【教学课件】第3章功和能.ppt

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1、第第3 3章章 功和能功和能 3.1 功功 保守力保守力力对空间的积累力对空间的积累？一、功（一、功（work）由由 所作的功所作的功 1、外力对质点的功外力对质点的功元功元功：恒力的功恒力的功 直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：极坐标系：极坐标系：2、多个力作用时的功（对质点）、多个力作用时的功（对质点）合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。代数和。（1）功是功是标量标量（可正、可负、可为零）（可正、可负、可为零）（2）功与路径有关，是过程的函数（功与路径有关，是过程的函数（过程量过程量）（3）功是力对空间的积累功是力对空间

2、的积累（4）功的单位为焦耳功的单位为焦耳（J）说明说明 1 弹簧弹力的功。弹簧弹力的功。解解 当物体处于当物体处于 x 处时所受的弹力为：处时所受的弹力为：物体由物体由 x a 移动到移动到 x b 处处时弹性力所作的功为：时弹性力所作的功为：由此可见由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功；：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。弹簧收缩时，弹力作正功。弹性力的功弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。二、几种常见力的功二、几种常见力的功2 2 重力的功重力的功 作用于质点上的重力作用于质点上的重力 位移元位移元 在由在由P P1 1到到P

3、P2 2的过程中重力做功为的过程中重力做功为:重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。力作正功，质点上升时重力作负功。3 万万有有引引力力的的功功。m1 在在m2的的引引力力场场沿沿其其椭椭圆圆轨轨道道由由ra移移到到r b。求求引力对引力对m1 所作的功。所作的功。解：解：讨论讨论 万有引力的功万有引力的功A的大小仅与始末状态有关的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。而与路径无关。在不同的位置，其功的正负和数值不同在不同的位置，其功的正负和数值不同轨道为圆形时，轨道为圆形时，A=0.4 4

4、 摩擦力的功摩擦力的功 质量为质量为m m的质点，在固定的粗糙水平的质点，在固定的粗糙水平面上由初始位置面上由初始位置P P1 1沿某一路径沿某一路径L L1 1运动到运动到末位置末位置P P2 2，路径长度为，路径长度为s s，如图所示。，如图所示。由于摩擦力的方向总是与速度的由于摩擦力的方向总是与速度的方向相反。所以元功方向相反。所以元功质点由质点由P P1 1点沿点沿L L1 1运动到运动到P P2 2点的过程中，摩擦力所做的功为点的过程中，摩擦力所做的功为:摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。三、保守力与非保守力三

5、、保守力与非保守力特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关1、保守力保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为功不为零。这种力为非保守力非保守力。如摩擦力、冲力、火箭的推动力等如摩擦力、冲力、火箭的推动力等2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。

6、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。证明：证明：证明：证明：平均功率：平均功率：瞬时功率：瞬时功率：四、功率四、功率(power)表示表示作功快慢作功快慢的物理量的物理量定义：定义：功随时间的变化率功随时间的变化率.SI单位单位:焦耳焦耳/秒秒 (瓦特瓦特)额定功率额定功率最大输出功率最大输出功率.3.2 势势 能能一、一、势能势能保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关。保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能

7、与位置坐标有关的能量称为势能：积分路径是任意的。积分路径是任意的。质点从质点从 a点移到零势能点点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。的过程中，保守力作的功。说明说明 势能是属于整个系统的。势能是属于整个系统的。势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，各点的势能才具有唯一的确定值。各点的势能才具有唯一的确定值。只有保守力场才能引入势能的概念。只有保守力场才能引入势能的概念。重力势能为重力势能为 万有引力势能为万有引力势能为 弹性势能为弹性势能为 在保守力场中，质点势能的减少等于保守力在保守力场中，质点势能的减少等于保守力F对质点所做的功。对质点所做的功

