【教学课件】第3章离散时间系统的频域分析-傅里叶变换.ppt

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1、第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换第第3 3章章 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析傅里叶变换傅里叶变换3.1 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质非周期序列的傅里叶变换及性质3.2 3.2 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)(DFS)及性质及性质3.3 3.3 有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)(DFT)3.4 3.4 频率抽样理论频率抽样理论3.5 3.5 利用利用DFTDFT对连续时间信号处理时应注意的问题对连续时间信号处理时应注意的问题第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.1 3.1 非周期序列的傅里叶变换及

2、性质非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 3.1.1 非周期序列傅里叶变换非周期序列傅里叶变换1.1.定义定义 设离散时间非周期信号为设离散时间非周期信号为x(n)x(n)，则，则x(n)x(n)的序列傅里叶变的序列傅里叶变换换(DTFT)(DTFT)为：为：正变换正变换：逆变换：逆变换：记为记为其中其中 称为信号序列的频谱。称为信号序列的频谱。若将频谱若将频谱 表示为表示为则则 称为频谱称为频谱 的幅度特性，的幅度特性，称称为频谱为频谱 的相位特性。的相位特性。第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-1 设序列设序列x(n)的波形如图所示，求的波形如图所示，求x(n)的傅里叶变换

3、。的傅里叶变换。解：由定义得：解：由定义得：01213 4 5第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换2.离散时间序列傅立叶变换的存在的条件离散时间序列傅立叶变换的存在的条件 离散时间序列离散时间序列x(n)的傅里叶变换存在的且连续的条件是的傅里叶变换存在的且连续的条件是x(n)满足绝对可和，即满足绝对可和，即反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定绝对可反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定绝对可和。和。3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质非周期序列傅里叶变换的性质1.线性线性设设则则2.移位移位设设则则第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.共轭性共轭性设设，则，则4.

4、对称性对称性共轭对称序列：共轭对称序列：设一复序列，如果满足设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。则称序列为共轭对称序列。共轭反对称序列：共轭反对称序列：设一复序列，如果满足设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。则称序列为共轭反对称序列。任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和对于序列对于序列 进行运算，则进行运算，则相加，则有相加，则有第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换相减，则相减，则 序列的傅里叶变换可表为共轭对称分量与共轭反对称序列的傅里叶变换可表为共轭对称分量

5、与共轭反对称分量之和：分量之和：其中其中由此看出，序列由此看出，序列x(n)的傅里叶变换具有如下性质：的傅里叶变换具有如下性质：(1)序列序列x(n)的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即轭对称分量，即第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换(2)序列序列x(n)的虚部乘的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即变换的共轭反对称分量，即(3)序列序列x(n)的共轭对称分量的共轭对称分量 和共轭反对称分量和共轭反对称分量 的傅的傅里叶变化等于序列的傅里叶变换的实部和里叶变化等于序列的傅里叶变

6、换的实部和j乘以虚部：乘以虚部：(4)若序列若序列x(n)实序列实序列 ，则其傅里叶变换，则其傅里叶变换 满足满足共轭对称性，即：共轭对称性，即：第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换(5)序列序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 的极坐标表现形式为：的极坐标表现形式为：对实数序列对实数序列 ，有，有 5.时域卷积定理时域卷积定理若若 ，则有，则有6.频域卷积定理频域卷积定理若若 ，则有，则有7.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-2 若若x(n)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，试利用序列傅里叶，试利用序列傅里叶变换的性质，求下面序

7、列的傅里叶变换。变换的性质，求下面序列的傅里叶变换。(1)kx(n)(k为常数为常数)(2)x(n-4)(3)x*(n)(4)为偶数为偶数为奇数为奇数解解:(1)(2)(3)(4)第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-3 若序列若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部为是实因果序列，其傅里叶变换的实部为 ，求序列，求序列h(n)及其傅里叶变换及其傅里叶变换解：利用三角函数关系：解：利用三角函数关系：由序列傅里叶变换的定义有：由序列傅里叶变换的定义有：比较两式得：比较两式得：由于由于h(n)是实因果序列，根据共轭对称性得：是实因果序列，根据共轭对称性得：第 3 章离散时间系统的

