复数与复变函数(精品).ppt

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1、X第第第第 1 1 页页页页第一章 复数与复变函数复数的概念及运算：复数的概念及运算：共轭共轭,乘幂方根乘幂方根复数的各种表示法及相互关系复数的各种表示法及相互关系区域的概念区域的概念复变函数的概念及性质：映射、极限、连续复变函数的概念及性质：映射、极限、连续X第第第第 2 2 页页页页S1 复数及其代数运算复数及其代数运算1.1.复数的概念复数的概念X第第第第 3 3 页页页页2.2.复数的代数运算复数的代数运算（虚部变（虚部变号）号）例例 2 P4 u性质：性质：X第第第第 8 8 页页页页1.1.复平面复平面复数的复数的4 种表示法：种表示法：S2 复数的几何表示复数的几何表示例例 例例

2、 例例 u例例1 P7 u 加、减、共轭的几何表示X第第第第 1 14 4 页页页页*复球面（第五种表示）NSOxyPz 除了复数的平面表示方法外除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表还可以用球面上的点来表示复数示复数.取一个与复平面切于原点取一个与复平面切于原点z z=0=0的球面的球面,球面上的一点球面上的一点S S与与原点重合原点重合.通过通过S S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点点N N.称称N N为北极为北极,S S为南极为南极.对复平面内任一点对复平面内任一点z z,用直线将用直线将z z与与N N相连相连,与球面相交与球面相交于

3、于P P点点,则球面上除则球面上除N N点外的所有点和复平面上的所有点有一点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系一对应的关系,而而N N点本身可代表无穷远点点本身可代表无穷远点,记作记作.这样的这样的球面称作球面称作复球面复球面.复平面上的直线对应着复球面上的圆（过北极复平面上的直线对应着复球面上的圆（过北极N N）。所）。所以直线被看作是以直线被看作是广义的圆广义的圆-过过 的的圆。圆。扩充复平面扩充复平面 ：复平面：复平面 C+C+,与与复球面一一对应。复球面一一对应。S3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.1.乘积与商乘积与商oxyz1z2z2例例1 P14 例例X第第第第 1

4、 19 9 页页页页2.幂与根例例例例 u例例2 P16 xyo例例 u思考思考 7,6 P31 X第第第第 2 23 3 页页页页图形与方程常见图形的方程：常见图形的方程：X第第第第 2 24 4 页页页页例例 4P9 u 例例 25(4)P34 1.1.区域的概念区域的概念S4 区域区域dz0点集点集-D内点内点外点外点边界点边界点P例例例例例例 21(2,9)P33：开，边界，区域，闭区域，有界？开，边界，区域，闭区域，有界？图xyxyxy上半平面:Im z0角形域:0arg zjjab带形域:aIm zbX第第第第 2 29 9 页页页页2.2.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单

5、简单,闭闭 简单简单,不闭不闭 不简单不简单,闭闭 不简单不简单,不闭不闭例例 22(6,7,9,10)P33 例例X第第第第 3 32 2 页页页页1.1.复变函数的定义复变函数的定义S5 复变函数复变函数例例例例 uX第第第第 3 34 4 页页页页映射映射X第第第第 3 35 5 页页页页例例X第第第第 3 36 6 页页页页例例 26(1,2),27 P34 X第第第第 3 37 7 页页页页1.1.函数的极限函数的极限S6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性xyOz0dzOuvAef(z)这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.X第第第第 3 39 9 页页页页必要性X第第第第 4 40 0 页页页页充分性X第第第第 4 41 1 页页页页X第第第第 4 42 2 页页页页2.2.函数的连续性函数的连续性例例32 P34 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连在原点及负实轴上不连续。续。证明证明:xy(z)ozz