[理学]高等数学35微分中值定理-ppt课件 .ppt

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1、微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数.但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数要用导数来来研究函数的全部性态研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率,指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个它们都与自变量区间内部的某个中间值有关中间值有关.1第五节第五节 微

2、分中值定理微分中值定理极值概念与费马定理极值概念与费马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理推广泰泰勒勒公公式式(第第六六节节)落必达法则落必达法则小结小结 思考题思考题 作业作业2一、一、极值概念与费马定理极值概念与费马定理定义定义极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为 极值极值.极值点极值点.1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为极小值极小值(minimal value)极大值极大值(maximal value)若上不等号为严格不等号,则相应称为严

3、格极值.若将邻域改为区间,相应为区间上的最大值,最小值.微分中值定理微分中值定理3 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的微分中值定理微分中值定理4微分中值定理微分中值定理2.费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 如果对如果对 有有 那么那么证证 对于对于有有 5微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理如果对如果对 有有 那么那么 由极限的保号性由极限

4、的保号性 函数的函数的驻点驻点(Stationary point),稳定点稳定点,临界点临界点(Critical point).6问问:若在若在Fermat定理中定理中,上的最大值上的最大值,则是否有则是否有?如考虑如考虑,微分中值定理微分中值定理结论:函数在开区间内可导的最值点处,其导数为零.7推论 设取到最大(最小)值,又内部只有一个临界点,则该临界点就是函数的最大(最小)值点.微分中值定理微分中值定理8(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的上的最大最大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和

5、导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f(x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到.点点(即为即为可能极值点可能极值点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值 f(a),f(b)比较比较,在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,微分中值定理微分中值定理9(3)(4)若连续函数若连续函数 f(x)在区间在区间I内只有内只有一个极值点一个极值点为极大为极大(小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大(小小)值值.对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必值必在在区间内部取得区间内部取得,如果连续函数在

6、区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个可能极值点一个可能极值点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.微分中值定理微分中值定理10例例3提示提示:微分中值定理微分中值定理11 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:微分中值定理微分中值定理一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线.有水平的切线有水平的切线121.罗罗尔尔定理

7、定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 使得使得如如,微分中值定理微分中值定理二、微分中值定理二、微分中值定理13微分中值定理微分中值定理罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得使使有有由由费马引理费马引理,证证所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.费马引理费马引理有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么14(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,注注微分中值定理微分中值定理结论不一定成立结论不一定成立.罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得15(2)定理条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为:在在(a,b)内

8、可导内可导,且且则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点使使提示提示证证 F(x)在在a,b上满足罗尔定理上满足罗尔定理.设设微分中值定理微分中值定理罗尔罗尔定理定理(1)(2)(3)使得使得注注16几何意义几何意义如果连续曲线如果连续曲线 除端点外处处有除端点外处处有不垂直于不垂直于x轴的切线轴的切线 .且两端点的纵坐标相等且两端点的纵坐标相等,则这曲线上至少则这曲线上至少存在点存在点C,使得曲线在使得曲线在C点处的切线水平点处的切线水平.由图形可知由图形可知,在曲在曲线的最高点或最线的最高点或最低点处切线水平低点处切线水平.有水平的切线有水平的切线微分中值定理微分中值定理17例例1

9、证明证明:内只有一个根内只有一个根.例例2 不用求函数不用求函数的导数的导数,说明方说明方程程有几个实根有几个实根.微分中值定理微分中值定理18注意注意:证明方程证明方程的根的存在性方法的根的存在性方法:(1)利用闭区间上零点的存在性定理利用闭区间上零点的存在性定理;(2)归结为考虑函归结为考虑函数数利用利用Rolle定理来证明定理来证明.关键是找辅助函数关键是找辅助函数微分中值定理微分中值定理19例例3 设设证明证明:微分中值定理微分中值定理提示提示:20例例4 4试证方程试证方程微分中值定理微分中值定理提示提示:21证证 设设且且 罗尔定理罗尔定理即即试证方程试证方程微分中值定理微分中值定

10、理22注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理23几何解释几何解释:分析分析定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数化为化为罗尔定理罗尔定理.微分中值定理微分中值定理在该点处的切线在该点处的切线平行于弦平行于弦利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数.24证证 作作辅助函数辅助函数由此得由此得拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式且且易知易知微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理25注意注意:1.特别特别即即Lagrange定理是定理是R

11、olle定理的推广定理的推广.时时,Lagrange中值公式为中值公式为2.作辅助函数的方法不是唯一的作辅助函数的方法不是唯一的.思考思考:Lagrange中值定理证明中中值定理证明中还可以如何作辅助函数还可以如何作辅助函数?3.定理中的条件只是充分定理中的条件只是充分条件条件,而非必要条件而非必要条件.微分中值定理微分中值定理26例例5验证验证Lagrange中值定理对于函数中值定理对于函数上的正确性上的正确性.微分中值定理微分中值定理27Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注注注但是增量、但是增量、这是十分

12、方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.微分中值定理微分中值定理导数是个等式关系导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.28它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数微分中值定理微分中值定理29例例6 6证证

