科学计算与数学建模第八章(精品).ppt

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1、科学计算与数学建模科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院中南大学数学科学与计算技术学院 层次分析法层次分析法第第八八章章 层次分析法层次分析法 层次分析法概述层次分析法概述1层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤2层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用3层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用41 层次分析法概述层次分析法概述 人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的的、丝的、涤纶的及花的、白的、方格的及花的、白的、方格的之中作出抉择；请朋之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或是去饭店

2、，是吃中餐还是西餐或自助餐；假友吃饭，要筹划是办家宴或是去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林。如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，甲天下的桂林。如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业、或者选择工作岗位的时候，就要慎那么当你面临报考学校、挑选专业、或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能作出满意的决策了。重考虑、反复比较，尽可能作出满意的决策了。从事各种职业的人也经常面临对策：一个厂长要决定购

3、买哪种设备，从事各种职业的人也经常面临对策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么项目；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗上马什么项目；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它

4、们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当重量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当重要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。困难。T.L.SaatyT.L.Saaty等人在等人在2020世纪世纪7070年代提出了一中能有效地处年代提出了一中能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析

5、法（理这样一类问题的实用方法，称层次分析法（Analytic Analytic Hierarchy Process,Hierarchy Process,简记简记AHPAHP）,这是一种定性和定量相结合这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。的、系统化、层次化的分析方法。层次分析法（层次分析法（AHPAHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)(T.L.Saaty)于上世纪于上世纪7070年代初，为美国国防部研究年代初，为美国国防部研究“根据根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电

6、力分配”课题课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模

7、型和方法。全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例：举例：1.1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费点的景色、居住的环境

8、、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。用。3.3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。可行性（难度、周期和经费）和人才培养。人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供成的复杂系统。层次分析法则为

9、研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。了一种新的、简洁的、实用的决策方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。解决的课题。层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特层次分析法是社会、经济系

10、统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。种系统分析方法。该该方法自方法自19821982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定

11、、冲突问题、性能评价、能源系分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。重视和应用。它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非题。同时，这一方法虽然有深刻的理论基

12、础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。广泛的应用。2 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 层次分析法将定性分析与定量计算结合起来层次分析法将定性分析与定量计算结合起来,根根 据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层构模

13、型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、供决策的方案、措施等措施等)相对于最高层相对于最高层(总目标总目标)的相对重要权值的确定或的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定相对优劣次序的排定。8.2.1 8.2.1 建立层次结构模型建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。最低层：决策时的备选方案。中间层：

14、考虑的因素、决策的准则。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。下面举例说明。下面举例说明。例例8.2.1 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择双向选择”时，用人时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：择单位的标准和要求是多方面的，例如：能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自

15、己的专长）；自己的专长）；工作收入较好（待遇好）；工作收入较好（待遇好）；生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；单位名声好（声誉等）；单位名声好（声誉等）；工作环境好（人际关系和谐等）工作环境好（人际关系和谐等）发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。图图8.2.1 大学毕业生就业选择问题层次分析图大学毕业生就业选择问题层次分析图例例8.2.2 选择旅游地选择旅游地 如何在如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。选择。图图8.2.2 选择旅游地层次分析图选择旅游地

16、层次分析图例例8.2.3 科研课题的选择科研课题的选择 某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素：研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献科研成果贡献大小大小(包括实用价值和科学意义包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；人材的培养；(3)课课题的可行性题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金包括课题的难易程度、研究周期及资金)。在这些因素的影响下，如何选择课题在这些因素的影响下，如何选择课题?图图8.2.2 选择旅游地层次分析图选择旅游地层次分析图层次结构模型的构造可归纳为：层次结构模型

17、的构造可归纳为：将决策问题分为将决策问题分为3个或多个层次：个或多个层次：最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、中间层：准则层、指标层、。表示采取某种措施、政策、。表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、

18、政策、方案等。通常有几个方案可选。策、方案等。通常有几个方案可选。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。案的原则。在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，

19、因而结果，则常常不容易被别人接受，因而SantySanty等人提出：等人提出：一致矩阵法，即：一致矩阵法，即：1.1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。素相互比较的困难，以提高准确度。假设要比较某一层假设要比较某一层 个因素个因素 对上一层一个因对上一层一个因素素 的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素旅游地这个目标中的重

20、要性。每次取两个因素 和和 ，用用 表示表示 和和 对对 的影响之比，全部比较结果可用成对的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示。比较矩阵表示。8.2.2 8.2.2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 由于（由于（8.2.18.2.1）式给出）式给出 的特点。的特点。称为正互反矩阵。称为正互反矩阵。显然必有显然必有 ，如用，如用 依次表示景色、费用、依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途居住、饮食、旅途5 5个准则，设某人用成对比较法个准则，设某人用成对比较法 （做（做 次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：(8.2.2)(8.2.2)（8.2.1

