【教学课件】第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

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1、 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X第第6章章 无限脉冲响应数字滤波无限脉冲响应数字滤波器的设计器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字数字 低通滤波器低通滤波器 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 本章讲述滤波器的基本概念，讲述无限脉冲响应本章讲述滤波器的基本概念，讲述无

2、限脉冲响应数字滤波器（低通、高通、带通和带阻）的设计方法数字滤波器（低通、高通、带通和带阻）的设计方法转换法。转换法。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 XCRuo(t)ui(t)10.70701/Rc例例10.0.滤波器的基本概念滤波器的基本概念 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X设设 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X分贝分贝(dB)的定义的定义:010.707c当当-3dB带宽带宽:第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X例例2系统函数为系统函数为

3、频率函数为频率函数为2.5-200.6y(n)x(n)z-1 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 1.数字滤波器的分类数字滤波器的分类(1)经典滤波器与现代滤波器经典滤波器与现代滤波器(2)低通低通,高通高通,带通和带阻带通和带阻 (3)无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。滤波器。数字滤波器的低频频带位于数字滤波器的低频频带位于2的整数倍处，高的整数倍处，高频频带位于频频带位于的奇数倍附近，的奇数倍附近，第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 XIIR和和FIR 系统函数

4、分别为：系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)(NM)称为称为N阶阶IIR滤波器函数滤波器函数称为称为N-1阶阶FIR滤波器函数滤波器函数 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X2.数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求(1)(1)理想滤波器理想滤波器图图6.1.1 理理想低通、高想低通、高通、带通、通、带通、带阻滤波器带阻滤波器幅度特性幅度特性 带通带阻 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 假设数字滤波器的频率函数假设数字滤波器的频率函数H(e j)用下式表示：用下式表示：()为相频特性，表示通过滤波器后各频率成

5、分在时为相频特性，表示通过滤波器后各频率成分在时间上的延迟情况。间上的延迟情况。(2)物理可实现滤波器物理可实现滤波器 为幅频特性，表示通过滤波器后各频率成分为幅频特性，表示通过滤波器后各频率成分衰减情况。衰减情况。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 Xp 通带截止频率通带截止频率 c 3dB通带截止频率通带截止频率 s 阻带截止频率阻带截止频率图图6.1.2 低通滤波器的技术要求低通滤波器的技术要求010.707通带通带(0,p)内要求内要求阻带阻带(s,)内要求内要求p 到到s为过渡带。为过渡带。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波

6、器的设计 X例如：某滤波器的频率特性为例如：某滤波器的频率特性为 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X(6.1.3)(6.1.4)p和和s分别定义为：分别定义为：通通带带内内允允许许的的最最大大衰衰减减用用p表表示示，阻阻带带内内允允许许的的最小衰减用最小衰减用s表示表示.如如将将|H(ej0)|归归一一化化为为1，(6.1.3)和和(6.1.4)式式则则表表示示成：成：(6.1.5)(6.1.6)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X与理想低通比较与理想低通比较:010.7070 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无

7、限脉冲响应数字滤波器的设计 X 设设计计步步骤骤：先先设设计计模模拟拟滤滤波波器器得得到到传传输输函函数数Ha(s)，然然后后将将Ha(s)按按某某种种方方法法转转换换成成数数字字滤滤波波器器的的系系统统函函数数H(z)。3.数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器设计方法滤波器设计方法,经常用的一类设计方法是借助经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。于模拟滤波器的设计方法进行的。另一类是直接在频域或时域中进行设计。另一类是直接在频域或时域中进行设计。FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法,常用的有窗函数法和频率常用的有窗函数法和频率采样法。采样法。第第6章

8、章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 图图6.2.1 各种理想模拟滤波器的幅频特性各种理想模拟滤波器的幅频特性 0 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)技术指标技术指标 模拟低通滤波器的设计指模拟低通滤波器的设计指标有标有p,p,s和和s。图图6.2.2 低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频特性p和和s分别称为通带截止分别称为通带截止频率和阻带截止频率频率和阻带截止频率.010.707损耗函数：损耗函数：用对数表示幅频

