=a-1R-1+a-2R-2+a-mR-m 我们将这种方法取名为我们将这种方法取名为乘以乘以R取整法取整法，顺序排列。顺序排列。数字逻辑-第一

11、章 逻辑代数基础 【例【例1.1.2】将十进制数将十进制数10.375转换成二进转换成二进制数制数(R=2)。解：将十进制数解：将十进制数10.375的整数部分和小数的整数部分和小数部分分别转换。部分分别转换。整数部分转换采用除以整数部分转换采用除以R取余法取余法(在本例中在本例中R=2)2 10 余数余数 对应二进制数码（数符）对应二进制数码（数符）2 5 0 a0 2 2 1 a1 2 1 0 a2 0 1 a3 于是于是(10)2=(1010)2数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 小数部分采用乘以小数部分采用乘以R取整法取整法(在本例中在本例中R=2)整数部分整数部分 对应二进制数码（数符）

12、对应二进制数码（数符）0.3752=0.75 0 a-1 0.752=1.5 1 a-2 0.52=1.0 1 a-3 剩余误差剩余误差e=0 于是于是 (0.375)10=(.011)2+e=(.011)2最后得到最后得到 (10.375)2=(1010.011)2数字逻辑-第一章 逻辑代数基础三、三、二进制与八进制、十六进制之间的转换二进制与八进制、十六进制之间的转换 1.八进制转换为二进制八进制转换为二进制 把八进制数每位数用三位二进制数表示即可。把八进制数每位数用三位二进制数表示即可。【例【例1.1.3】将八进制数将八进制数(312.64)转换成二进转换成二进制制数。数。解：解：(3

13、1 2 .6 4)8=(011 001 010.110 100)2=(11001010.1101)2 数字逻辑-第一章 逻辑代数基础2.二进制转换为八进制二进制转换为八进制 二进制数转换为八进制数时，以小数点为界，分二进制数转换为八进制数时，以小数点为界，分别向左、向右以三位为一组，最高位不到别向左、向右以三位为一组，最高位不到3位的位的用用0补补齐齐，最低位不到，最低位不到3位的也位的也用用0补齐补齐，然后将每三位的二，然后将每三位的二进制数用相应的八进制数表示。进制数用相应的八进制数表示。【例【例1.1.4】将二进制数】将二进制数(10110.11)2转换成八进制数。转换成八进制数。解：解

14、：二进制数二进制数 10 110 .11 对应的八进制数对应的八进制数 .于是于是(1011011)2=(36.6)8 00数字逻辑-第一章 逻辑代数基础3.3.十六进制转换为二进制十六进制转换为二进制 将每位十六进制数用相应的四位二进制数表将每位十六进制数用相应的四位二进制数表示。示。【例【例1.1.51.1.5】将十六进制数】将十六进制数(21A.5)(21A.5)1616 转换成转换成二进制数。二进制数。解：解：十六进制数对应的二进制数十六进制数对应的二进制数(21A.5)(21A.5)1616=(=(00001010 00010001 10101010.01010101)2 2 =(1

15、000011010.0101)=(1000011010.0101)2 2 数字逻辑-第一章 逻辑代数基础4.4.二进制转换为十六进制二进制转换为十六进制 二进制数转换为二进制数转换为16进制数时，以小数点为进制数时，以小数点为界，分别向左、向右以四位为一组，最高位不界，分别向左、向右以四位为一组，最高位不到到4位者位者用用0补齐补齐，最低位不到，最低位不到4位者也位者也用用0补补齐齐，然后将四位二进制数用相应的十六进制数，然后将四位二进制数用相应的十六进制数表示。表示。【例【例1.1.6】将二进制数】将二进制数(1100101.101)2转换转换为十六进制数为十六进制数 解：二进制数对应的十六

16、进制数解：二进制数对应的十六进制数 (1100101.101)2=(110 0101.101 )2=(65.A)1600数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 编码编码就是用二进制码来表示给定的信息就是用二进制码来表示给定的信息符号。符号。信息符号可以是十进制数符信息符号可以是十进制数符0 0，1 1，2 2，9 9；字符；字符A A、B B、C C、；运算符；运算符“+”“+”、“-”“-”、“=”“=”等。等。一、带符号的二进制编码一、带符号的二进制编码 在数字系统中，在数字系统中，正、负的表示方法正、负的表示方法是：是：把一把一个数最高位作为符号位，用个数最高位作为符号位，用“0”“0”表示表示

