【教学课件】第3章1复变函数的积分.ppt

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1、第第3章章 复变函数的积分复变函数的积分1.1.有向曲线有向曲线有向曲线有向曲线1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念设设设设C C为平面上为平面上为平面上为平面上规定了方向的曲线规定了方向的曲线规定了方向的曲线规定了方向的曲线C CA AB B其中其中其中其中A A为为为为起起起起点点点点,B B为为为为终终终终点点点点,从从从从起起起起点到点到点到点到终终终终点的方向点的方向点的方向点的方向称为称为称为称为正正正正方向方向方向方向,记为记为记为记为C C从从从从终终终终点到点到点到点到起起起起点的方向点的方向点的方向点的方向 称为称为称为称为负负负负方向方向方向方向,记为记为记为记为C

2、C简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线的的的的正正正正向规定为向规定为向规定为向规定为:沿着该曲线前进时沿着该曲线前进时沿着该曲线前进时沿着该曲线前进时它围成的内部它围成的内部它围成的内部它围成的内部 始终在始终在始终在始终在左左左左侧侧侧侧起起起起点点点点终终终终点点点点的一条的一条的一条的一条光滑光滑光滑光滑曲线曲线曲线曲线称为称为称为称为有向有向有向有向曲线曲线曲线曲线.1D D2.2.复变函数积分的定义复变函数积分的定义复变函数积分的定义复变函数积分的定义设函数设函数设函数设函数定义在区域定义在区域定义在区域定义在区域D D内内内内,C C是是是是D D内起点为内起点为内起点为内起

3、点为A A终点为终点为终点为终点为B B的的的的A AB BC C一条光滑有向曲线，一条光滑有向曲线，一条光滑有向曲线，一条光滑有向曲线，用用用用n1n1个分点，个分点，个分点，个分点，将将将将C C分成分成分成分成n n个小弧段，个小弧段，个小弧段，个小弧段，如果极限存在如果极限存在如果极限存在如果极限存在,则称该极限值则称该极限值则称该极限值则称该极限值为函数为函数为函数为函数沿曲线沿曲线沿曲线沿曲线C C的积分的积分的积分的积分记为记为记为记为如果如果如果如果C C为闭曲线为闭曲线为闭曲线为闭曲线则沿该闭曲线则沿该闭曲线则沿该闭曲线则沿该闭曲线 的积分记为的积分记为的积分记为的积分记为2

4、则沿曲线则沿曲线则沿曲线则沿曲线C C3.3.积分存在的条件积分存在的条件积分存在的条件积分存在的条件如果如果如果如果在区域在区域在区域在区域D D内内内内且曲线且曲线且曲线且曲线C C是是是是D D内内内内或者是一条或者是一条或者是一条或者是一条一定存在一定存在一定存在一定存在D DA AB BC C光滑光滑光滑光滑曲线曲线曲线曲线分段分段分段分段光滑曲线光滑曲线光滑曲线光滑曲线处处处处处处处处连续连续连续连续,一条一条一条一条光滑光滑光滑光滑曲线曲线曲线曲线,分段分段分段分段光滑曲线光滑曲线光滑曲线光滑曲线,的积分的积分的积分的积分3A AB BC C起起起起点点点点终终终终点点点点C=C

5、C=C1 1+C+C2 2C C1 1C C2 24.4.积分的性质积分的性质积分的性质积分的性质若在曲线若在曲线若在曲线若在曲线C C上上上上曲线曲线曲线曲线C C的长度为的长度为的长度为的长度为L L,则则则则4写出曲线写出曲线写出曲线写出曲线C C的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程5.5.积分的计算方法一：积分的计算方法一：积分的计算方法一：积分的计算方法一：参数方程参数方程参数方程参数方程代入法代入法代入法代入法:A AB BC C起起起起点点点点终终终终点点点点求出起点求出起点求出起点求出起点A A对应的参数对应的参数对应的参数对应的参数终终终终点点点点B B对应的参数对应的参

6、数对应的参数对应的参数从原点到从原点到从原点到从原点到的直线段的直线段的直线段的直线段例如从原点到例如从原点到例如从原点到例如从原点到的直线段的直线段的直线段的直线段为中心、为中心、为中心、为中心、半径半径半径半径R R的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程原点为中心、原点为中心、原点为中心、原点为中心、半径半径半径半径R R的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程的的的的参数参数参数参数方程为方程为方程为方程为的的的的参数参数参数参数方程为方程为方程为方程为54848页页页页2.2.计算计算计算计算起起起起点点点点终终终终点点点点1 1）解）解）解）解 参数方程：参数方程：参数方程：参数方