9、特性用对数表示幅频特性 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X图中图中c称为称为3dB截止频率。截止频率。0 p是通带是通带(=0p)中的中的最大衰减系数，最大衰减系数，s是阻带是阻带s的最小衰减系数，的最小衰减系数，p和和s一般用一般用dB数表示。数表示。损耗函数曲线：损耗函数曲线：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X对于单调下降的幅度特性，可表示成：对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)如果如果=0处幅度已归一化到处幅度已归一化到1，即，即|Ha(j0)|=1,p和和s表示为：表示为：(6.2.3

10、)(6.2.4)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X由给定的指标由给定的指标p,p,s和和s 求出求出 ,然后得然后得到到Ha(s).(2)逼近方法逼近方法称为幅度平方函数称为幅度平方函数.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X而一般滤波器的单位冲激响应而一般滤波器的单位冲激响应h(t)为实数且收敛，因此为实数且收敛，因此为保证系统的稳定为保证系统的稳定,的极点应位于的极点应位于S平面的左半平平面的左半平面面,的极点应位于的极点应位于S平面的右半平面。平面的右半平面。具体做法：具体做法：因为因为将将 中位于左半平面的极点组成

11、中位于左半平面的极点组成 。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函函数数|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：(6.2.6)6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法N称为滤波器的阶数称为滤波器的阶数.(1)巴特沃斯低通滤波器的传输函数巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha(s)1.巴特沃斯低通滤波器的设计原理巴特沃斯低通滤波器的设计原理 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 图图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和巴特沃斯幅度特性和N的关系的关系0

12、10.707N=2N=4N=8将幅度平方函数将幅度平方函数(6.2.7)此式表明幅度平方函数有此式表明幅度平方函数有2N个极点个极点.写成写成s的函数：的函数：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X得得极点极点sk用下式表示：用下式表示：(6.2.8)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 为为形形成成稳稳定定的的滤滤波波器器，2N个个极极点点中中只只取取s平平面面左左半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(s)，而而右右半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为的表示式为比如比如N=3,通过

13、下式可以计算出通过下式可以计算出6个极点个极点.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X同理，得：同理，得：01图图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布三阶巴特沃斯滤波器极点分布当当N=3时时，6个个极极点点中中位位于于左半平面的三个分别为左半平面的三个分别为:第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0,s1,s2组成组成Ha(s)：(2)归一化传输函数归一化传输函数Ha(p)将将 对对3dB截止频率截止频率c归一化；归一化；第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波

14、器的设计 X(6.2.10)归一化后的归一化后的Ha(s)表示为表示为 =/c，称为归一化频率。称为归一化频率。上式中，上式中，令令p称为归一化拉氏复变量称为归一化拉氏复变量.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X式中，式中，pk=sk/c为归一化极点，为归一化极点，sk为位于左半平面的为位于左半平面的极点极点;用下式表示：用下式表示：(6.2.11)归一化巴特沃斯的传输函数为归一化巴特沃斯的传输函数为（）（）将极点表示式将极点表示式(6.2.12)代入代入(6.2.11)式，得到的式，得到的Ha(p)的分母是的分母是p的的N阶多项式，用下式表示：阶多项式，用

15、下式表示：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 极点 位置 阶数N P0,N-1 P1,N-2 P2,N-3 P3,N-4 P4,N-4 1-1.00002-0.7071j0.7071 3-0.5000j0.8660 -1.00004-0.38270.9239 -0.92390.38275-0.30900.9511 -0.80900.5878 -1.00006-0.25880.9659 -0.70710.7071 -0.96590.25887-0.22250.9749 -0.62350.

