【教学课件】第4章数据的概括性度量.ppt

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1、4-1统计学统计学STATISTICS第第 4 章章 数据的概括性度量数据的概括性度量作者：中国人民大学统计学院作者：中国人民大学统计学院贾俊平贾俊平统计学4-2统计学统计学STATISTICS第第 4 章章 数据的概括性度量数据的概括性度量4.1 集中趋势的度量集中趋势的度量 4.2 离散程度的度量离散程度的度量4.3 偏态与峰度的度量偏态与峰度的度量4-3统计学统计学STATISTICS学习目标学习目标1.集中趋势各测度值的计算方法集中趋势各测度值的计算方法2.集中趋势各测度值的特点及应用场合集中趋势各测度值的特点及应用场合3.离散程度各测度值的计算方法离散程度各测度值的计算方法4.离散程

2、度各测度值的特点及应用场合离散程度各测度值的特点及应用场合5.偏态与峰态的测度方法偏态与峰态的测度方法6.用用Excel计算描述统计量并进行分析计算描述统计量并进行分析4-4统计学统计学STATISTICS数据分布的特征数据分布的特征集中趋势集中趋势集中趋势集中趋势 (位置位置位置位置)偏态和峰态偏态和峰态偏态和峰态偏态和峰态（形状）（形状）（形状）（形状）离中趋势离中趋势离中趋势离中趋势 (分散程度分散程度分散程度分散程度)4-5统计学统计学STATISTICS数据分布特征的测度数据分布特征的测度数据特征的测度数据特征的测度众众众众众众 数数数数数数中位数中位数中位数中位数中位数中位数平均数

3、平均数平均数平均数平均数平均数离散系数离散系数离散系数离散系数离散系数离散系数方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差峰峰峰峰峰峰 态态态态态态四分位差四分位差四分位差四分位差四分位差四分位差异众比率异众比率异众比率异众比率异众比率异众比率偏偏偏偏偏偏 态态态态态态分布的形状分布的形状集中趋势集中趋势离散程度离散程度4-6统计学统计学STATISTICS4.1 集中趋势的度量集中趋势的度量4.1.1 分类数据：众数分类数据：众数4.1.2 顺序数据：中位数和分位数顺序数据：中位数和分位数4.1.3 数值型数据：平均数数值型数据：平均数4.1.4 众数、中位数和平

4、均数的比较众数、中位数和平均数的比较4-7统计学统计学STATISTICS集中位置集中位置(central tendency)1.1.一一组数据的中心位置或平均水平组数据的中心位置或平均水平2.2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值3.3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值4.4.低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据4-8统计学统计学STATISTICS分类数据：众

5、数分类数据：众数4-9统计学统计学STATISTICS众数众数(mode)1.一组数据中出现次数最多的变量值2.适合于数据量较多时使用3.不受极端值的影响4.一组数据可能没有众数或有几个众数5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据4-10统计学统计学STATISTICS众数众数(不惟一性不惟一性)无众数无众数原始数据:10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 424-11统计学统计学STATISTICS分类数据的众数分类数据的众数 (例题分析例题分析)不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频

6、数分布不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌饮料品牌饮料品牌饮料品牌频数频数频数频数比例比例比例比例百分比百分比百分比百分比(%)(%)可口可乐可口可乐可口可乐可口可乐 旭日升冰茶旭日升冰茶旭日升冰茶旭日升冰茶 百事可乐百事可乐百事可乐百事可乐 汇源果汁汇源果汁汇源果汁汇源果汁 露露露露露露露露15151111 9 9 6 6 9 90.300.300.220.220.180.180.120.120.180.1830302222181812121818合计合计合计合计50501 1100100解解解解：这这里里的的变变量量为为“饮饮料料品品牌牌”，这这是是个个分分类类变变量量，

7、不不同同类类型型的的饮饮料料就是变量值就是变量值 所所调调查查的的5050人人中中，购购买买可可口口可可乐乐的的人人数数最最多多，为为1515人人，占占总总被被调调查查人人数数的的30%30%，因因此此众众数数为为“可可口口可可乐乐”这这一一品品牌牌，即即 MMo o可口可乐可口可乐可口可乐可口可乐4-12统计学统计学STATISTICS顺序数据的众数顺序数据的众数 (例题分析例题分析)解解解解：这这里里的的数数据据为为顺顺序序数数据据。变变量量为为“回回答类别答类别”甲甲城城市市中中对对住住房房表表示示不不满满意意的的户户数数最最多多，为为108108户户，因因此此众众数数为为“不不满满意意

