【教学课件】第3章动态电路的基本分析.ppt

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1、第3章 动态电路的基本分析 教学提示：本章主要介绍动态电路的基本分析方法。在大多数实用电路中，电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的基本元件，后两者是动态元件，它们是分析各种动态电路的基础。一阶动态电路就是只含有一个元件的电路。将响应的初始值、稳态值、时间常数称作一阶动态电路的三要素。一阶动态电路的三要素分析法就是对三要素求解的方法。教学要求：掌握动态元件的特性；理解电路的动态过程及换路定律；初步掌握一阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应和三要素分析法。3.1 3.1 电感元件、电容元件与换路定律电感元件、电容元件与换路定律 电阻、电感和电容都是构成电路模型的基本元件；电阻元件是

2、耗能元件，电感元件和电容元件属于储能元件，后两者的电压和电流关系是对时间t的微积分关系，所以称为动态元件。含有动态元件的电路就称为动态电路。因此，搞清楚动态元件的特性，是分析各种动态电路的基础。在分析动态元件前，先观察一个含R、L、C元件的实验电路如图3.1所示。图3.1 R、L、C实验电路电路分别由一个电压源US，一个开关S三个规格一样的灯泡串上各自对应的元件R、L和C所构成。当开关S闭合后，可以观察到三个灯泡发生了不同的现象。与R串联的灯泡立即发亮，而后亮度不变；与L串联的灯泡开始不亮，而后逐渐由暗变亮，直至亮度稳定不变；与C串联灯泡仅是瞬间发亮，而后亮度逐渐变暗，直至熄灭。所观察到的三种

3、不同现象，其原因是灯泡串接了三种不同的元件R、L、C，各种元件的特性不同，才会产生上述的三种不同现象。只有把电感、电容的遵循规律搞清楚，才能为分析各种动态电路打下一个良好基础。3.1.1 电感元件与电感的换路定律1.1.电感元件电感元件将一漆包铜线(俗称漆包线)绕在骨架上(可以是磁芯或铁芯)或绕成螺旋状的线圈，就构成了一个实际的电感器。图3.2(a)所示为一N匝线圈构成的电感器，图3.2(b)所示为电感器的模型或符号。图3.2 电感元件当电流i流过电感线圈时，线圈周围就会产生磁场，因此也就存储了磁能，就会有磁通穿过这个线圈。如果电流i发生变化时，也随之发生变化，且的变化与电流i的变化是正比关系

4、。如果用磁链表示磁性的强弱，N为线圈的匝数，则因为这个磁通量线圈中自身电流产生的，可称为自感磁通或自感磁通链，若用线圈的自感L表示，则式中，L就是电感，所用单位是亨利，简称亨(H)，常用的单位还有毫亨(mH)，微亨(H)等，它们之间的换算关系为1mH=101mH=10-3-3 H H1H=10-6-6 H H(3.1)(3.2)由式(3.2)可知，当电流i变动时，磁通链随之变动，则在线圈两端将感应出电压u，若电压u和电流i的参考方向一致，则将式(3.2)代入上式，就得到电感两端的电压u与流过电感的电流i之间的关系为电感元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为(3.3)(3.4)由式（3.3

5、）可知，任何时刻线性电感元件上的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电流不随时间变化时，则感应电压为零，这时电感元件相当于短路。在直流稳定电路中，由于电感中电流是稳定不变的，感应电压u=0，电感相当于短路。2.2.电感的换路定律电感的换路定律从式(3.4)可看出，电流i是电压u随时间t积分的值，如果时间变化趋于零，i的变化也会趋于零，则有电感的换路定律为(3.5)式(3.5)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电感上的电流，等于开关合上前的瞬间电感上的电流值。电感的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流iL应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电感内的电流不会

6、发生突变。3.电感元件的感抗电感元件的感抗电感元件在电路中起到过直(流)阻交(流)作用。反映电感对交流阻碍作用程度用感抗XL表示，在只含有电感元件的交流电路中，感抗为感抗XL的单位为。显然感抗与f和L两个量成正比关系。电感元件具有“通直流”、“隔交流”的作用。(3.6)【例3.1】在一个音频电路中，有一只电感为2mH，试计算频率在2000Hz及2000kHz时各自的电感值，并述说这只电感在电路中所起的作用。解：频率在2000Hz(音频范围)时频率在2000kHz(高频范围)时当频率在2000kHz时的感抗是频率在2000Hz时的感抗的1000倍。可见，电感起到过音频阻高频的作用，使得该音频电路