8、。表述为表述为 重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 二、保守力与势能梯度二、保守力与势能梯度 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。势能梯度矢量的负值。哈密顿算符哈密顿算符一、质点的动能定理一、质点的动能定理末态的状态量末态的状态量初态的状态量初态的状态量导致状态量导致状态量变化变化1.质点的动质点的动 能能标量标量 由于运动而具有的能量由于运动而具有的能量 状态量状态量 3.3 质点和质点系动能定理质点和质点系动能定理2.质点的质点的动能定理动能定理合外力对质点做的合外

9、力对质点做的功等于该质点动能功等于该质点动能的增量。的增量。质点质点的动能定理的动能定理功是动能变化的量度功是动能变化的量度外力作正功，质点动能增加外力作正功，质点动能增加 外力作负功，质点动能减少外力作负功，质点动能减少A为过程量，与过程有关，而为过程量，与过程有关，而Ek为状态量为状态量A与与v应对应同一惯性系应对应同一惯性系说明说明3.用动量表示动能用动量表示动能mpEK22=动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的积分形式动能定理的积分形式例例 质量为质量为m、线长为、线长为l的单摆，可绕的单摆，可绕o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，

10、然后自由放下，求摆线与水拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平线成平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。角时，摆球的速率和线中的张力。解解 摆球受摆线拉力摆球受摆线拉力T和重力和重力mg,合力作的功为合力作的功为由动能定理由动能定理牛顿第二定律的法向分量式为牛顿第二定律的法向分量式为:证明：由证明：由牛顿第二定律牛顿第二定律：又由于又由于故有：故有：即：即：亦即：亦即：例例 在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上平平放放有有半半圆圆形形屏屏障障。质质量量为为m的的滑滑块块以以速速度度v0 沿沿切切线线方方向向进进入入屏屏障障内内，滑滑块块与与屏屏障障间间的的摩摩擦擦系系数数为为，试试证证明明：当当

11、滑滑块块从从屏屏障障的的另另一一端端滑滑出出时，摩擦力所作的功为：时，摩擦力所作的功为：作定积分，得：作定积分，得：即：即：故：故：由质点的由质点的动能定理动能定理得：得：质点系所有内力之和为零质点系所有内力之和为零1、质点系、质点系 内力和外力：内力和外力：外力：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。注意注意:质点系中任意一个质点，例如第质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零系统内其它质点作用力的矢量和不

12、一定为零。质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即受的合外力，即 二、质点系的动能定理：二、质点系的动能定理：含两个或两个以上的含两个或两个以上的质点质点的力学系统。的力学系统。对对m1:对对m2:对各质点应用动能定理：对各质点应用动能定理：两式相加，得：两式相加，得：即即2、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：、2 个质点的系统：个质点的系统：分别对系统内的每个质点应用动能定理分别对系统内的每个质点应用动能定理：累加得累加得、n 个质点的系统：个质点的系统：所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等所有外力对系统做的功与内力对系统做的

13、功之和等于质点系总动能的增量。于质点系总动能的增量。4、内力内力能能改变改变系统的系统的总动能总动能，但但不改变不改变系统的系统的总动量总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有。、动能是质点因运动而具有。3、功与动能必须对应同一惯性系。、功与动能必须对应同一惯性系。说明说明质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式讨论：讨论：设设f12与与f21是一对作用力反作用力是一对作用力反作用力、一对作用力所做功的代数和，等于一个质点所受力点乘其、一对作用力所做功

14、的代数和，等于一个质点所受力点乘其相对于另一个质点的相对位移，可正可负。相对于另一个质点的相对位移，可正可负。、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参考系的选择无关。与参考系的选择无关。，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，质点系内力，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，质点系内力的总功一般不为零，且可正可负。的总功一般不为零，且可正可负。、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的总功为零。总功为零。一对作用力反作用力的功一对作用力反作用力的功、两质点间的一

15、对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。TA作负功、作负功、T B作正功，其代数和为零。作正功，其代数和为零。由动能定理得由动能定理得解得：解得：系统初态动能为：系统初态动能为：例例 物物体体mA和和mB通通过过一一不不能能伸伸缩缩的的细细绳绳相相连连，mA 由由静静止止下下滑滑，mB 上上升升，mA滑滑过过S 的的距距离离时时，mA和和mB的的速速率率v=?(摩摩擦擦力力及及滑滑轮的质量不计轮的质量不计)。解解 选选取取物物体体A