8、”这这一类别，即一类别，即 MMo o不满意不满意不满意不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 (户户户户)百分比百分比百分比百分比 (%)(%)非常不满意非常不满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意 24 24108108 93 93 45 45 30 30 8 83636313115151010合计合计合计合计300300100.010

9、0.04-13统计学统计学STATISTICS顺序数据：中位数和分位数顺序数据：中位数和分位数4-14统计学统计学STATISTICS中位数中位数(median)1.排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值MMe e50%50%2.不受极端值的影响不受极端值的影响3.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据用于分类数据4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即4-15统计学统计学STATISTICS中位数中位数(位置的确定位置的确定)原始数据：原始数据：分组数据：分组数据：4-16统计学统

10、计学STATISTICS顺序数据的中位数顺序数据的中位数 (例题分析例题分析)解：解：解：解：中位数的位置为中位数的位置为 300/2 300/2150150 从从累累计计频频数数看看，中中位位数数在在“一一般般”这这一组别中一组别中 中位数为中位数为 Me=一般一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 (户户户户)累计频数累计频数累计频数累计频数 非常不满意非常不满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般

11、一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意 24 24108108 93 93 45 45 30 30 24 24132132225225270270300300合计合计合计合计3003004-17统计学统计学STATISTICS数值型数据的中位数数值型数据的中位数(9个数据的算例个数据的算例)【例】【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 16301500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排排排排 序序序序:750 780 850 960 10

12、80 1250 1500 1630 2000750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位位位 置置置置:1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 6 7 8 9中位数中位数 10804-18统计学统计学STATISTICS数值型数据的中位数数值型数据的中位数(10个数据的算例个数据的算例)【例】：【例】：10个家庭的人均月收入数据排排排排 序序序序:660660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位位位 置置置置:

13、1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 10 7 8 9 10 4-19统计学统计学STATISTICS四分位数四分位数(quartile)1.排序后处于25%和75%位置上的值2.不受极端值的影响3.主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QQL LQQMMQQU U25%25%25%25%4-20统计学统计学STATISTICS四分位数四分位数(位置的确定位置的确定)原始数据：原始数据：分组数据：分组数据：4-21统计学统计学STATISTICS顺序数据的四分位数顺序数据的四分位数 (例题分析例题分析)解：解：解：解：Q QL L位置位置=(300)/4

14、 (300)/4=7575 Q QU U位置位置 =(3300)/4(3300)/4 =225225 从从累累计计频频数数看看，Q QL L在在“不不满意满意”这一组别中；这一组别中；Q QU U在在“一般一般”这一组别中这一组别中 四分位数为四分位数为 Q QL L =不满意不满意不满意不满意 QQU U =一般一般一般一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 (户户户户)累计频数累计频数累计频数累计频数 非常不满意非常不

15、满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意 24 24108108 93 93 45 45 30 30 24 24132132225225270270300300合计合计合计合计3003004-22统计学统计学STATISTICS数值型数据的四分位数数值型数据的四分位数(9个数据的算例个数据的算例)【例】：【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 16301500 750 780 1080 850 960 2000 125

16、0 1630排排排排 序序序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位位位 置置置置:1 1 2 32 3 4 4 5 5 6 6 7 87 8 9 94-23统计学统计学STATISTICS数值型数据的四分位数数值型数据的四分位数(10个数据的算例个数据的算例)【例】：【例】：10个家庭的人均月收入数据排排排排 序序序序:660660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000750 780 850 960 1080 1250 1

17、500 1630 2000位位位位 置置置置:1 1 2 32 3 4 4 5 65 6 7 7 8 98 9 10 10 4-24统计学统计学STATISTICS数值型数据：平均数数值型数据：平均数4-25统计学统计学STATISTICS平均数平均数(mean)1.集中趋势的最常用测度值2.一组数据的均衡点所在3.体现了数据的必然性特征4.易受极端值的影响5.用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据4-26统计学统计学STATISTICS简单平均数与加权平均数简单平均数与加权平均数(simple mean/weighted mean)设一组数据为：设一组数据为：x x1 1，x x2 2，