7、不受高频干扰。=25.12=251203.1.2 电容元件与电容的换路定律1.1.电容元件电容元件将两块金属极板中具有一定间隔，且中间加上绝缘介质(如空气云母、电解质等)就构成了一个实际的电容器。电容器种类繁多，常见的有瓷介电容、电解电容等。电容元件可以储存电荷和电场能量。如图3.3(a)所示，是一个电容元件的符号，在电容元件两端加上电源后，两块极板上将聚集等量的正负电荷，如图3.3(b)所示，在介质中建立了电场，储存了电场能量。如果将电源撤走后，电荷仍会继续聚集在两块板上一段时间，电场仍保留一段时间，所以说电容器是一种储能元件。图3.3 电容元件若用C表示电容器的电容量，q表示电容器所带的电

8、荷量，u表示电容器两端的电压，其关系为 式(3.7)中，q的单位为库仑(C)，简称库，u的单位为伏(V)，C的单位为法拉，简称法(F)，实际中的电容器常用单位为微法(F)或皮法(pF)，它们之间的换算关系为(3.7)当电容上的电压u变化时，q也随之变化，其电流i就是q的变化率。如果选择u和i的参考方向一致，如图3.3(c)所示，则该电流为(3.8)这就是电容上流过的电流与其电容两边电压的关系，即电容上的电流与电压的变化率成正比。电容器具有充放电的功能；当加到电容器上的电压与电流参考方向一致，而且是从零逐步上升时，电容器上电量也随之增多，这就是对电容器充电；当加到电容器上的电压与电流参考方向不一

9、致，而且是电压逐步下降时，电容器上电量也随之减少，这就是电容在放电。如果 ，也就是电压不随时间变化时，电容器相当于开路。由式(3.8)可知，电容元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为(3.9)2.2.电容的换路定律电容的换路定律从式(3.9)可看出，电压u是电流i随时间t积分而来的值，如果时间变化趋于零，u的变化也会趋于零，则有电容的换路定律为(3.10)式(3.10)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电容上的电压 等于开关合上前的瞬间，电容上的电压值 。电容的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电容元件上的极间电压UC，应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电容端电

10、压不会发生突变。3.3.电容元件的容抗电容元件的容抗电容元件在电路中起到过交(流)隔直(流)作用。反映电容对交流阻碍作用程度用容抗XC表示，在只含有电容元件的交流电路中，容抗为显然容抗与和C两个量成反比关系；在直流稳定电路中，由于频率f为零，则容抗为无穷大，换言之，对直流电路中电容相当于开路。【例3.2】在一个220V，50Hz的交流电路中，有一只电容为20F，试计算电容的容抗；当频率50Hz升到500Hz时，电容的容抗又是多少？(3.11)解：频率在50Hz时 频率在1000Hz时由例3.2可知，同一电容对不同频率具有不同的容抗，频率越高，容抗就越小。3.2 电容、电感的串并联由电容的串并联

11、及电感的串并联可以构成各种串并联电路，与电阻的串并联公式类似，下面将给出电容、电感的串并联公式。3.2.1 电容的串并联在实际电路应用中，经常会遇到手头上的电容器的电容量或耐压值达不到所需要求时，可以采取将一些电容器串、并联连接起来的方法来满足需求。1.1.电容的并联电容的并联图3.4(a)为电容C1与C2相并联的电路，图3.4(b)为其等效电路图。并联电容的等效电容等于各个电容之和，所以并联电容可以提高电容量，其并联电容公式为图3.4 电容的并联(3.12)式(3.12)电容并联公式类似电阻串联公式，其电容并联分流关系与电阻串联时的分压关系类似，电容分流(交流电流)公式为2.2.电容的串联电

12、容的串联图3.5(a)为电容C1与C2相串联的电路，图3.5(b)为其等效电路图。串联电容的等效电容的倒数，等于各个串联电容的倒数之和，所以串联电容的等效电容量变小，且小于每个电容，但等效电容的耐压值加大。要特别注意电容小的分得的电压大，其串联电容公式为(3.13)式(3.14)电容串联公式类似电阻并联公式，其电容串联时的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电容分压(交流电流)公式为(3.14)图3.5 电容的串联(3.15)解：当C2与C3并联时的等效电容为当C1与C23串联时等效电容为【例3.3】如图3.6所示电路中，有标称值为3F、250V的3个电容器分别为C1、C2、C3进行串并联，试