21、8.2.1）（8.2.28.2.2）中）中 表示景色表示景色 与费用与费用 对选择旅游地这个对选择旅游地这个目标目标 的重要性之比为的重要性之比为1 1：2 2 ；表示景色表示景色 与居住条与居住条件件 之比为之比为4 4：1 1；表示费用表示费用 与居住条件与居住条件 之比为之比为7 7：1 1。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次。怎样由成对比较阵确定诸因素次之，居住条件再次。怎样由成对比较阵确定诸因素 对上层因素对上层因素 的权重呢？的权重呢？仔细分析一下（仔细分析一下（8.2.2）式给出的成对比较阵）式给出的成

22、对比较阵 可以发现，可以发现，既然既然 与与 之比为之比为1:2，与与 之比为之比为4:1，那么，那么 与与 之比应为之比应为8:1,而不是而不是7:1，才能说明成对比较是一致的。，才能说明成对比较是一致的。但是，但是，个要素要作个要素要作 次成对比较，全部一致的要次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。求是太苛刻了。Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素下计算各因素 对因素对因素 的权重的方法，并且的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况。比较完全

23、一致的情况。设想把一块单位重量的大石头设想把一块单位重量的大石头 砸成砸成 块小石头块小石头 如果精确地称出它们的重量为如果精确地称出它们的重量为 ，在作成对比较时，在作成对比较时令令 ，那么得到，那么得到(8.2.3)这些比较显然是一致的，这些比较显然是一致的，块小石头对大石头的权重（即在块小石头对大石头的权重（即在大石头中的重量比）可用向量大石头中的重量比）可用向量 表示，且表示，且 .显然，显然，的各个列向量与的各个列向量与 仅相差一仅相差一个比例因子。个比例因子。一般地，如果一个正互反阵一般地，如果一个正互反阵 满足满足 （8.2.4）则则 称为一致性矩阵，简称一致阵。（称为一致性矩阵

24、，简称一致阵。（8.2.38.2.3）式给出的）式给出的 显显然是一致阵。容易证明阶一致阵然是一致阵。容易证明阶一致阵 有下列性质。有下列性质。1.1.的秩为的秩为1 1，的惟一非零特征根为的惟一非零特征根为 ；2.2.的任一列向量都是对应于特征根的任一列向量都是对应于特征根 的特征向量。的特征向量。如果得到的成对比较阵是一致阵，像式（如果得到的成对比较阵是一致阵，像式（8.2.38.2.3）的）的 ，自然应取对应于特征根自然应取对应于特征根 的，归一化的特征向量（即分量之的，归一化的特征向量（即分量之和为和为1 1）表示诸因素表示诸因素 ，对上层因素，对上层因素 的权重，这个向的权重，这个向

25、量称为权向量。如果成对比较阵量称为权向量。如果成对比较阵 不是一致阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内（下面将说明如何确定这个范围）。但在不一致的容许范围内（下面将说明如何确定这个范围）。SaatySaaty等人建议等人建议用对应于用对应于 最大特征根。（记作最大特征根。（记作 ）的特征）的特征向量（归一化后）作为权向量向量（归一化后）作为权向量 ，即，即 满足满足 (8.2.5)(8.2.5)直观地看，因为矩阵直观地看，因为矩阵 的特征根和特征向量连续地依赖于矩的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素阵的元素 ，所以当，所以当 离一致性的要求不远离一致性的要求不远时，时，的特征根和特征向量与

26、一致阵的相差不大的特征根和特征向量与一致阵的相差不大，（，（8.2.58.2.5）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法。式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法。比较尺度：比较尺度：当比较两个可能具有不同性质的因素当比较两个可能具有不同性质的因素 和和 对于一个上层因素对于一个上层因素 的影响时，采用什么样的相对尺度的影响时，采用什么样的相对尺度 较好呢？较好呢？Saaty等人提出用等人提出用1-9尺度，即尺度，即 的取值范围是的取值范围是1，2，,及其互反数及其互反数1，。理由如下：。理由如下：1.在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常