18、x xn n各组的组中值为：各组的组中值为：MM1 1，MM2 2，MMk k 相应的频数为：相应的频数为：f f1 1，f f2 2，f fk k简单均值简单均值简单均值简单均值加权均值加权均值加权均值加权均值4-27统计学统计学STATISTICS已改至此！已改至此！某电脑公司销售量数据分组表某电脑公司销售量数据分组表某电脑公司销售量数据分组表某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组组中值组中值组中值组中值(MMi i)频数频数频数频数(f fi i)MMi i f fi i 140140 150150150150 160160160160 1701701

19、70170 180180180180 190190190190 200200200200 210210210220210220220230220230230240230240145145155155165165175175185185195195205205215215225225235235 4 4 9 916162727202017171010 8 8 4 4 5 5 580 58013951395264026404725472537003700331533152050205017201720 900 90011751175合计合计合计合计1201202220022200加权平均数加权平均

20、数 (例题分析例题分析)4-28统计学统计学STATISTICS加权平均数加权平均数(权数对均值的影响权数对均值的影响)甲乙两组各有甲乙两组各有1010名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：甲组：甲组：甲组：考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（x x）:0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（人数分布（人数分布（f f）：）：）：）：1 1 81 1 8 乙组：乙组：乙组：乙组：考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（x x）:0 20 100 0 20 100 人数分布（人数分布（人数分布（人数分布（f f）：）：）：）：8

21、1 18 1 14-29统计学统计学STATISTICS平均数平均数(数学性质数学性质)1.各变量值与均值的离差之和等于零 2.各变量值与均值的离差平方和最小4-30统计学统计学STATISTICS调和平均数调和平均数(harmonic mean)1.均值的另一种表现形式2.易受极端值的影响3.计算公式为原来只是计算原来只是计算时使用了不同时使用了不同的数据！的数据！4-31统计学统计学STATISTICS调和平均数调和平均数 (例题分析例题分析)某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜蔬菜蔬菜名称名称名称名称批发价格批发

22、价格批发价格批发价格(元元元元)MMi i成交额成交额成交额成交额(元元元元)MMi i f fi i成交量成交量成交量成交量(公斤公斤公斤公斤)f fi i甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙1.201.200.500.500.800.8018000180001250012500 6400 640015000150002500025000 8000 8000合计合计合计合计36900369004800048000【例例例例】某某蔬蔬菜菜批批发发市市场场三三种种蔬蔬菜菜的的日日成成交交数数据据如如表表，计计算算三三种蔬菜该日的平均批发价格种蔬菜该日的平均批发价格4-32统计学统计学STATISTICS几何

23、平均数几何平均数(geometric mean)1.n n 个变量值乘积的个变量值乘积的 n n 次方根次方根2.适用于对比率数据的平均适用于对比率数据的平均3.主要用于计算平均增长率主要用于计算平均增长率4.计算公式为计算公式为5.5.可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形4-33统计学统计学STATISTICS几何平均数几何平均数 (例题分析例题分析)【例例例例】某某水水泥泥生生产产企企业业19991999年年的的水水泥泥产产量量为为100100万万 吨吨，20002000年年 与与 19991999年年 相相 比比 增增 长长 率率 为为 9%9%，20012001年年与与2000

24、2000年年相相比比增增长长率率为为16%16%，20022002年年与与20012001年年相相比比增增长长率率为为20%20%。求求各各年年的的年年平平均均增增长率。长率。年平均增长率年平均增长率114.91%-1=114.91%-1=14.91%14.91%4-34统计学统计学STATISTICS几何平均数几何平均数 (例题分析例题分析)【例例例例】一一位位投投资资者者购购持持有有一一种种股股票票，在在20002000、20012001、20022002和和20032003年年收收益益率率分分别别为为4.5%4.5%、2.1%2.1%、25.5%25.5%、1.9%1.9%。计算该投资者