16、7818 -0.90100.4339 -1.00008-0.19510.9808 -0.55560.8315 -0.83150.5556 -0.98080.19519-0.17360.9848 -0.50000.8660 -0.76600.6428 -0.93970.3420 -1.0000 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 分母多 项式 阶数N B(p)=pN+bN-1pN-1+bN-2pN-2+b1p+b0bo b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b811.000021.0000 1.414231.0000 2.0000 2.000041.00

17、00 2.6131 3.4142 2.613151.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 61.0000 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.863771.0000 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.494081.0000 5.1258 13.1371 21.8462 25.6884 21.8462 13.1371 5.125891.0000 5.7588 16.5817 31.1634 41.9864 41.9864 31.1634 16.5817 5.7588续表续表 第第6章章 无限脉冲响

18、应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 分母 因子 阶数N B(p)=B1(p)B2(p)B3(p)B4(p)B5(p)1 (p+1)2 (p2+1.4142p+1)3 (p2+p+1)(p+1)4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5 (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7 (p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8 (p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.66

19、29p+1)(p2+1.9616p+1)9 (p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)续表续表 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 极点 位置 阶数N P0,N-1 P1,N-2 P2,N-3 P3,N-4 P4,N-4 1-1.00002-0.7071j0.7071 3-0.5000j0.8660 -1.00004-0.38270.9239 -0.92390.38275-0.30900.9511 -0.80900.5878 -1.00006-0.25880.9659 -0.70710.7

20、071 -0.96590.25887-0.22250.9749 -0.62350.7818 -0.90100.4339 -1.00008-0.19510.9808 -0.55560.8315 -0.83150.5556 -0.98080.19519-0.17360.9848 -0.50000.8660 -0.76600.6428 -0.93970.3420 -1.0000 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X(3)N的确定的确定由技术指标由技术指标p,p,s和和s确定确定.(6.2.3)(6.2.4)(6.2.6)在定义式在定义式 中中，将将=p 和和=s分

21、分别别代代入入(6.2.6)式式中中，得得到到|Ha(jp)|2和和|Ha(js)|2，再再 将将|Ha(jp)|2 和和|Ha(js)|2代入代入(6.2.3)和和(6.2.4)式中，得到：式中，得到：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X(6.2.14)(6.2.15)整理得：整理得：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X由由(6.2.14)和和(6.2.15)式得到：式得到：令令则则N由下式表示：由下式表示：(6.2.16)取大于等于取大于等于N的最小整数。的最小整数。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应

22、数字滤波器的设计 X(6.2.14)(6.2.15)关于关于3dB截止频率截止频率c，如果技术指标中没有给出，如果技术指标中没有给出，可以按照可以按照(6.2.14)式或式或(6.2.15)式求出，式求出，(6.2.18)由由(6.2.15)式得到：式得到：(6.2.17)由由(6.2.14)式得到：式得到：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X(4)总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标根据技术指标p,p,s和和s，用，用 求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。按照按照 ，求出归一化极求出归一化极点点pk，将，

23、将pk代入代入 ，得到归一化传输函，得到归一化传输函数数Ha(p)。将将Ha(p)去去归归一一化化。将将p=s/c代代入入Ha(p)，得得到到实实际际的滤波器传输函数的滤波器传输函数Ha(s)。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 例例6.2.1 已已知知通通带带截截止止频频率率fp=5kHz，通通带带最最大大衰衰减减p=2dB，阻阻 带带 截截 止止 频频 率率 fs=12kHz，阻阻 带带 最最 小小 衰衰 减减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解解(1)确定阶数确定阶数N。技术指标技术指标:

24、fp=5kHz p=2dB fs=12kHz s=30dB 代入代入 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X取取 N=5得到：得到：(2)确定归一化传输函数确定归一化传输函数.由由N=5，直接查表，得到：，直接查表，得到：极点：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878，-1.0000将共轭极点放在一起将共轭极点放在一起,形成因式分解形式形成因式分解形式:第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X上式分母也可以展开成为五阶多项式上式分母也可以展开成为五阶多项式 式式 中中 b0=1.0000,b1=3.236

25、1,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X先求先求3dB截止频率截止频率c。按照。按照(6.2.17)式，得到：式，得到：(3)将将Ha(p)去归一化去归一化将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 XkHz5 10 15 20 25 例图例图1 所设计滤波器的幅频特性所设计滤波器的幅频特性 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 Xclose all,N=256;t=linspace(0,1,N

26、);dt=t(2)-t(1);xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t);f=(0:(N/2-1)/(dt*N);Xt=fft(xt,N);subplot(2,1,1),plot(t(1:128),xt(1:128),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Xt(1:64),xlabel(f(kHz)Qc=5.2775;b0=1;b1=3.2361;b2=5.2361;b3=b2;b4=b1;Q=f%Q=linspace(0,25,N);Ha=Qc5./(j*Q).5+b4*Qc*(j*Q).4+b3*Qc2*(j*Q)