17、“+”“+”；用；用“1”“1”表示表示“-”“-”。其表示法有原码、反码和码其表示法有原码、反码和码.编编 码码（码制）（码制）数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.1.原码原码(True Form)(True Form)原码表示法原码表示法又称符号又称符号数值表示法。数值表示法。正数的正数的符号位用符号位用“0”“0”表示；负数的符号位用表示；负数的符号位用“1”“1”表表示；数值部分保持不变。示；数值部分保持不变。2.2.反码反码(Ones complement)(Ones complement)反码的符号表示法与原码相同，正数反码的数反码的符号表示法与原码相同，正数反码的数值部分保持不变，

18、而负数反码的数值是原码的数值部分保持不变，而负数反码的数值是原码的数值值按位求反按位求反。3.补码补码(Twos complement)补码的符号表示和原码相同。补码的符号表示和原码相同。正数的补码数正数的补码数X1=+1101 X2=1101(X1)原原=1101 (X2)原原=11101(X1)反反=01101=1101 (X2)反反=10010(X1)补补=(X1)原原=(X1)反反=01101=1101(X2)补补=10011数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 二、二、十进制的二进制编码十进制的二进制编码 用二进制数码按照不同规律编码来表示十进用二进制数码按照不同规律编码来表示十进制数。制

19、数。一个十进制数有十个不同数码，需要用四位一个十进制数有十个不同数码，需要用四位二进数才能表示。二进数才能表示。四位二进制数可组成四位二进制数可组成1616种不同的状态。一般种不同的状态。一般可分有权码和无权码。可分有权码和无权码。有权码有权码是指四位二进制数中的每一位对应有是指四位二进制数中的每一位对应有固权。固权。无权码无权码是指四位二进制数中每一位无固定的是指四位二进制数中每一位无固定的权，遵循另外的规则。权，遵循另外的规则。表所示几种有权码。表所示几种有权码。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础表表1.1.2 几种常见的几种常见的BCD代码代码 编码种类十进制数 二进制8421-BCD242

20、1-BCD余3码余3循环码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100010011010101111000010011001110101010011001101111111101010权 8421 2421 非恒权码 变权码 8421-BCD+“0011”相邻两码只有一相邻两码只有一位不同位不同数字逻辑-第一章 逻辑代数基础三、三、字符

21、编码字符编码 在数字系统中，还需要把符号、文字、图像在数字系统中，还需要把符号、文字、图像等用二进制数表示，这样的二进制数称为等用二进制数表示，这样的二进制数称为字符代字符代码码。目前在国际上用得比较多的字符有。目前在国际上用得比较多的字符有:十进制十进制数数0 09 9；大写和小写英文字母各；大写和小写英文字母各2626个；通用运算个；通用运算符号符号(+(+、-、等）及标点符号共有等）及标点符号共有128128种。种。可用七位二进制数对它们进行编码。可用七位二进制数对它们进行编码。(表表1.1.3)1.1.3)数字逻辑-第一章 逻辑代数基础加法、减法、乘法、除法加法、减法、乘法、除法1）二

22、进制的加法运算）二进制的加法运算二进制数的加法运算法则只有四条：二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位向高位进位)例：计算例：计算1101+1011的和的和（2）二进制数的减法运算）二进制数的减法运算二进制数的减法运算法则也只有四条：二进制数的减法运算法则也只有四条：0-0=00-1=1(向向高位借位高位借位)1-0=11-1=0例：计算例：计算11000011 00101101的差的差1.1.3 1.1.3 算术运算和逻辑运算算术运算和逻辑运算数字逻辑-第一章 逻辑代数基础（3）二进制数的乘法运算）二进制数的乘法运算二进制数的乘法运算法则

23、也只有四条：二进制数的乘法运算法则也只有四条：0*0=00*1=01*0=01*1=1例：计算例：计算11101101的积的积由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全，则部份积就是全0。部份积。部份积的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。累加器的功能是执行加法运算并保存