16、、B 与与细细绳绳组组成成一一系系统，系统所统，系统所受外为重力受外为重力GA、GB 支持力支持力N；内力为绳子的拉力。内力为绳子的拉力。末态动能为：末态动能为：3.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为质点系的动能定理的微分形式和积分形式分别为 内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，则 而而 则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成：则质点系的功能原理的微分形式和积分形式可以写成：E表示动能和势能之和称为表示动能和势能

17、之和称为机械能机械能。系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，但表达方式不同。它对于不同的惯性系也保持其形式不变。但表达方式不同。它对于不同的惯性系也保持其形式不变。需需要指出的是要指出的是:在动能定理中在动能定理中,功包括所有外力功和内力功。在功功包括所有外力功和内力功。在功能原理中的功能原理中的功,包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力的功的功,在功

18、能原理中计算在内在功能原理中计算在内,因为它已用势能的形式考虑在内。因为它已用势能的形式考虑在内。说明说明二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律只有只有每一微小过程中每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，则此过程中的机械能守恒。零时，则此过程中的机械能守恒。语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总功总功始终始终为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒功，则系统各物体的动能和

19、势能可以相互转换，但其和为一恒量。量。三、能量守恒定律：三、能量守恒定律：各各种种形形式式的的能能量量可可以以相相互互转转换换，但但无无论论如如何何转转换换，能能量量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。例例 如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点其一端系在铅直放置的圆环的顶点P P，另一端，另一端系一质量为系一质量为m m的小球，小球穿过圆环并在圆环的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于静止于A A点，弹簧处于自然状态，

20、其长度为圆点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径环的半径R R。当小球运动到圆环的底端。当小球运动到圆环的底端B B点时，点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P P点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A A运动运动到到B B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状

21、态时的弹性的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取势能为零；取B B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得B点时由牛顿第二定律得方程点时由牛顿第二定律得方程 例例 光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另点，另一端与滑块一端与滑块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压

22、缩一段距离x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹脱离弹簧后与簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被压缩的距，求弹簧被压缩的距离离x.解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机械在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒能守恒A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环

23、轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足（4 4）（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）、（）、（4 4）联立求解可得）联立求解可得 例例 如如图图，两两个个带带理理想想弹弹簧簧缓缓冲冲器器的的小小车车A A和和B B，质质量量分分别别为为m m1 1和和m m2 2B B不不动动，A A以以速速度度 与与B B碰碰撞撞，如如已已知知两两车车的的缓缓冲冲弹弹簧簧的的劲劲度度系系数数分分别别为为k k1 1和和k k2 2，在在不不计计摩摩擦擦的的情情况况下下，求求两两车车相相对对静静止止时，其间的作用力为多大

24、？（弹簧质量略而不计）时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）解解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。时，两车速度相等。在碰撞过程中，以两车和弹簧为在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒。系统，动量守恒，机械能守恒。x x1 1、x x2 2分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律相对静止时两车间的相互作用力相对静止时两车间的相互作用力例例 要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最

25、小值为多大？速度最小值为多大？解解：由机械能守恒定律得到：由机械能守恒定律得到 例例 目目前前，天天体体物物理理学学家家预预言言有有一一类类天天体体，其其特特征征是是它它的的引引力力非非常常之之大大，以以至至包包括括光光在在内内的的任任何何物物质质都都不不能能从从它它上上面面发发射射出出来来，这这种种天天体体被被称称为为黑黑洞洞（black hole)。若若由由于于某某种种原原因因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？解解 由机械能守恒定律由机械能守恒定律当当时时m要从要从M上逃逸，有：上逃逸，有：逃逸速度为逃逸速度为v与与m无关，与无关，与R,M有关有关.光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞若一个质量若一个质量M的天体，只要半径的天体，只要半径R缩小到某一临界值缩小到某一临界值此天体就称为黑洞。对太阳此天体就称为黑洞。对太阳M=1.991030kg,R=6.96108m成为黑洞。成为黑洞。