高中数学A版2.3.2离散型随机变量的方差ppt课件.ppt

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1、导入新课导入新课复习回顾复习回顾1.离散型随机变量离散型随机变量X的均值的均值均值反映了离散型随机变量取值的平均水平均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.两种特殊分布的均值两种特殊分布的均值（1）若随机变量）若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EX=p.（2）若）若XB(n，p)，则，则EX=np.数学期望数学期望是离散型随机变量的一个特征数，是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值常称为随机变量

2、的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2 2.3.2离散型随机变离散型随机变量的方差量的方差 （1）了解离散型随机变量的方差、标准差的）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差差或标准差.知识与技能知识与技能教学目标教学目标过程与方法过程与方法了了解解方方差差公公式式“D(a+b)=a2D”，以以及及“若若(n，p)，则则D=np(1-p)”，并并会会应应用用上述公式计算有关随机变量的方差

3、上述公式计算有关随机变量的方差.情感、态度与价值观情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体体现数学的文化功能与人文价值现数学的文化功能与人文价值.教学重难点教学重难点重重点点离散型随机变量的方差、标准差离散型随机变量的方差、标准差.难难点点 比较两个随机变量的期望与方差比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题的大小，从而解决实际问题.思考思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛击比赛.根据以往的成绩记录，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数第一名同学击中目标靶的环数X1的分

4、布列为的分布列为X15678910P0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为的分布列为X256789P0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较名同学射击水平的高低，即通过比较X1和和X2的均值的均值来比较两名同学射击水平的高低来比较两名同学射击水平的高低.通过计算通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水

5、平能区分这两名同学的射击水平.思考思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？同学各自射击特点的指标吗？图图(1)(2)分别表示分别表示X1和和X2的分布列图的分布列图.比较比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定环，即第二名同学的射击成绩更稳定.O5 6 71098P0.10.20.30.40.5O56 798P0.10.20.30.40.5(1)(2)怎样定量刻画随怎样定量刻画随机变量的稳定性机变量的稳定性?1.方差方差设离散型随机变量设离散型

6、随机变量X的分布列为的分布列为知识要点知识要点Xx1x2xixnPp1p2pipn则则(xi-E(X)2描述了描述了xi(i=1，2，n)相对相对于均值于均值E(X)的偏离程度的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值与其均值EX 的平均偏离程度的平均偏离程度.我们称我们称DX为随机为随机变量变量X 的方差的方差(variance).其算术平方根其算术平方根为为随机变量随机变量X的标准差的标准差(standarddeviation).记为记为随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值

7、的平均程度值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标的度量指标.思考思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随是随着样本的不同而着样本的不同而变化变化的，因此样本的方差是随机的，因此样本的方差是随机变量变量.对于简单随机样本，

8、随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由由前面的计算结果及方差的定义，得前面的计算结果及方差的定义，得因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右环左右.知识要点知识要点2.几点重要性质几点重要性质（

9、1）若）若X服从两点分布，则服从两点分布，则D(X)=p(1-p);（2）若）若XB(n，p)，则，则D(X)=np(1-p);（3）D(aX+b)=a2D(X).例题例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：次品数次品数10123概率概率P0.70.20.060.04次品数次品数10123概率概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好？问哪一台机床加工质量较好？解：解：E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,E2=00.8+10.06+2

10、0.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差它们的期望相同，再比较它们的方差D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064,D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264.D1D2故故A机床加工较稳定、质量较好机床加工较稳定、质量较好.例题例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元120014001600

11、1800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得根据月工资的分布列，利用计算器可算得分析：分析：因为因为，所以两家单位的，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希

12、望不同职位的工资差距小一这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位选择乙单位.例题例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；）求随机变量的概率分布；（2）求）求X的数学期望和方差的数学期望和方差.解：解：（1）因此因此X的分布列为的分布列为（2）X X0 01 12 23 34 4P P9/2

13、49/248/248/246/246/240 01/241/24例题例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得得2或或12，顾客中将，顾客中将30元；如果得元；如果得3或或11，顾客，顾客中将中将20元；如果得元；如果得4或或10，顾客中将，顾客中将10元；如元；如果得果得5或或9，顾客应付庄家，顾客应付庄家10元；如果得元；如果得6或或8，顾客应付庄家顾客应付庄家20元；如果得元；如果得7，顾客应

14、付庄家，顾客应付庄家30元试用数学知识解释其中的道理元试用数学知识解释其中的道理.解解:设设庄庄家家获获利利的的数数额额为为随随机机变变量量，根根据据两两枚枚骰骰子子的的点点数数之之和和可可能能的的结结果果以以及及游游戏戏规规则则可可得得随机变量的概率分布为：随机变量的概率分布为：X-30-20-10102030P2/364/366/368/3610/366/36因此，顾客每玩因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就