27、有5种种明显的等级，明显的等级，1-9尺度可以方便的表示如表尺度可以方便的表示如表8.2.1：表表8.2.1 1-98.2.1 1-9尺度的含义尺度的含义尺度尺度含义含义1 1与与 的影响相同的影响相同3 3比比 的影响稍强的影响稍强5 5比比 的影响强的影响强7 7比比 的影响明显的强的影响明显的强9 9比比 的影响绝对的强的影响绝对的强2 2，4，6，8 与与 的影响之比在上述两个相的影响之比在上述两个相邻等级之间邻等级之间1 1，1/2，1/9 与与 的影响之比为的影响之比为上面的上面的互反数互反数2 2心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的心理学家认为，进行成对比较的因素太多

28、，将超出人的判断能力。最多大致在判断能力。最多大致在 范围。如以范围。如以9 9个为限，用个为限，用1-91-9尺度表尺度表示它们之间的差别正合适。示它们之间的差别正合适。3.Saaty3.Saaty等人曾用等人曾用 等共等共2727种比较尺度，对在不同距离处判别某光源的亮度等实种比较尺度，对在不同距离处判别某光源的亮度等实例构造成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光例构造成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的，或实际测量出的权向量进行对比强定律等物理知识得到的，或实际测量出的权向量进行对比发现，发现，1-91-9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不

29、尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。劣于较复杂的尺度。目前在层次分析法的应用中，大多数人都用目前在层次分析法的应用中，大多数人都用1-91-9尺度。尺度。对应于成对比较矩阵的最大特征根对应于成对比较矩阵的最大特征根 的特征向的特征向量，经归一化量，经归一化(使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)后记为后记为 。的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓能否确认层次单排序，需要进行一致性

30、检验，所谓一致性检验是指对一致性检验是指对 确定不一致的允许范围。确定不一致的允许范围。定理定理8.2.1 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为 。8.2.3 8.2.3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验定理定理8.2.2 阶正互反阵阶正互反阵 的最大特征根的最大特征根 ，当且当且仅当仅当 时时 为一致阵。为一致阵。由于由于 连续的依赖于连续的依赖于 ，则，则 比比 大的越多，大的越多，的不一致的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引对上层某因素

31、影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡数值的大小来衡量量 的不一致程度。的不一致程度。定义定义一致性指标一致性指标:，有完全的一致性，有完全的一致性；接近于接近于 ，有满意的一致性；，有满意的一致性；越大，不一致越严重。越大，不一致越严重。为衡量为衡量 的大小，引入随机一致性指标的大小，引入随机一致性指标 。方法为：。方法为：1.随机构造随机构造500个成对比较矩阵：个成对比较矩阵：2.2.则可得一致性指标则可得一致性指标 ：SaatySaaty的结果如表的结果如表8.2.28.2.2：n n1 2 3 4 5 6 7 8

32、 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RIRI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.510 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51表表8.2.2 Saaty8.2.2 Saaty的结果的结果注：随机一致性指标注：随机一致性指标 定义一致性比率定义一致性比率：一般，当一致性比率一般，当一致性比率 时，认为时，认为 的不一致程的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否

33、则要重新构造成对可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵比较矩阵 ，对，对 加以调整。加以调整。“选择旅游地选择旅游地”中，准则层对目标的成对比较阵中，准则层对目标的成对比较阵最大特征根：最大特征根：权向量权向量(特征向量特征向量)：一致性指标：一致性指标：随机一致性指标随机一致性指标 (查表可得查表可得)，一致，一致性比率为性比率为 通过一致性检验。通过一致性检验。计算某一层次所有因素对于最高层计算某一层次所有因素对于最高层(总目标总目标)相对重要性的权相对重要性的权值，称为层次总排序。值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。这一过程是从最高层次到最低

34、层次依次进行的。图图8.2.4 层次总排序图层次总排序图 层层 个因素个因素 对总目标对总目标 的排序为：的排序为：层层 个因素对上层个因素对上层 中因素为中因素为 ，的层次单排序为，的层次单排序为 层的层次总排序为：层的层次总排序为：即即 层第层第 个因素对总目标的权值为：个因素对总目标的权值为：表表8.2.3 层次总排序表层次总排序表层次总排序的一致性检验：层次总排序的一致性检验：设设 层层 对上层对上层(层层)中因素中因素 的的层次单排序一致性指标为层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为，随机一致性指为 ，则层，则层次总排序的一致性比率为：次总排序的一致性比率为：当当 时时 ，认为层次

35、总排序通过一致性检验。层次总，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。最后决策。在旅游决策问题中我们已经得到了第在旅游决策问题中我们已经得到了第二二层（准则层）层（准则层）对第一层（目标层，对第一层（目标层，只有一个因素）的权向量，记作只有一个因素）的权向量，记作 （即由（即由（8.2.28.2.2）式的）式的A A 算出算出 w w）。用同样的方法构造第）。用同样的方法构造第3 3层（方案