25、在这四年内的平均收益率。计算该投资者在这四年内的平均收益率 算术平均：算术平均：算术平均：算术平均：几何平均：几何平均：几何平均：几何平均：4-35统计学统计学STATISTICS众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的比较4-36统计学统计学STATISTICS众数、中位数和平均数的关系众数、中位数和平均数的关系左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值均值均值=中位数中位数中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数众数众数右

26、偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数均值均值均值均值均值均值4-37统计学统计学STATISTICS众数、中位数、平均数的众数、中位数、平均数的特点和应用特点和应用1.众数众数n n不受极端值影响不受极端值影响n n具有不惟一性具有不惟一性n n数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用2.中位数中位数n n不受极端值影响不受极端值影响n n数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用3.平均数平均数n n易受极端值影响易受极端值影响n n数学性质优良数学性质优良n n数据对称分布或接近对称分布时应用数据

27、对称分布或接近对称分布时应用4-38统计学统计学STATISTICS数据类型与集中趋势测度值数据类型与集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型数据类型数据类型数据类型分类数据分类数据分类数据分类数据 顺序数据顺序数据顺序数据顺序数据间隔数据间隔数据间隔数据间隔数据比率数据比率数据比率数据比率数据适适适适用用用用的的的的测测测测度度度度值值值值众数众数众数众数中位数中位数中位数中位数均值均值均值均值均值均值均值均值四分位数四分位数四分位数四分位数众数众数众数众数调和平均数调和平均数调和平

28、均数调和平均数众数众数众数众数中位数中位数中位数中位数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数四分位数四分位数四分位数四分位数 中位数中位数中位数中位数四分位数四分位数四分位数四分位数众数众数众数众数4-39统计学统计学STATISTICS4.2 离散程度的度量离散程度的度量4.2.1 分类数据：异众比率分类数据：异众比率4.2.2 顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差4.2.3 数值型数据：方差和标准差数值型数据：方差和标准差4.2.4 相对位置的度量：标准分数相对位置的度量：标准分数4.2.5 相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数4-40统计学统计学STATISTICS离中趋势离中

29、趋势1.数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征2.反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度4.不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值4-41统计学统计学STATISTICS分类数据：异众比率分类数据：异众比率4-42统计学统计学STATISTICS异众比率异众比率(variation ratio)1.对分类数据离散程度的测度2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为 4.用于衡量众数的代表性4-43统计学统计学STA

30、TISTICS异众比率异众比率 (例题分析例题分析)解：解：解：解：在在所所调调查查的的5050人人当当中中，购购买买其其他他品品牌牌饮饮料料的的人人数数占占70%70%，异异众众比比率率比比较较大大。因因此此，用用“可可口口可可乐乐”代代表表消消费费者者购购买买饮饮料料品品牌牌的的状状况况，其代表性不是很好其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌饮料品牌饮料品牌饮料品牌频数频数频数频数比例比例比例比例百分比百分比百分比百分比(%)(%)可口可乐可口可乐可口可乐可口可乐 旭日升冰茶旭日升冰茶旭日升冰茶旭日升冰茶 百事可乐

31、百事可乐百事可乐百事可乐 汇源果汁汇源果汁汇源果汁汇源果汁 露露露露露露露露15151111 9 9 6 6 9 90.300.300.220.220.180.180.120.120.180.1830302222181812121818合计合计合计合计50501 11001004-44统计学统计学STATISTICS顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差4-45统计学统计学STATISTICS四分位差四分位差(quartile deviation)1.对顺序数据离散程度的测度2.也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差 Qd=QU QL4.反映了中间50%数据的离散程度5.不受极端值的

32、影响6.用于衡量中位数的代表性4-46统计学统计学STATISTICS四分位差四分位差 (例题分析例题分析)解解解解：设设非非常常不不满满意意为为1,1,不不满满意意为为2,2,一一般般为为3,3,满满意意为为 4,4,非非常常满满意为意为5 5 。已知已知 Q QL L =不满意不满意 =2 2 Q QU U =一般一般 =3 3四分位差：四分位差：Q Qd d =Q QU U =Q QL L =3 2 3 2 =1 1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别回答类别回答类别甲城市