24、其结果，它是运算器的重要累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。组成部分。（4）二进制数的除法运算）二进制数的除法运算二进制数的除法运算法则也只有四条：二进制数的除法运算法则也只有四条：00=001=010=0(无意义无意义)11=1例：计算例：计算100110110的商和余数。的商和余数。由算式可知，由算式可知，(100110)2(110)2得商得商(110)2，余数，余数(10)2。但在计算机中实现上述除法过程，无法依靠观察判断每一步是否但在计算机中实现上述除法过程，无法依靠观察判断每一步是否“够减够减”，需进行修改，通常采用的有，需进行修改，通常采用的有“恢复余

25、数法恢复余数法”和和“不恢不恢复余数法复余数法”，数字逻辑-第一章 逻辑代数基础逻辑变量的概念逻辑变量的概念在逻辑代数中的变量称为在逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，用字，用字母母A、B、C、表示。逻辑变量只能有两种可表示。逻辑变量只能有两种可能的取值：能的取值：“1”或或“0”。这里的。这里的“1”和和“0”并不表并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。譬如是与非，真与假，有与无，通与断，三极管譬如是与非，真与假，有与无，通与断，三极管放大器饱和导通与截止等。放大器饱和导通与截止等。“1”表示条件具备表示条件具备或或事情发生；事情发生；“

26、0”表示条件不具备或事情不发生。表示条件不具备或事情不发生。反之，亦然。反之，亦然。1.2 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 例如例如,在下图所示的电路中在下图所示的电路中,指示灯是否亮取指示灯是否亮取决于开关是否接通决于开关是否接通.如果我们定义：如果我们定义：F=1表表示灯亮，示灯亮，F=0 表示灯灭；则表示灯灭；则 A=1 表示开关接表示开关接通，通，A=0 表示开关断开。表示开关断开。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础一、一、基本逻辑运算基本逻辑运算与逻辑举例：与逻辑举例：设设1 1表示开关闭合或灯亮；表示开关闭合或灯亮；0 0表示开关

27、不闭合或表示开关不闭合或灯不亮，灯不亮，则得则得真值表真值表。与运算与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。1 1与运算与运算若用逻辑表达式若用逻辑表达式来描述，则可写为来描述，则可写为数字逻辑-第一章 逻辑代数基础2或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。或逻辑举例：或逻辑举例：若用逻辑表达式若用逻辑表达式来描述，则可写为：来描述，则可写为：L LA A+B B 数字逻辑-第一章 逻辑代数基础3 3非非运运算算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件

28、具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。非逻辑举例：非逻辑举例：若用逻辑表达式来描述，则可写为：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础2 2或非或非 由或运算和非运算组合而成。由或运算和非运算组合而成。1 1与非与非 由与运算和非运算组合而成。由与运算和非运算组合而成。二、二、其他常用逻辑运算其他常用逻辑运算数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑表达式为：异或也可写成与或非的形式：3 3 3 3异或异或异或异或数字逻辑-第一章 逻辑代数基础(a)1001(b)BA0A B0010111L=L4

29、4 4 4同或同或同或同或同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。异或的逻辑表达式为：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.3 基本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则一、基本公式、定律一、基本公式、定律1.常量之间的关系：常量之间的关系：与运算：111001010000=.=.=.=.或运算：111101110000=+=+=+=+非运算：1001=2.基本定律：基本定律：互补律：01=.=+AAAA自等律：AAAAAA=.=+令令A=0、A=1代代入这些公式，即可入这些公式，即可证明等式成立证明等式成立0-1律：=.=+AA

30、AA10=.=+0011AA还原律：AA=数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 上面各式可用真值表证明，即：等式上面各式可用真值表证明，即：等式两边所对应的真值表相等，等式成立。两边所对应的真值表相等，等式成立。交换律：+=+.=.ABBAABBA结合律：+=+.=.)()()()(CBACBACBACBA分配律：+.+=.+.+.=+.)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定理）：.=+=.BABABABA数字逻辑-第一章 逻辑代数基础吸收律:+=+=+=+=+CABACBCABABABAAABAAABAA)()(1BA+=BA+=证明1：)(BAAABAA+=+数字逻辑-第一章 逻

31、辑代数基础证明2：BCCAAB+BCAACAAB)(+=BCAABCCAAB+=)1()1(BCACAB+=CAAB+=数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、常用规则二、常用规则1.代代入入规规则则：将等式两边出现的同一变量都用一个相同逻辑函数代替，则等式仍然成立。例如例如例如例如：已知，用函数Z=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：2.反反演演规规则则：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”“”换换换换 成成成成“”，“”换换换换 成成成成“”“”，“0”“0”换换 成成“1”“1”，“1”“1”换换成成“0”“0”，原原原原变变变变量量量量换换换换成成成成反反反反