8、频域分析傅里叶变换因此因此第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.2 3.2 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)(DFS)及性质及性质1.周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数若离散时间序列若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足：为周期序列，则一定满足：x(n)=x(n+rN)其中其中N（正整数（正整数)为信号的周期，为信号的周期，r为任意整数。为了和非为任意整数。为了和非周期序列区分，周期序列记作：周期序列区分，周期序列记作：因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅里叶变换来表示，但是周期序列可

9、以用傅里叶级数里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数(DFS)来表示，傅里叶级数来表示，傅里叶级数(DFS)定义为：定义为：其中其中 为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换为了书写方便，常令符号为了书写方便，常令符号这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：正变换：正变换：反变换：反变换：第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例 3-4 设设 ，将，将 以以N=10为周期作周期延拓，为周期作周期延拓，得到周期信号得到周期信号 ，求，求 的的DFS。解：解：第 3 章离散时间系统

10、的频域分析傅里叶变换2.周期序列的傅里叶级数的性质周期序列的傅里叶级数的性质(2)(2)移位移位 第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换(3)调制特性调制特性设设 是周期为是周期为N的周期序列，则的周期序列，则(4)周期卷积和周期卷积和若若则有：则有：记作：记作：第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-5 两个周期序列两个周期序列N=6序列序列 和和 如图如图(a),(b)所示，求所示，求他们的卷积和他们的卷积和 。解解:-N012N-1 Nm-N012N-1 Nm-N012N-1 Nm-N012N-1 Nm第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换-N012N-1 Nm-N01

11、2N-1 Nm-N012N-1 Nm-N012N-1 Nn第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换5.5.周期序列相乘周期序列相乘如果如果则则第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.3 3.3 有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)(DFT)离散傅里叶变换的及性质离散傅里叶变换的及性质1.有限长序列与周期序列的性质有限长序列与周期序列的性质设设x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为N，即，即x(n)只在只在n=0,1,N-1有有值，其他值时，值，其他值时，x(n)=0。因此，可以把。因此，可以把x(n)看作周期为看作周期为N的的周期序列周期序列 的一个

12、周期，即的一个周期，即也可利用矩形序列表示成为也可利用矩形序列表示成为把把 看作有限长序列看作有限长序列x(n)以以N为周期的周期延拓，表示为为周期的周期延拓，表示为第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换通常我们把通常我们把 的第一个周期的第一个周期n=0,1,N-1定义为主值区间，定义为主值区间，称称x(n)为为 的主值序列。的主值序列。为了书写方便，将上式简写为：为了书写方便，将上式简写为：其中，其中，表示数学上表示数学上“n对对N取余数取余数”，或称为，或称为“n对对N取模值。取模值。例如：例如：是周期为是周期为N=8的序列，则有的序列，则有第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换

13、有限长序列的傅里叶变换的定义：有限长序列的傅里叶变换的定义：2.有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)正变换：正变换：反变换：反变换：例例3-6 已知已知 ，求，求x(n)的的8点点DFT和和16点点DFT解：解：N=8时时第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换当当N=16时时第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-7 已知已知 ，求，求 的的N点点DFT。解：解：3.离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质(1)线性线性如果序列如果序列 和和 长度都为长度都为N，且，且则有：则有：第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换(2)序列的圆周移位性序列的圆周

14、移位性若设若设 是是 的圆周移位，即的圆周移位，即则则(3)圆周卷积和圆周卷积和设有限长序列设有限长序列 和和 ，长度分别为，长度分别为 和和 ，和和的的N点点DFT分别为：分别为：时域圆周卷积和定理时域圆周卷积和定理若若则有：则有：N第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换频域圆周卷积和定理频域圆周卷积和定理如果如果则有：则有：N4.圆周相关性质圆周相关性质圆周相关原理圆周相关原理 若有两有限长序列若有两有限长序列 和和 圆周相关，即圆周相关，即则相关序列则相关序列 的的DFT与两序列与两序列 和和 的的DFT满足：满足：当当 和和 为实序列时，则有为实序列时，则有第 3 章离散时间系统的