33、甲城市甲城市甲城市户数户数户数户数 (户户户户)累计频数累计频数累计频数累计频数 非常不满意非常不满意非常不满意非常不满意 不满意不满意不满意不满意 一般一般一般一般 满意满意满意满意 非常满意非常满意非常满意非常满意 24 24108108 93 93 45 45 30 30 24 24132132225225270270300300合计合计合计合计3003004-47统计学统计学STATISTICS数值型数据：方差和标准差数值型数据：方差和标准差4-48统计学统计学STATISTICS极差极差(range)1.一组数据的最大值与最小值之差一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度

34、值离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响易受极端值影响4.未考虑数据的分布未考虑数据的分布7 7 8 8 9 910107 7 8 8 9 9 1010 R=max(xi)-min(xi)5.计算公式为计算公式为4-49统计学统计学STATISTICS平均差平均差(mean deviation)1.各变量值与其均值离差绝对值的平均数各变量值与其均值离差绝对值的平均数2.能全面反映一组数据的离散程度能全面反映一组数据的离散程度3.数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少4.计算公式为计算公式为未分组数据未分组数据未分组数据未分组数据组距分组数据组距分组数据组距分组数据组距分组数

35、据4-50统计学统计学STATISTICS平均差平均差 (例题分析例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组组中值组中值组中值组中值(MMi i)频数频数频数频数(f fi i)140150140150150 160150 160160 170160 170170 180170 180180 190180 190190 200190 200200 210200 210210 220210 220220 230220 230230 240230 240

36、145145155155165165175175185185195195205205215215225225235235 4 4 9 916162727202017171010 8 8 4 4 5 54040303020201010 0 010102020303040405050160160270270320320270270 0 0170170200200240240160160250250合计合计合计合计120120204020404-51统计学统计学STATISTICS平均差平均差 (例题分析例题分析)含义：含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差17台4-52统计学统计学STATIST

37、ICS方差和标准差方差和标准差(variance and standard deviation)1.数据离散程度的最常用测度值2.反映了各变量值与均值的平均差异3.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4 6 8 10 124 6 8 10 12 x x=8.38.34-53统计学统计学STATISTICS样本方差和标准差样本方差和标准差 (simple(simple variancevariance and and standard deviationstandard deviation)未分组数据：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：未分组数

38、据：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式注意：注意：注意：样本方差用自样本方差用自样本方差用自由度由度由度n nn-1-1-1去除去除去除!4-54统计学统计学STATISTICS样本方差样本方差自由度自由度(degree of freedom)1.1.一组数据中可以自由取值的数据的个数一组数据中可以自由取值的数据的个数2.2.当当样样本本数数据据的的个个数数为为 n n 时时，若若样样本本均均值值 x x 确确定定后后,只只有有n n-1-1个个数数据据可可以以自自由由

39、取取值值，其其中中必必有有一一个个数数据据则不能自由取值则不能自由取值3.3.例例如如，样样本本有有3 3个个数数值值，即即x x1 1=2=2，x x2 2=4=4，x x3 3=9=9，则则 x x =5 5。当当 x x =5 5 确确定定后后，x x1 1，x x2 2和和x x3 3有有两两个个数数据据可可以以自自由由取取值值，另另一一个个则则不不能能自自由由取取值值，比比如如x x1 1=6=6，x x2 2=7=7，那么那么x x3 3则必然取则必然取2 2，而不能取其他值，而不能取其他值4.4.样样本本方方差差用用自自由由度度去去除除，其其原原因因可可从从多多方方面面解解释释，

40、从从实实际际应应用用角角度度看看，在在抽抽样样估估计计中中，当当用用样样本本方方差差去估计总体方差去估计总体方差 2 2时，它是时，它是 2 2的无偏估计量的无偏估计量4-55统计学统计学STATISTICS样本标准差样本标准差 (例题分析例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组组中值组中值组中值组中值(MMi i)频数频数频数频数(f fi i)140150140150150 160150 160160 170160 170170 180170

41、180180 190180 190190 200190 200200 210200 210210 220210 220220 230220 230230 240230 240145145155155165165175175185185195195205205215215225225235235 4 4 9 916162727202017171010 8 8 4 4 5 54040303020201010 0 010102020303040405050160160270270320320270270 0 0170170200200240240160160250250合计合计合计合计1201205