27、.3+b2*Qc3*(j*Q).2+b1*Qc4*(j*Q)+b0*Qc5);L=length(Ha)Has=20*log10(abs(Ha);figure,plot(Q(1:64),Has(1:64),Q,-30,r*,12,Has,*,5,Has,*),axis(0 30-70 2),xlabel(f(kHz),ylabel(20lg(abs(H_a(jOmega)(dB);Yt=Xt(1:L).*Ha;yt=ifft(Yt);figure,subplot(2,1,1),plot(t(1:128),abs(yt(1:128),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(

28、Yt(1:64);,xlabel(f(kHz)附例题的绘图程序附例题的绘图程序 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X例图例图2 假定的输入信号的时域波形和频谱假定的输入信号的时域波形和频谱 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X例图例图3 滤波器的输出信号的时域波形和频谱滤波器的输出信号的时域波形和频谱 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X(4)简单讨论简单讨论将将 c代代 入入(6.2.18)式式得到：得到：第一第一,此值小于题目给定的值此值小于题目给定的值,说明设计出的滤波器在说明设计

29、出的滤波器在fs=12kHz处的衰减处的衰减 ,超过超过30dB,过渡带小过渡带小于要求的于要求的.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X fp=5kHz p=2dB fs=12kHz s=30dB 要求设计的滤波器要求设计的滤波器设计的滤波器一设计的滤波器一00阻带性能比设计要求好阻带性能比设计要求好.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X第二第二,如果用如果用 计算计算c,则则用用 计算计算p,则则 此值大于题目给定的值此值大于题目给定的值,这样设计出的滤波器在这样设计出的滤波器在fp=5kHz处的衰减处的衰减 ,小于小于

30、2dB.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X设计的滤波器二设计的滤波器二0 fp=5kHz p=2dB fs=12kHz s=30dB 要求设计的滤波器要求设计的滤波器0通带性能比设计要求好通带性能比设计要求好.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X2.用用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数信号处理工具箱函数buttap,buttord和和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。是巴特沃斯滤波器设计函数。调用格式如下。调用格式如下。Z,P,K=buttap(N)

31、%计算归一化（以计算归一化（以3dB截止频率归一化）截止频率归一化）系统函数的零极点和增益。系统函数的零极点和增益。N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)B,A=butter(N,wc,s)B,A=zp2tf(Z,P,K)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X式中，式中，Z(k)和和P(k)分别为向量分别为向量Z和和P的第的第k个元素。个元素。1）Z,P,K=buttap(N)该格式用于计算该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。）模拟低通原型滤波器系统

32、函数的零、极点和增益因子。得到的系统函数为如下形式得到的系统函数为如下形式:（）（）第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X Z,P,K=buttap(5)Z=P=-0.3090+0.9511i -0.3090-0.9511i -0.8090+0.5878i -0.8090-0.5878i -1.0000 K=1 B,A=zp2tf(Z,P,K)B=0 0 0 0 0 1A=1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X2）N,wc=buttord(wp

33、,ws,Rp,As)该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯数字数字滤波器的阶数滤波器的阶数N和和3 dB截止截止频率频率wc。调用参数。调用参数wp和和ws分别为数字滤波器的通带边界频率分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1,1表示数表示数字频率字频率（对应模拟频率（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。表示采样频率）。Rp和和As分分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当）。当wswp时，为高时，为高通滤波器；通滤波器；当当wp和和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，为二元矢

34、量时，为带通或带阻滤波器，这时这时wc也是二元向量。也是二元向量。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X3）N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯模拟模拟滤波器的阶数滤波器的阶数N和和3 dB截止截止频率频率wc。wp、ws和和wc是实际模拟角频率（是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数）。其他参数与格式与格式2）相同。）相同。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)N=5wc=3.7792e+004 第第6章