13、 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关数在该区间上任意两点的函数值有何关系系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记利用微分中值定理利用微分中值定理,得得微分中值定理微分中值定理30例例7 证明下列不等式证明下列不等式微分中值定理微分中值定理31推论推论1证证有有由条件由条件,即在即在区间区间I中任意两中任意两点的点的函数值都相等函数值都相等,所以所以,微分中值定理微分中值定理(1)(2)32推论推论2(1)(2)注意注意:将推论将推论1,推论推论2中的区间换成其它各种区间中的区间换成其它各种区间(但不能是区间的并但不能是

14、区间的并),结论仍成结论仍成立立.微分中值定理微分中值定理33例例8 证明证明:微分中值定理微分中值定理34例例9 设设证明证明:微分中值定理微分中值定理提示提示:35柯西柯西 Cauchy(法法)1789-18593.柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理36这两个这两个错错 !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同37 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了构造了 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f

15、(x)、F(x),构构造造即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数微分中值定理微分中值定理 分析分析 上式写成上式写成 用用类类比比法法38柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得微分中值定理微分中值定理切线斜率切线斜率39例例1010证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即微分中值定理微分中值定理满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,401证明证明:试证至少存在一点试证至少存在一点 使使2 2微分中值定理微分中值定理41罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理 罗尔罗尔(

16、Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中中值定理、柯西中值定理之间的关系值定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说,满足条件满足条件,不满足条件不满足条件,定理可能成立定理可能成立,不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定理定理定理也可能也可能42应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式证明

17、不等式;(5)综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).微分中值定理微分中值定理 关键关键 逆向思维逆向思维,找找辅助函数辅助函数43三、落必达法三、落必达法(LHospital)其极限都不能直接利用极限运算其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到在第一章中看到,无穷大之商无穷大之商,法则来求法则来求.那末那末极限极限定义定义型型未定式未定式.或或如如,意味着关于它的极限不能确定意味着关于它的极限不能确定出一般的出一般的 未定未定 情况下关于它的极限不能确定情况下关于它的极限不能确定.而并不是在确定的而并不是在确定的结论结论,两个无穷小之商或两个两个无穷小之商或两个两个函数两个函

18、数 f(x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,微分中值定理微分中值定理44我们介绍一个求未定式极限的有效方法我们介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将此方法的关键是将 的计算问题转化为的计算问题转化为 的计算的计算.其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积分著名先驱先驱,从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则.后人对他的思想作了推广后人对他的思想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达(LHospital)便而重要的便而重要的微分中值定理微分中值定理45定理定理6 (落必达法则落必达法则)微分中值定理微分中值定理46证证则由

19、条件则由条件(1),必有必有可补充定义可补充定义微分中值定理微分中值定理47 柯西定理柯西定理微分中值定理微分中值定理48注注再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.这种在一定条件下这种在一定条件下 通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导(多次用法则多次用法则)落必达法则仍成立.微分中值定理微分中值定理49用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3)每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其

20、它性质结合使用及极限的其它性质结合使用.(2)在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;微分中值定理微分中值定理50例例11 求极限求极限微分中值定理微分中值定理51例例12 证明证明:说明说明:x足够大时足够大时,有有微分中值定理微分中值定理522、其它类型的未定式、其它类型的未定式微分中值定理微分中值定理53例例13 求下列极限求下列极限微分中值定理微分中值定理54例例1414解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存

21、在时,不能断定函数不能断定函数比的极限不存在比的极限不存在,其一其一其一其一,这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.微分中值定理微分中值定理55可能永远得不到结果可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时分子，分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如其实其实:杜波塔托夫的一个著名例子杜波塔托夫的一个著名例子.其二其二其二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性微分中值定理微分中值定理56注意：注意：对于数列的极限，不能直对于数列的极限，不能直接用洛必塔法则，而是接用洛必塔法则，而是若若则则例例15 求求微分中值定理微分中值定理57四、小结四、小结微分中值定理微分

22、中值定理 常利用逆向思维常利用逆向思维,构造辅助函数构造辅助函数注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系各微分中值定理的关系;证明存在某点证明存在某点,使得函数在该点的导数满使得函数在该点的导数满足一个方程足一个方程.运用罗尔定理运用罗尔定理.拉格朗日中值定理的各种形式拉格朗日中值定理的各种形式,其关系其关系;58一、一、二、二、三、三、注意注意但但求某些未定式极限不要单一使用洛必达求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其

23、是下述两种方法,可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则,三三大大类类未未定定式式微分中值定理微分中值定理59 (1)存在极限为存在极限为非零的因子非零的因子,可根据积的极可根据积的极限运算法则先求出其极限限运算法则先求出其极限.(2)凡乘积或商的凡乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式,可先用简可先用简单形式的等价无穷小替换单形式的等价无穷小替换.务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等价无穷小.微分中值定理微分中值定理60求下列函数的极限求下列函数的极限微分中值定理微分中值定理61微分中值定理微分中值定理62微分中值定理微分中值定理63思考题思考题微分中值定理微分中值定理64思考题思考题问上述做法是否正确问上述做法是否正确微分中值定理微分中值定理65思考题解答思考题解答非非正确的做法是正确的做法是不一定存在不一定存在.微分中值定理微分中值定理66作业作业习题习题3.53.5 (138(138页页)(A)3.(5)4.(6)6.(1)8.10.(2)12.14.(7)(8)15.(2)(3)(5)(7)微分中值定理微分中值定理(B)5.6.11.14.67