13、求等效电容及端口电压Uab最大允许值？图3.6 例3.3电路图由已知条件可知C1小于C23，则U1是大于U23的，且U1不能超过标称值250V。当U1=250V时，可得则所以求得端口最大电压值不允许超过375V。=3.2.2 电感的串并联1.1.电感的串联电感的串联图3.7(a)为电感L1与L2相串联的电路，图3.7(b)为其等效电路图。串联电感的等效电感等于各个电感之和，所以串联电感可以提高电感量，其串联电感公式为图3.7 电感的串联(3.16)式(3.16)电感串联公式类似电阻串联公式，其电感串联的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电感分压(交流电压)公式为2.2.电感的并联电感的并联图

14、3.8(a)为电感L1与L2相并联的电路，图3.8(b)为其等效电路图。并联电感的等效电感的倒数，等于各个并联电感的倒数之和，所以并联使电感的等效电感量变小，其并联电感公式为(3.17)(3.18)图3.8 电感的并联式(3.18)电感并联公式类似电阻并联公式，其电感并联的分流关系与电阻并联的分流关系类似，电感分流(交流电流)公式为(3.19)如同电阻的串、并联公式一样，利用电容、电感的串并联公式，可以将电路中的多个电感、电容进行合并化简后，更容易计算出它们的未知电流和电压。解：电路总电感为电路总电容为【例3.4】如图3.9(a)电路所示，当t0时，开关处在1的位置上，电路处在一个稳定状态，当

15、t=0时，开关S从1打到2上，求初始值 、。得到等效电路图如图3.9(b)所示。(b)图3.9 例题3.4电路图当t0时，电路处在一个稳定状态，电容C上充满电且很稳定，无电流流过，可视电容开路；通过电感的电流也很稳定，可视电感为导线，相当于短路，由此得根据换路定律，当开关S打到2上时，即t=的瞬间，电流 为电流 为3.3 一阶电路的暂态分析当某些事物处于一种稳定状态，当条件发生变化后，经过一定的时间又会过渡到另一种新的稳定状态，而由一种稳态到另一种稳态并不会发生突变，需要经历一个过渡过程，这个过渡过程又称为暂态过程。下面对含有动态元件的电路的暂态过程进行分析。3.3.1 基本术语1.1.换路换

16、路前面介绍了动态元件电感和电容的换路定律，这里概括就是在含有动态元件的电路中，如果发生电路的接通、断开或电源突然变化等情况，称为“换路”。2.2.稳态稳态动态电路的稳定状态，称为稳态。3.3.暂态暂态动态元件的能量一般只能连续变化，且不能发生跃变，然而，当电路发生换路时，会引起动态元件上响应变化。由此，引起变化时间很短暂，称为“暂态”。4.4.零输入响应零输入响应在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，当外加激励(电压源，电流源)为零。此时的动态元件上原始能量引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零输入响应”。5.5.零状态响应零状态响应在电路发生换路前，动态元件中原始能量为零。

17、换路时，仅由外加激励引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零状态响应”。6.6.全响应全响应在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，且又有外加激励作用，这种情况所引起电路中的电压、电流发生变化，称作“全响应”。在线性电路中，全响应可以看成零输入响应和零状态响应两部分之和。3.3.2 一阶动态电路的零输入响应1.RC放电电路的零输入响应放电电路的零输入响应只含有一个动态元件的电路称为一阶电路。一阶电路在实际的电路中用得很多，一般分为RC一阶电路和RL一阶电路。RC放电电路如图3.10所示，RC零输入响应电路，实质上就是一个RC放电电路。当开关S处在1端的位置时，电压源US对电容C充

18、电，当充电一段时间后，C上已被充满电荷，RC电路处于稳态。此时流过C的电流为零。当t=0时，开始换路，将开关S从1端合到2端，电压源被断开(外加激励为零)，由电容C与R构成放电回路，储存在电容C中的电荷要通过电阻R释放，于是放电过程开始。放电刚开始的瞬间，由电容换路定律知根据KVL定律，RC放电回路的电压方程式为图3.10 RC零输入响应电路上式是一个一阶常系数线性齐次微分方程，对该式求解可得RC回路的零输入响应为因为，所以有(3.20)(3.21)上式的=RC称为动态电路的时间常数。的单位秒(s)。电容中流过的电流为(3.22)由式(3.20)、式(3.22)可见，电压uC和电流iC都是随时