35、章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 4）B,A=butter(N,wc,ftype)计算计算N阶巴特沃斯阶巴特沃斯数字数字滤波器系统函数分子和分母多项滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量式的系数向量B和和A。调用参数。调用参数N和和wc分别为巴特沃斯数字滤分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于截止频率的归一化值（关于归一化），一归一化），一般按格式般按格式2）调用函数）调用函数buttord计算计算N和和wc。由系数向量。由系数向量B和和A可以写出数字滤波器系统函数：可以写出数字滤波器系统函数：（）（）式中，式中，B(k)

36、和和A(k)分别为向量分别为向量B和和A的第的第k个元素。个元素。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X5）B,A=butter(N,wc,ftype,s)计算巴特沃斯计算巴特沃斯模拟模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量系数向量B和和A。调用参数。调用参数N和和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和阶数和3 dB截止频率（实际角频率）。由系数向量截止频率（实际角频率）。由系数向量B和和A写出写出模拟滤波器的系统函数为模拟滤波器的系统函数为 （）（）（）、（）和（）式也适用于后面要介绍的切比雪夫

37、和椭（）、（）和（）式也适用于后面要介绍的切比雪夫和椭圆滤波器的圆滤波器的MATLAB设计函数。设计函数。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X B,A=butter(N,wc,s)B=1.0e+022*0 0 0 0 0 7.7094A=1.0e+022*0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 7.7094 Z,P,K=buttap(5);B,A=zp2tf(Z,P,K)B=0 0 0 0 0 1A=1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉

38、冲响应数字滤波器的设计 X由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3 dB截止频率截止频率wc，因此仅由调用参数，因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量器。当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻。所以用参数也不能区分带通和带阻。所以用参数ftype来区分。来区分。ftype=high时，设计时，设计3 dB截止频率为截止频率为wc的高通滤的高通滤波器。缺省波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计时，设计通带通带3 dB截止频率为截止频率为w

39、c的带阻滤波器，此时的带阻滤波器，此时wc为二元向量为二元向量wcl,wcu，wcl和和wcu分别为带阻滤波器的通带分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止下截止频率和上截止频率。缺省频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率时设计带通滤波器，通带为频率区间区间wcl0时时,r1;当当0时时,r1;S平面上的左半平面映射到平面上的左半平面映射到z平面的单位圆内平面的单位圆内.S平面上的右半平面映射到平面上的右半平面映射到z平面的单位圆外平面的单位圆外.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X另外，另外，z=esT是一个周期函数，可写成是一个周期函数

40、，可写成所以所以可见数字频率可见数字频率与模拟频率与模拟频率是线性关系但不是一一是线性关系但不是一一对应的对应的.第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X=0,r=1 0,r0,r1图图6.3.1 z=esT,s平平面面与与z平平面面之之间间的的映映射射关关系系010s平面平面z平面平面 采样信号采样信号 的频谱与原模拟信的频谱与原模拟信号的关系：号的关系：离散信号离散信号x(n)的频谱与原模拟信号的关系：的频谱与原模拟信号的关系：比较：比较：有有在在 中，令中，令=0（r=1），也可得到这个结论。，也可得到这个结论。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限

41、脉冲响应数字滤波器的设计 X1、脉冲响应不变法（变换方法）、脉冲响应不变法（变换方法）采样采样若若则则2、标准映射关系（是否满足第一点要求）、标准映射关系（是否满足第一点要求）3、（是否满足第二点要求）（是否满足第二点要求）00模拟滤波器模拟滤波器希望的数字滤波器希望的数字滤波器转换后转换后0实际的数字滤波器实际的数字滤波器 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X三三.频谱混叠现象频谱混叠现象设模拟滤波器的频谱为设模拟滤波器的频谱为(6.3.7)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X将将(6.3.7)式代入上式式代入上式,可得

42、可得:假设假设 在这种情况下在这种情况下,用脉冲响应不变法设计的数字滤用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以重现原模拟滤波器的频响波器可以重现原模拟滤波器的频响.则则 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X图图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法不适合设计高通滤波器和带阻。脉冲响应不变法不适合设计高通滤波器和带阻。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X四四.滤波器的传输函数滤波器的传输函数 一般一般Ha(s)的极点的极点si是一个复数，且以共轭成对是一个复数，且以共轭成对的形式出现的