15、频域分析傅里叶变换5.共轭对称性共轭对称性设设 为为 的共轭复序列，则的共轭复序列，则有限长序列长度为有限长序列长度为N N，则它的圆周共轭对称分量，则它的圆周共轭对称分量 和和圆周共轭凡对称分量圆周共轭凡对称分量 分别定义为：分别定义为：任何有限长序列任何有限长序列x(n)都可以表示成圆周共轭对称分量都可以表示成圆周共轭对称分量 和和圆周共轭凡对称分量圆周共轭凡对称分量 之和，即之和，即第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换则有：则有：若若x(n)实序列，实序列，两边进行离散傅里叶变换则有两边进行离散傅里叶变换则有若若x(n)是纯虚序列，则显然是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭分量，

16、只有圆周共轭分量，即满足即满足第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换(6)帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理3.3.2 圆周卷积与有限长序列的线性卷积关系圆周卷积与有限长序列的线性卷积关系设设 是长度为是长度为 的有限长序列，的有限长序列，是长度为是长度为 的有限的有限长序列，即长序列，即和和的线性卷积和为的线性卷积和为第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换 一个绝对可和的非周期序列，由于绝对可和一个绝对可和的非周期序列，由于绝对可和,故其傅故其傅里叶变换存在且连续里叶变换存在且连续,也即其也即其z变换收敛域包括单位圆。这变换收敛域包括单位圆。这样样,对对X(z)在单位圆上在

17、单位圆上N等份抽样等份抽样,就得到就得到3.4 3.4 频率抽样理论频率抽样理论对对 进行反变换进行反变换,并令其为并令其为 ，则，则第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换由于由于,为任意数为任意数其他其他这说明由这说明由 得到的周期序列是原周期序列的周期延拓序得到的周期序列是原周期序列的周期延拓序列，其时域周期为频域抽样点数列，其时域周期为频域抽样点数N。因此，有以下结论：。因此，有以下结论：(1)如果如果 不是有限长序列，必然造成混叠，产生误差。不是有限长序列，必然造成混叠，产生误差。(2)如果如果 是有限长序列，点数为是有限长序列，点数为M，当频率抽样点数，当频率抽样点数 N小于序列

18、长度小于序列长度M，即，即N=M，则能无失，则能无失 真的恢复出原信号。真的恢复出原信号。第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-11 设序列设序列 的长度为的长度为M=8，其大小为，其大小为 。现对。现对 的序列傅里叶变换的序列傅里叶变换 在在一个周期内作一个周期内作6点均匀抽样，得点均匀抽样，得 ，试研究，试研究 的逆变换的逆变换 与原来序列与原来序列 的关系。的关系。解：根据题意和频率抽样理论，解：根据题意和频率抽样理论，和原序列和原序列 的关系的关系满足：满足：由于频率抽样点数小于序列长度，即由于频率抽样点数小于序列长度，即NM，因此，将原来，因此，将原来8点的序列点的序列

19、延拓成周期延拓成周期N=6的周期序列，必然会发生时的周期序列，必然会发生时域的混叠。混叠的方式是上一周期的后两点和本周期的前域的混叠。混叠的方式是上一周期的后两点和本周期的前两点相加，即两点相加，即第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换所以，所以，.8,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,18,7,6,5,4,3,2,1.第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.5 3.5 利用利用DFTDFT对连续时间信号处理时应注意的问题对连续时间信号处理时应注意的问题3.5.1 混叠失真与参数选择混叠失真与参数选择频谱混叠失真：若信号持续时间无限长

20、，则其频谱无限宽，频谱混叠失真：若信号持续时间无限长，则其频谱无限宽，若信号的频谱有限宽，则持续的时间无限长。而实际处理的若信号的频谱有限宽，则持续的时间无限长。而实际处理的信号一般是时限信号，则其频谱无限宽，对其进行抽样时，信号一般是时限信号，则其频谱无限宽，对其进行抽样时，不满足抽样定理不满足抽样定理 ，出现频谱混叠失真。，出现频谱混叠失真。若对若对 进行等间隔抽样，抽样间隔为：进行等间隔抽样，抽样间隔为：其模拟角频率为其模拟角频率为设连续信号设连续信号 持续时间为持续时间为 ，最高频率为，最高频率为 ，其傅里，其傅里叶变换为叶变换为第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换上式可近似为上