19、间按指数规律不断衰减的曲线，如图3.11(a)、(b)所示。其过渡过程从理论上看，按指数规律，要经过无限长时间，过渡过程才结束，但实际上一般经过35的时间后，剩下的电容电压值极小，可以认为电路已经进入稳态。图图3.11 uC和和iC响应曲线响应曲线时间常数=RC的值越大，放电时间越长，如C越大，电容器原先储存的电量就多，因此放电时间就会长一些，所以在实际生活和工作中，刚关断电源的电路，如果有的大电容存储了很高电压，一时来不及放电，这时是不能用手随意触摸电容的电极，否则有被触电的危险。解：(1)根据图3.10电路所示，由电容换路定律得由式(3.20)得【例3.5】如图3.10电路所示，已知图中的

20、R=10k，US=12V，C=10F，当开关从1端合到2端时，求：(1)电路的零输入响应 和 ；(2)当电容器上电压放电后，衰减到6V时所需要的时间是多少？时间常数由式(3.22)得(2)时得2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应RL电路如图3.12所示，开关S原先是断开的，电路处在稳态，此时电感相当于短路，L中已经储能；当t=0时，开关S合上，L上原有的能量要通过电阻R释放，电感中仍有初始电流iL并在RL回路中逐渐衰减，直至为零。在这个过程中，L中原来的储能逐渐被电阻R消耗，转为热能。图图3.12RL零输入响应电路零输入响应电路根据KVL定律，RL放电回路的电压方程式为以电流iL作为待求响

21、应，对上式求解可得因为，所以有(3.23)RL回路的零输入响应为 。式(3.23)中的称为动态电路的时间常数。其单位为秒(s)。可见，RL回路中，R值越大，L值越小，响应速度就越快，反之就慢。电感两端的电压为由式(3.23)、式(3.24)，可以得到如图3.13所示的RL电路的零输入响应曲线。图图3.13RL零输入响应曲线零输入响应曲线(3.24)由图3.13可知，电路的时间常数决定了暂态过程的时间快、慢，改变电路中的L和R可以改变RL电路的暂态过程。解：(1)当S断开前：(2)当t=0时，S断开，由式(3.23)得【例3.6】如图3.14所示的电路中，开关S断开前电路处于稳态。已知US=12

22、0V，R1=10，R2=30，L=0.4H，当开关断开后，求电路的零输入响应 和 。图图3.14例例3.6图图由式(3.24)得时间常数，所以有3.3.3 一阶动态电路的零状态响应1.RC充电电路的零状态响应充电电路的零状态响应RC充电电路如图3.15所示，RC零状态响应电路，实质上就是一个RC充电电路。开关S闭合前电容上的原始能量为零，电路处在零状态。当开关S闭合时，电源通过电阻对电容器C进行充电，这使得电容电压逐步升高，而充电电流逐渐减小，直到UC等于US，iC也减小为零，充电过程结束。让我们分析下面的充电过程。图3.15RC零状态响应电路充电刚开始瞬间，由电容换路定律得知根据KVL定律，

23、RC充电回路的电压方程为对上式求解可得因为，所以有(3.25)电路的电流响应为图3.16 RC零状态响应曲线(3.26)根据式(3.25)和式(3.26)画出 和 波形图如图3.16(a)、(b)所示。【例3.7】图3.15电路中，已知 。开关S合上前，电容C上储能为零，电路处在零状态；当开关S合上且t=0时，求电路的零状态响应和各是多少？解：由电容换路定律得时间常数由于所以电路的电流 响应为 2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应RL零状态响应电路如图3.17所示，开关S原先是断开的，电感中的电流为零，电路处在零状态，当开关S闭合后，电感L中的电流从零逐步增加达到稳态，对直流而言，此时的电

24、感L相当于短路。图3.17 RL零状态响应电路与曲线当图3.17所示的RL电路处在零状态响应t=(0+)时，电流为零，因而电阻R上的电压，那么电感L的电压。当电路进入稳态后，在过渡过程中，是按指数规律衰减，而电路中电流从零逐步增加到后达到稳值。是按指数规律上升，而电阻两端电压是从零逐步增加到，其变化的快慢由电路的时间常数来决定。RL电路的零状态响应的变化规律用下式表达为(3.27)(3.28)(3.29)其中时间常数=L/R。iL，uL，uR随时间变化规律的曲线如图3.17(b)所示。解：(1)电路达到稳态时，电流也达到稳定值，则【例3.8】如图3.17电路中，已知 当开关S闭合后，试求电路达