43、形式出现.在在 中将一对复数共轭极点放在一中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。起，形成一个二阶基本节。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 相应的数字滤波器二阶基本节相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法只有实数乘法)的形的形式为式为 (6.3.12)如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为(6.3.11)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为如果模拟滤波器二阶基本节的形式为(6.3.14)相应的数字滤波器二阶基本节的形式为相应的数字滤波器二阶基本

44、节的形式为(6.3.13)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X脉冲响应不变法的优点与缺点脉冲响应不变法的优点与缺点:优点：优点：1、频率变换线性。、频率变换线性。2、时域特性好。、时域特性好。缺点：频谱混叠，不适合设计高通和带阻。缺点：频谱混叠，不适合设计高通和带阻。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法将将Ha(s)转转换换成成数数字字滤滤波波器器的的系统函数系统函数H(z)。例例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为极点为极点为解解 首先将首先将Ha(

45、s)写成部分分式：写成部分分式：第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X式中式中T是采样间隔是采样间隔,T的选取应满足抽样定理的选取应满足抽样定理.方法一方法一:按照按照 ，并经过整理，得到，并经过整理，得到那么那么H(z)的极点为的极点为 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X设设T=1s时用时用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则表示，则 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X方方法法二二:转转换换时时，也也可可以以直直接接按按照照(6.3.13),(6.3.14)式

46、进行转换。式进行转换。首先将首先将Ha(s)写成写成(6.3.13)式的形式，式的形式，如极点如极点 s1,2=1j1,则则再按照再按照(6.3.14)式，式，H(z)为为 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X图图6.3.3 例的幅度特性例的幅度特性图图(a)表示模拟滤波器的幅度特性表示模拟滤波器的幅度特性图图(b)表示数字滤波器的幅度特性表示数字滤波器的幅度特性模拟频率模拟频率与数字频率与数字频率 满足满足=T 如如T=0.1s(a)图中图中C点点 =15rad/s=4.77rad/s(b)图中图中c点点 =4.77 0.1=0.477 rad 第第6章章

47、 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X令令(a)图的纵坐标为图的纵坐标为令令(b)图的纵坐标为图的纵坐标为 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 XP194 6.解解:收敛域包括虚轴。收敛域包括虚轴。第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X另解：直接对另解：直接对 采样，采样，数值上数值上因此有因此有则则 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X数字系统为低通滤波器数字系统为低通滤波器.第第6章章 无限

48、脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X五五.脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的MATLAB实现实现Bz,Az=impinvar(B,A,Fs)%用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器 B,A分别是模拟滤波器系统函数分别是模拟滤波器系统函数Ha(s)分子分母多项式的系数。分子分母多项式的系数。Bz,Az分别是数字滤波器系统函数分别是数字滤波器系统函数H(z)分子分母多项式的系数。分子分母多项式的系数。Fs为采样频率。为采样频率。impluse invariable%例题的转换程序例题的转换程序b=0.5012;a=1,0.6449

49、,0.7079;h,w=freqs(b,a);%计算模拟滤波器的频响计算模拟滤波器的频响subplot(2,1,1),plot(w(1:180),20*log10(abs(h(1:180)/max(h),grid onxlabel(归一化角频率归一化角频率),ylabel(幅度幅度),title(模拟滤波器模拟滤波器)bz,az=impinvar(b,a,1)h,w=freqz(bz,az);%计算数字滤波器的频响计算数字滤波器的频响subplot(2,1,2),plot(w/pi,20*log10(abs(h/max(h),grid onxlabel(以以pi为单位为单位),ylabel(幅

50、度幅度),title(数字滤波器数字滤波器),hold onbz,az=impinvar(b,a,10)h,w=freqz(bz,az);%计算数字滤波器的频响计算数字滤波器的频响subplot(2,1,2),plot(w/pi,20*log10(abs(h/max(h),grid onxlabel(以以pi为单位为单位),ylabel(幅度幅度),title(数字滤波器数字滤波器)第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X例题的转换结果例题的转换结果 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 X例：用脉冲响应不变法设计数字滤波器。要求