21、式可近似为在实际处理中，一般取在实际处理中，一般取 ，通过抽样得，通过抽样得 抽样点数为抽样点数为N，对，对 作零阶近似，作零阶近似，即即 是是 的连续周期函数，从频域角度出发，需要对的连续周期函数，从频域角度出发，需要对 在在区间区间 上等间隔抽样上等间隔抽样N点，抽样间隔为点，抽样间隔为F，F表示表示 抽样后的频率间隔，也称为频率分辨率，则抽样后的频率间隔，也称为频率分辨率，则由于由于 则则第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换结论：结论：(1)在在DFT对连续信号频谱进行近似分析时，信号的最高频对连续信号频谱进行近似分析时，信号的最高频率率 与信号分辨率与信号分辨率F之间存在矛盾，随

22、着之间存在矛盾，随着 增加，时域抽样增加，时域抽样间隔间隔T就一定减少，即抽样频率就一定减少，即抽样频率 增加；若抽样点数增加；若抽样点数N不变，不变，必须要求必须要求F增加而不是减少，所以频率分辨率下降。增加而不是减少，所以频率分辨率下降。(2)要提高分辨率（减少要提高分辨率（减少T），就需增加），就需增加(3)要兼顾高频容量要兼顾高频容量 和频率分辨率和频率分辨率F，是一个性能提高另，是一个性能提高另一个性能不变的唯一办法是增加记录长度的点数一个性能不变的唯一办法是增加记录长度的点数N，三者，三者要满足关系要满足关系第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换3.5.2 频谱泄漏频谱泄漏 对

23、于持续很长时间的信号，抽样点数太多而导致无法对于持续很长时间的信号，抽样点数太多而导致无法存储和计算，只好截短形成有限长序列存储和计算，只好截短形成有限长序列 进行进行DFT。这种截断处理会引起信号的频谱发生变化。这种截断处理会引起信号的频谱发生变化。的频谱如图的频谱如图(a)所示，加窗处理后所示，加窗处理后 的频谱的频谱如图如图(b)所示。所示。由图可以看出，原序列由图可以看出，原序列 的频谱的频谱是离散的谱线，经截短后，原频谱的离散谱线向附近宽展是离散的谱线，经截短后，原频谱的离散谱线向附近宽展这种现象称为频谱泄漏。这种现象称为频谱泄漏。0(a)0(b)第 3 章离散时间系统的频域分析傅里

24、叶变换谱间干扰：在原谱线旁边形成很多旁瓣，引起不同频率谱间干扰：在原谱线旁边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰，影响频谱分辨率，这种干称成为谱间干扰分量间的干扰，影响频谱分辨率，这种干称成为谱间干扰3.5.3 栅栏效应栅栏效应用用DFT计算频谱时，只是知道为频率计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期补零点加大周期 ，可使，可使F变小来提高分辨力，以减少栅变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。栏效应。用用

25、DFT对模拟信号进行频谱分析是，只能得到模拟信对模拟信号进行频谱分析是，只能得到模拟信号的近似频谱，其误差主要来自两个方面：号的近似频谱，其误差主要来自两个方面：(1)截断效应（频谱泄漏和谱间干扰）截断效应（频谱泄漏和谱间干扰）(2)频谱混叠失真频谱混叠失真第 3 章离散时间系统的频域分析傅里叶变换例例3-12 对实际信号进行频谱分析时，若要求频谱分辨率对实际信号进行频谱分析时，若要求频谱分辨率F=5Hz，信号最高频率，信号最高频率fh=4kHz，试确定最小记录时间，试确定最小记录时间Tpmin，最大抽样间隔，最大抽样间隔Tmax，最少抽样点数，最少抽样点数Nmin。如果。如果fh不变，要求分辨率增加一倍，重新确定上述分量。不变，要求分辨率增加一倍，重新确定上述分量。解：解：所以最小记录时间所以最小记录时间由抽样定理，由抽样定理，所以最大抽样间隔所以最大抽样间隔若频谱分辨率再大一倍，则若频谱分辨率再大一倍，则F应减少一半，应减少一半，F=2.5Hz，则，则