32、变变变变量量量量，反反反反变变变变量量量量换换换换成成成成原原原原变量变量变量变量，那么所得到的表达式就是函数Z的反函数。这是摩根定理扩展为三变量的形式“先括号、然后乘、最后加先括号、然后乘、最后加”；不在一个变量上的反号应保留不变；不在一个变量上的反号应保留不变。例如例如例如例如：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础3.对偶规则：对偶规则：对对偶偶式式Z/：对于任何一个逻辑表达式Z，如果将表达式中的所有“”“”换换换换成成成成“”，“”换换换换成成成成“”“”，“0”“0”换换成成“1”“1”，“1”“1”换换成成“0”“0”，那么所得到的表达式就是函数Z的对偶式Z/。对偶规则对偶规则:凡原式成立

33、，则其对偶式也成立。例如例如例如例如：原式:对偶式:例如例如例如例如：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础描述逻辑函数的方法有：逻辑函数表达式描述逻辑函数的方法有：逻辑函数表达式 、真值表、逻辑图、卡诺图等。、真值表、逻辑图、卡诺图等。1.4逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法数字逻辑-第一章 逻辑代数基础一、逻辑函数表达式一、逻辑函数表达式用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间关系的代数式，叫间关系的代数式，叫逻辑函数表达式逻辑函数表达式。任何一见具体的因果关系都可以用一个逻任何一见具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。例如，图是一个举重裁判辑函数来描述

34、。例如，图是一个举重裁判电路，可以用一个逻辑函数表达式来描述它的电路，可以用一个逻辑函数表达式来描述它的举重功能。举重功能。比赛规则规定，在一名主裁判和两名副裁比赛规则规定，在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判)认定运动员的运动合格，试举才算成功。比赛认定运动员的运动合格，试举才算成功。比赛数字逻辑-第一章 逻辑代数基础时主裁判掌握着开关时主裁判掌握着开关A，两名副裁判掌握着开关，两名副裁判掌握着开关B和和C。当运动员举起杠铃时，裁判认为动作合。当运动员举起杠铃时，裁判认为动作合格了就合上开关，否则不合。显然，指示灯格了就合上开

35、关，否则不合。显然，指示灯y的的状态（亮与暗）是开关状态（亮与暗）是开关A、B、C状态（合上与状态（合上与断开）的函数，其逻辑函数表达式为断开）的函数，其逻辑函数表达式为 y=A（B+C）图图举重裁判举重裁判电路电路数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、真值表二、真值表将输入变量所有的取值下对应的输出值找将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到出来，列成表格，即可得到真值表真值表。三、逻辑图三、逻辑图将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以表示函数逻辑关系用图形符号表示出来，就可以表示函数关系的逻辑图。关系的逻辑

36、图。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础四、卡诺图四、卡诺图卡诺图是图形化的真值表。卡诺图是图形化的真值表。如果把各种输如果把各种输入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的方格图中，即可得到逻辑函数的方格图中，即可得到逻辑函数的卡诺图卡诺图。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础已知真值表求逻辑表达式和逻辑图已知真值表求逻辑表达式和逻辑图一、已知真值表求函数式一、已知真值表求函数式1.找出真值表中函数值为1的输入变量组合;2.将这些变量组合分别写成乘积项。乘积项中，凡变量值为1的因子写成原变量、为0的因子写成反变量。3.将上述乘积项相加即可。例如例如例如例如：真真

37、值值表表CABCBABCA、Z=123步骤：步骤：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、已知函数式画逻辑图二、已知函数式画逻辑图方法：方法：由函数式中所对应的逻辑符号画出逻辑图。例如例如例如例如：按先按先“与与”后后“或或”的运算顺序画的运算顺序画：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础已知逻辑表达式求真值表和逻辑图已知逻辑表达式求真值表和逻辑图方法：方法：将输入变量取值的所有组合（2n种；n为输入变量个数）逐一代入函数式中，算出函数值，并一一对应地列成表。例如例如例如例如：真真值值表表逻辑图：逻辑图：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础已知逻辑图求逻辑表达式和真值表已知逻辑图求逻辑表达式和真值表方法：方法：由