25、到稳态时的电流和t为零秒时电感上的电压。(2)t=0(s)时，3.3.4 一阶动态电路的全响应当电路中动态元件在换路前就已具有初始能量，换路后又有外加激励电源的作用，在它们的共同作用下所产生的电路响应，称为全响应。用下式表达为全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应1.RC一阶电路完全响应一阶电路完全响应当RC电路中电容在换路前已储能，换路后又外加激励，两者共同作用产生的响应，称为RC一阶电路的全响应。如图3.18所示的电路，换路前开关S处在1端的位置，电路处于稳态。换路瞬间 。图3.18 RC全响应电路当开关S由1端打到2端位置时，电容除原有的能量外，还受 的作用，因此电容电

26、压全响应可看作零输入响应和零状态响应叠加而成，其电容全响应表达式为(3.30)【例3.9】如图3.18所示的电路，试求开关S从1端打到2端后的。已知。解：(1)求零输入响应(2)求零状态响应由式(3.30)得出全响应为其中时间常数其中第一项中，6为电路达到稳态时的电容电压值，可以用来表示，称为稳态分量；第二项为按指数规律衰减的函数，只存在于暂态过程，最终要衷减到零，所以又称为暂态分量。由此，全响应就可以表示为全响应=稳态分量+暂态分量2.RL一阶电路完全响应一阶电路完全响应当RL电路中电感在换路前已储能，换路后又外加激励，两者共同作用产生的响应称为RL一阶电路的全响应。如图3.19所示的电路，

27、换路前开关S未闭合，电路已处于稳态。电感元件L相当于短路。开关S闭合时，由换路定律可得图图3.19 RL全响应电路全响应电路由KVL定律得取iL和uL为关联方向时可为换路后电路时间常数 ，电感电流全响应可看作零输入响应和零状态响应的叠加，其电感全响应表达式为(3.31)3.3.5 一阶动态电路的三要素分析法由上述讨论可知，一阶动态响应等于电路的暂态响应和稳态响应之和。其过程为：电路响应由初始值向新的稳态值过渡，并按一定规律逐渐过渡到新的稳态值，过渡过程快慢由时间常数来决定，由此，将响应的初始值、稳态值，时间常数称作一阶动态电路的三要素。一阶动态电路的三要素分析法就是对三要素求解的方法。一阶动态

28、电路的初始值和，是在换路前的电路中去求解，然后由换路定律写出。一阶动态电路的稳态值则由换路后过渡到新的稳态时的电路求解。由三要素求解法的任意一阶动态电路的解为 一阶动态电路的时间常数则由换路后的电路中求解。若用f(0+)表示所求响应的初始值；为所求响应新的稳态值；为电路的时间常数(RC电路中为，RL电路中为为换路后的等效电阻)；f(t)为电路中待求的响应(电压和电流)。(3.32)3.4 本 章 小 结1.在大多数实用电路中，电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的基本元件，后两者是动态元件，它们是各种动态电路的基础。2.电感器是储能元件，具有“阻交过直”的作用；电容器也是储能元件，具有

29、“隔直过交”的作用。3.在实际电路应用中，经常将一些电容器、电感器进行串、并联连起来以达到电路需求，并联电容的等效电容等于各个电容之和，其公式为，串联公式为；串联电感的等效电感等于各个电感之和，其公式为，并联公式为。4.只含有一个动态元件的电路称一阶动态电路。动态电路的稳定状态称为稳态。5.含有动态元件的电路中，电路的接通、断开或电源突然变化等情况，称作“换路”；当电路发生换路时，会引起动态元件上响应变化。由此引起变化时间很短暂，故称“暂态”。6.零输入响应是指，在电路发生换路前，动态元件上已储有能量，换路时，当外加激励为零，此时的动态元件上原始能量引起的响应。7.零状态响应是指，换路前动态元件上储能为零。换路后仅外加激励引起电路的响应。8.一阶动态电路全响应可看成是零输入响应和零状态响应两部分之和，也可表示为：全响应=暂态分量+稳态分量。9.暂态向稳态过渡的过程为：电路响应由初始值向新的稳态值过渡，过渡过程的快慢由时间常数决定，由此，将响应的初始值、稳态值、时间常数称作一阶动态电路的三要素。三要素分析法就是对三要素求解的方法。