7、程：2 2）解）解）解）解参数方程：参数方程：参数方程：参数方程：原式原式原式原式原式原式原式原式1)1)沿直线沿直线沿直线沿直线2)2)沿曲线沿曲线沿曲线沿曲线6例例例例2 2 计算计算计算计算1)1)从原点到从原点到从原点到从原点到起起起起点点点点终终终终点点点点A A的的的的直线直线直线直线段段段段1)1)解解解解 参数方程：参数方程：参数方程：参数方程：其中其中其中其中C C为为为为2)2)从原点沿从原点沿从原点沿从原点沿实轴实轴实轴实轴到到到到1,1,再从再从再从再从1 1垂直向上到垂直向上到垂直向上到垂直向上到的的的的折线折线折线折线段段段段2)2)解解解解C C1 1C C2 2

8、C C1 1参数方程：参数方程：参数方程：参数方程：C C2 2参数方程：参数方程：参数方程：参数方程：7练习练习计算计算计算计算其中其中其中其中C C为一条闭路，为一条闭路，为一条闭路，为一条闭路，由由由由直线直线直线直线段：段：段：段：与与与与上半圆周上半圆周上半圆周上半圆周组成组成组成组成 OO解解解解设设设设原式原式原式原式=8记住记住记住记住3636页例页例页例页例3.23.2的结论的结论的结论的结论设设设设C C：证明：证明：证明：证明：整数整数整数整数C C的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程:积分算法二：积分算法二：积分算法二：积分算法二：特别特别特别特别C C是以原点为中

9、心、是以原点为中心、是以原点为中心、是以原点为中心、半径为半径为半径为半径为r r的的的的正向正向正向正向圆周圆周圆周圆周整数整数整数整数例如例如例如例如OO9例例例例3 3 计算计算计算计算其中其中其中其中C C为正向圆周为正向圆周为正向圆周为正向圆周:解解解解解法解法解法解法2 2由由由由得到得到得到得到原式原式原式原式=2)2)解解解解由由由由得到得到得到得到原式原式原式原式=10D DTh3.3Th3.3若若若若3.2 柯西积分定理柯西积分定理在在在在单连通区单连通区单连通区单连通区域域域域D D内内内内解析解析,则则则则沿沿沿沿D D内内内内的积分的积分的积分的积分C C证明证明证明

10、证明在在在在D D内内内内解析解析解析解析与与与与在在在在D D内内内内可微可微可微可微，且，且，且，且所以所以所以所以因为因为因为因为根据根据根据根据格林公式格林公式格林公式格林公式一、一、一、一、D D1 1单连通区域上单连通区域上单连通区域上单连通区域上 的柯西积分定理的柯西积分定理的柯西积分定理的柯西积分定理任何任何任何任何一条一条一条一条 封闭封闭封闭封闭曲线曲线曲线曲线C C为为为为零零积分算法三：积分算法三：积分算法三：积分算法三：11Th3.3 Th3.3 若若若若在在在在单连通单连通单连通单连通解析解析解析解析,则则则则任何任何任何任何一条一条一条一条的积分为的积分为的积分为

11、的积分为零零C C设设设设C C是一条是一条是一条是一条Th3.4Th3.4若若若若则则则则沿沿沿沿D D内内内内例例例例1 1 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：解解解解 因为函数因为函数因为函数因为函数在闭区域在闭区域在闭区域在闭区域上处处上处处上处处上处处解析解析解析解析所以所以所以所以例例例例2 2 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C解解解解 因为函数因为函数因为函数因为函数在复平面上在复平面上在复平面上在复平面上所以所以所以所以区域区域区域区域D D内内内内简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线

12、是包围原点是包围原点是包围原点是包围原点 的闭曲线的闭曲线的闭曲线的闭曲线简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线简单闭曲线C C处处处处处处处处解析解析解析解析在在在在闭区域闭区域闭区域闭区域上上上上解析解析12例例例例3 3 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：解解解解在在在在上上上上解析解析解析解析所以所以所以所以例例例例4 4 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：解解解解在在在在上上上上解析解析解析解析所以所以所以所以因为因为因为因为因为因为因为因为13例例例例5 5 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：因为因为因为因为在在在在上上上上解析解析解析解析所以所以所以所以解解解解得得得得因为因为因为因为在在在在上上上上解析解析解析解析所以所以所以所以解解解解得得得得例例例例6 6 计算积分计算积分计算积分计算积分其中其中其中其中C C是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：是正向圆周：令令令令令令令令14第三章作业第三章作业48页习题页习题31，2，36，7，8，9，10,12,151615