38、逻辑图的输入端开始，逐级写出各逻辑符号输出端的表达式；再由表达式得真值表（略）。例如例如例如例如：逻辑图：逻辑图：BBACBAZ+=数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.5 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法一个逻辑函数确定后，其真值表唯一，但其表达式却有多种形式，而对应不同的表达式就有不同的逻辑图；最简表达式所代表的电路元件最少、成本最低、可靠性好、传输时间短，因此，逻辑函数必须化简。一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义一、逻辑表达式的基本形式和最简式含义1.基本形式：基本形式：如如如如：与或式与或式与非与非式与非与非式或与非式或与非式或非或式或非或式数字逻辑-第一章 逻辑代数基础或与式或

39、与式或非或非式或非或非式与或非式与或非式与非与式与非与式2.最简与或式的含义：最简与或式的含义：乘积项的个数最少；每个乘积项里的变量个数也最少。二、代数化简法（公式法）二、代数化简法（公式法）1.定义：定义：利用逻辑代数的基本公式、定律对逻辑函数进行化简的方法。一般逻辑函数都化简成最简与或式最简与或式（最基本的），由最简与或式可变换为其他形式的最简式。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础2.常用的公式化简方法：常用的公式化简方法：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础例如例如：)()(CCABCCBA+=1.AABBA=+=并项法并项法ABCCBACABCBAZ+=2.BCEDCBBCAAZ+.+=)(BC

40、EDCBBCAA+=)()()(EDCBBCABCA+=BCA+=吸收法吸收法数字逻辑-第一章 逻辑代数基础4.3.CBCAABZ+=CBAAB)(+=.CABCABAB+=+=消去法消去法ABBABCCBZ+=)()(CCABBABCAACB+=CABABCBABCCBACBA+=)1()1()(ABCCBABBCA+=BCBACA+=配项法配项法 代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和代数化简法需要灵活、交替、综合地利用多个公式、多种方法和多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。多种运算技巧，才能将逻辑函数化为最简。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.6 逻辑函数的卡诺图化简

41、法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数不仅可用真值表、表达式、逻辑图来表示，还可用卡诺图表示。利用卡诺图化简逻辑函数，简捷直观、灵活方便，容易判断函数是否为最简式。卡诺图化简法适用于四变量以内的逻辑函数的化简。下面先介绍卡诺图中涉及到的概念。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.6.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式逻辑函数的最小项及最小项表达式一、定义一、定义 对于n个变量的函数，如果与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为函数的最小项最小项（共有2n个）。二、最小项编号二、最小项编号是n变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。这样的

42、与或表达式称为最小项表达式最小项表达式（标准与或式）。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础例如例如例如例如：Z(A、B、C）的真值表如下：编号编号代号代号最小项最小项最小项表达式：最小项表达式：数字逻辑-第一章 逻辑代数基础三、最小项性质三、最小项性质1.对输入变量任何一组取值在所有最小项（2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。2.在输入变量的任何一组取值下,任意两个最小项的乘积为0。3.全体最小项的和为1。4.若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性逻辑相邻性。具有逻辑相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并可消去一个因子。5.任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形

43、式，而且这种形式是唯一的。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.6.2 逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法一、卡诺图的画法规则一、卡诺图的画法规则 1.卡诺图卡诺图:用图示的方法,将n个变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得的图形叫做n变量的卡诺图。2.画法规则：画法规则：n个变量，有2n个最小项，用2n个小方格构成方形或矩形图。要求：1）上下、左右、相对的边界、四角等相邻格(几何相邻几何相邻)只允许一个因子发生变化。2）左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。3）变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。数

44、字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数1.方法方法:将函数的最小项表达式中含有的最小项含有的最小项在卡诺图对应的小方格中填填1，没有的填没有的填0或不填或不填。例如例如例如例如：三三变量的卡诺图：BCA000111100m0m1m3m21m4m5m7m6四四变量的卡诺图：CDAB0001111000m0m1m201m4m5m611m12m1310m8m9m3m7m15m11m14m10数字逻辑-第一章 逻辑代数基础 BCA0001111001111 BCA0001111001例如例如例如例如：Z的卡诺图：2.卡诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换：卡