42、5400554004-56统计学统计学STATISTICS样本标准差样本标准差 (例题分析例题分析)含义：含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台4-57统计学统计学STATISTICS相对位置的测量：标准分数相对位置的测量：标准分数4-58统计学统计学STATISTICS标准分数标准分数(standard score)1.也称标准化值2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量3.可用于判断一组数据是否有离群点4.用于对变量的标准化处理5.计算公式为4-59统计学统计学STATISTICS标准分数标准分数(性性质质)1.均值等于02.方差等于14-60统计学统计学STATISTIC

43、S标准分数标准分数(性性质质)z z分分数数只只是是将将原原始始数数据据进进行行了了线线性性变变换换，它它并并没没有有改改变变一一个个数数据据在在改改组组数数据据中中的的位位置置，也也没没有有改改变变该该组组数数分分布布的的形形状状，而而只只是是将将该该组组数数据据变变为为均均值值为为0 0，标准差为，标准差为1 1。4-61统计学统计学STATISTICS标准化值标准化值 (例题分析例题分析)9 9个家庭人均月收入标准化值计算表个家庭人均月收入标准化值计算表个家庭人均月收入标准化值计算表个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号家庭编号家庭编号家庭编号人均月收入（元）人均月收入（元）人均月收入

44、（元）人均月收入（元）标准化值标准化值标准化值标准化值 z z 1 12 23 34 45 56 67 78 89 915001500 750 750 780 78010801080 850 850 960 960200020001250125016301630 0.695 0.695-1.042-1.042-0.973-0.973-0.278-0.278-0.811-0.811-0.556-0.556 1.853 1.853 0.116 0.116 0.996 0.9964-62统计学统计学STATISTICS经验法则经验法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个

45、标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 4-63统计学统计学STATISTICS切比雪夫不等式切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality)1.如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用2.切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少”3.对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数4-64统计学统计学STATISTICS切比雪夫不等式切比雪夫不等式(Ch

46、ebyshevs inequality)对于k=2，3，4，该不等式的含义是1.至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内2.至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内3.至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内4-65统计学统计学STATISTICS相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数4-66统计学统计学STATISTICS离散系数离散系数(coefficient of variation)1.标准差与其相应的均值之比2.对数据相对离散程度的测度3.消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为4-67统计学统计学

47、STATISTICS离散系数离散系数 (例题分析例题分析)某管理局所属某管理局所属某管理局所属某管理局所属8 8家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据企业编号企业编号企业编号企业编号产品销售额（万元）产品销售额（万元）产品销售额（万元）产品销售额（万元）x x1 1销售利润（万元）销售利润（万元）销售利润（万元）销售利润（万元）x x2 21 12 23 34 45 56 67 78 8170170220220390390430430480480650650950950100010008.18.112.512.518.018.022.022.026.5

48、26.540.040.064.064.069.069.0【例例例例 】某某管管理理局局抽抽查查了了所所属属的的8 8家家企企业业，其其产产品品销销售售数数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度4-68统计学统计学STATISTICS离散系数离散系数 (例题分析例题分析)结结论论：计算结果表明，v1 0为右偏分布4.偏态系数 0为左偏分布4-74统计学统计学STATISTICS偏态系数偏态系数 (skewness coefficient)1.根据原始数据计算2.根据分组数据计算4-75统计学统计学STATISTICS偏态系数偏态系数 (例题分析例

49、题分析)某电脑公司销售量偏态及峰度计算表某电脑公司销售量偏态及峰度计算表某电脑公司销售量偏态及峰度计算表某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组按销售量份组按销售量份组按销售量份组(台台台台)组中值组中值组中值组中值(MMi i)频数频数频数频数 f fi i140 150140 150150 160150 160160 170160 170170 180170 180180 190180 190190 200190 200200 210200 210210 220210 220220 230220 230230 240230 240145145155155165165175175185

50、185195195205205215215225225235235 4 4 9 916162727202017171010 8 8 4 4 5 5-256000-256000-243000-243000-128000-128000 -27000 -27000 0 0 17000 17000 80000 80000 216000 216000 256000 256000 625000 6250001024000010240000 7290000 7290000 2560000 2560000 270000 270000 0 0 170000 170000 1600000 1600000 6480