15、是说庄家一定是赢家也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式熟记方差计算公式课堂小结课堂小结2.三个重要的方差公式三个重要的方差公式（1）若）若X 服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若）若，则，则3.求求离离散散型型随随机机变变量量X的的方方差差、标标准准差差的一般步骤：的一般步骤：理解理解X 的意义，写出的意义，写出X 可能取的全部值；可能取的全部值；求求X取各个值的概率，写出分布列；取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出根据分布列，由期望的定义求出EX；根据方差、标准差的定义求出根据方差、标准差的定义求出、1.（2005年天津）某公司有年天津）某公司有5万元资金用于

16、投万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一，一旦失败，一年后将丧失全部资金的旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是，下表是过去过去200例类似项目开发的实施结果：例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）（元）.高考链接高考链接投资成功投资成功投资失败投资失败192次次8次次答案答案4760提示：提示：分布列为分布列为0.6-2.5P192/2008/192故故2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续续5年的平均单位面积产量如下（单位

17、：年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表）表所示：所示：则其中产量比较稳定的小麦品种是则其中产量比较稳定的小麦品种是_答案答案甲种甲种品种品种第一年第一年 第二年第二年 第三年第三年 第四年第四年 第五年第五年甲甲9.89.910.11010.2乙乙9.410.310.89.79.83.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造，一旦发生，将造成成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费措施

18、可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为用分别为45万元和万元和30万元，采用相应预防措施后此万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为突发事件不发生的概率分别为0.9和和0.85，若预防方，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用（总费用=采取预防措施的费用发生突发事件损失采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值）的期望值）解析解析不采用预防措施时，总费用即损失期望值不采用预防措施时，总费用即损失期望值为为4000.3=120（万元）；（万

19、元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期，损失期望值为望值为4000.l=40（万元），所以总费用为（万元），所以总费用为4540=85（万元）；（万元）；若单独采取预防措施乙，则预防措施费若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为用为30万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费（万元），所以总费用为用为3060=90（万元）；（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预若联合采取甲、乙两

20、种预防措施，则预防措施费用为防措施费用为4530=75（万元），发生突发事（万元），发生突发事件的概率为件的概率为(10.9)(10.85)=0.015，损失期望，损失期望值为值为4000.015=6（万元），所以总费用为（万元），所以总费用为756=81（万元）（万元）综合综合、，比较其总费用可知，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少费用最少继续继续1.填空填空课堂练习课堂练习（1）已知已知xB(100,0.5),则则Ex=_,Dx=_,sx=_.E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,s(2x-1)=_.50255991

21、0010（1）已知随机变量）已知随机变量x的分布列如上表的分布列如上表,则则Ex x与与Dx x的值为的值为()A.0.6和和0.7B.1.7和和0.3C.0.3和和0.7D.1.7和和0.21（2）已知）已知xB(n，p)，Ex x=8，Dx x=1.6，则则n，p的值分别是（的值分别是（）A100和和0.08；B20和和0.4；C10和和0.2；D10和和0.82.选择选择x x12P0.30.73.解答题解答题（1）一盒中装有零件一盒中装有零件12个，其中有个，其中有9个正品，个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零

22、件，直到取得正品为不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望止求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解解：设设取取得得正正品品之之前前已已取取出出的的次次品品数数为为，显显然然所有可能取的值

23、为所有可能取的值为0，1，2，3当当=0时时，即即第第一一次次取取得得正正品品，试试验验停停止，则止，则P（=0）=当当=1时时，即即第第一一次次取取出出次次品品，第第二二次次取得正品，试验停止，则取得正品，试验停止，则P（=1）=当当=2时时，即即第第一一、二二次次取取出出次次品品，第第三三次取得正品，试验停止，则次取得正品，试验停止，则P（=2）=当当=3时时，即即第第一一、二二、三三次次取取出出次次品品，第四次取得正品，试验停止，则第四次取得正品，试验停止，则P（=3）=所以，所以，E=继续继续 （2）有一批数量很大的商品的次品率为）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出

24、，从中任意地连续取出200件商品，设其中件商品，设其中次品数为次品数为，求，求E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题数又相对较少的产品抽查问题解答本题，关键是理解清楚：抽解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品件商品可以看作可以看作200次独立重复试验，即次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：），从而可用公式：E=np，D=npq(这里这里q=1-p)直接进行计算直接进行计算.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可与否对后面的抽样的次品率影响很小

25、，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的以认为各次抽查的结果是彼此独立的解：解：因为商品数量相当大，抽因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作件商品可以看作200次独立重复试验，所以次独立重复试验，所以B（200，1%）因为因为E=np，D=npq，这里，这里n=200，p=1%，q=99%，所以所以,E=2001%=2,D=2001%99%=1.98.1.E(X)=00.1+10.2+20.4+30.2+40.1=2.D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.2+(2-2)20.4+(3-2)20.2+(4-2)20.1=1.2.习题解答习题解答2.E(X)=c1=c，D(X)=(c-c)21=0.3.略略.