45、诺图与逻辑函数的其他几种表示方法之间的互换：1）由真值表画卡诺图：）由真值表画卡诺图：例如例如例如例如：1111数字逻辑-第一章 逻辑代数基础CDA B00011110000111102）由逻辑函数与或式画卡诺图）由逻辑函数与或式画卡诺图：例如例如例如例如：111 1111111 11 111 13）由卡诺图写与或式）由卡诺图写与或式：例如例如例如例如：BCA000111100111111110CBABCAZ+=数字逻辑-第一章 逻辑代数基础1.6.3 用卡诺图法化简逻辑函数用卡诺图法化简逻辑函数一、步骤一、步骤1.将函数变换为与或式；将函数变换为与或式；2.画出卡诺图；画出卡诺图；3.将将2

46、n个有个有1的相邻小方格圈出（所圈小方格数是的相邻小方格圈出（所圈小方格数是2的的整次幂，即：整次幂，即：1个、个、2个、个、4个、个、8个个小方格为一个小方格为一个圈），提出公因子；圈），提出公因子；4.将公因子相加。将公因子相加。因卡诺图中的最小项几何相邻必定逻辑相邻几何相邻必定逻辑相邻，故几何相邻的最小项可以提取公因子，而消去不同项，这样就可以用卡诺图来化简逻辑函数。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、画圈原则二、画圈原则1.圈越大越好（圈大，消去的因子多）。圈越大越好（圈大，消去的因子多）。2.圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。圈的个数越少越好（化简后的乘积项少）。3.同一个同一个“

47、1”小方格可以被圈多次。小方格可以被圈多次。4.每个圈中要有新的每个圈中要有新的“1”。5.画圈时，可先圈大，后圈小。画圈时，可先圈大，后圈小。6.不要遗漏任何不要遗漏任何“1”的小方格；最后还要删除多余圈。的小方格；最后还要删除多余圈。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础例如例如例如例如：用卡诺图化简下列函数：1.BCA00011110011111112.CDA B0001111000011110111111111数字逻辑-第一章 逻辑代数基础3.BCA0001111001111114.CDA B000111100001111011111111或或:多余圈多余圈(删删除除)数字逻辑-第一章 逻辑代

48、数基础1.6.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简一、无关项的含义及其表示方法一、无关项的含义及其表示方法 1.含义含义:包括任意项和约束项。在2n个最小项中，那些对输出没有影响（称任意项任意项）或不会、不允许出现的输入变量（称约束项约束项）的组合所对应最小项，称无关项。它与函数值无关。例如例如例如例如：8421BCD码中，10101111六种组合不允许出现，为无关项。2.表示方法表示方法:（编号（编号)=0 或或 “函数式函数式”=0例如例如例如例如：也可写成:或或数字逻辑-第一章 逻辑代数基础二、具有无关项的逻辑函数化简二、具有无关项的逻辑函数化简 1.无关项在卡诺

49、图、真值表中的表示法无关项在卡诺图、真值表中的表示法:用“”填写无关项，既可既可 当当“”，也可当也可当“0”“0”。2.画圈原则：画圈原则：1）圈中不能全是无关项；2）无关项可以不圈。例如例如例如例如：用卡诺图化简下列函数：1.BCA0001111001111数字逻辑-第一章 逻辑代数基础2.CDA B000111100001111011111数字逻辑-第一章 逻辑代数基础本章小结 1.1.数字电路与模拟电路是电子电路的两个分支,它们的主要区别在于它们传输及处理的信号不同、半导体器件的工作状态不同、研究内容和分析方法不同等。数字电路的应用非常广泛。2.2.数字系统中采用二进制，它与十进制、八

50、进制、十六进制的区别在于各位的权不同。它们之间的相互转换也比较简单。8421BCD码是数字系统中常用的二十进制编码方法,只需将4位二进制数中的00001001保留，而去掉10101111六种状态，就可表示十进制数09十种状态。3.3.三种最基本的逻辑函数有与、或、非；复合逻辑函数有与非、或非、与或非、异或、同或等。数字逻辑-第一章 逻辑代数基础它们都可以用真值表、逻辑表达式、逻辑符号和卡诺图来表示，这几种表示方法之间可以相互转换。4.逻辑代数是分析和设计数字电路的基础，对于逻辑代数中的基本公式、定律和常用规则在于理解和熟记。5.逻辑函数的化简方法有两种；代数化简法和卡诺图化简法。代数化简法需要