36、层，见图层（方案层，见图8.2.18.2.1）对第）对第2 2层的每一个准则的成对比层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为：较阵，不妨设它们为：这里矩阵这里矩阵 中的元素中的元素 是方案（旅游地）是方案（旅游地）与与 对于准则对于准则 （景色、费用等）的优越性的比较尺度。（景色、费用等）的优越性的比较尺度。由第由第3层的成对比较阵层的成对比较阵 计算出权向量计算出权向量 ，最大特征根，最大特征根 和一致性指标和一致性指标 ，结果列入表，结果列入表 8.2.4表表8.2.4 旅游决策问题第旅游决策问题第3层的计算结果层的计算结果 不难看出，由于不难看出，由于 时随机一致性指标时随机一致性指标

37、（表（表8.2.2），所以上面的），所以上面的 均可通过一致性检验。均可通过一致性检验。下面的问题是由各准则对目标的权向量下面的问题是由各准则对目标的权向量 和各方案和各方案对每一准则的权向量对每一准则的权向量 ，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作 。对与方案对与方案 ，它在景色等，它在景色等5个准则中的权重用个准则中的权重用 的第的第1个分量表示（表个分量表示（表8.2.4中的第中的第1行），而行），而5个准则对于目标的个准则对于目标的权重又用权向量权重又用权向量 表示，所以方案在目标中的组合权重表示，所以方案在目标中的组合权重应为它

38、们相应项的两两乘积之和，即应为它们相应项的两两乘积之和，即 同样可以算出同样可以算出 ,在目标中的组合权重为在目标中的组合权重为0.246和和0.456，于是组合权向量，于是组合权向量 ，结果表明结果表明 方案在旅游地选择中占的权重近于方案在旅游地选择中占的权重近于 1/2，远大于远大于 ,。应作为第。应作为第1选择地点。选择地点。在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。以确定组合权向量是否可以作

39、为最终的决策依据。组合一致性检验可逐层进行。若第组合一致性检验可逐层进行。若第 层的一致性指标层的一致性指标为为 （n是第是第p-1层因素的数目），随机一致性指层因素的数目），随机一致性指标为标为 定义定义8.2.58.2.5组合一致性检验组合一致性检验(8.2.11)(8.2.12)则第则第 层的组合一致性比率为层的组合一致性比率为:第第 层通过组合一致性检验的条件为层通过组合一致性检验的条件为 .定义最下层（第定义最下层（第S层）对第一层的组合一致性比率为层）对第一层的组合一致性比率为 ，对于重大项目，仅当，对于重大项目，仅当 适当的适当的小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。小时

40、，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。在旅游决策问题中可以算出在旅游决策问题中可以算出 前面已经有前面已经有 于是于是 ，组合一致，组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量性检验通过，前面得到的组合权向量 可以作为最终决可以作为最终决策的依据。策的依据。可将可将层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤归纳如下归纳如下:1.建立层次结构模型建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下的分解成若干层次。同关的各个因素按照不同属性自上而下的分解成若干层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同一层的诸因素从属于

41、上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或收到下层的因素的作用，而同一层时又支配下一层的因素或收到下层的因素的作用，而同一层 的因素之间尽量相互独立。最上层为目标层，通常只有一的因素之间尽量相互独立。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（比如多几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（比如多余余9个）应进一步分解出子准则层。个）应进一步分解出子准则层。2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 从层次结构模型的地从层次结构模型的地2层开始，层开始，对于从属

42、于（或影响及）上一层每个因素的同一层因素，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层因素，用成对比较法和用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。下层。3.计算权向量并作一致性检验计算权向量并作一致性检验 对于每一个成对比较矩阵计对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应特征向量（计算方法见本节第三小节），算最大特征根及对应特征向量（计算方法见本节第三小节），利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不验。若检验通过，特征向量（归一化

43、后）即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较矩阵。通过，需重新构造成对比较矩阵。4.计算组合权向量并作组合一致性检验计算组合权向量并作组合一致性检验 利用（利用（8.2.10）式）式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则重新考虑模型或构造那些一致性比率则重新考虑模型或构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。层次分析法在层次分析法在T.L.Saaty正式提出来之后，由于它在处正式提出来之后，由于它在处理

44、复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用围内得到普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配。从处理问题的已遍及经济计划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。层次分析法在层次分析法在T.L.SaatyT.L.Saaty正式提出来之后，由于它在处理复杂的正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视决策问题上的实用性和有效性，很快就在

45、世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。策和分配。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。这个方法在这个方法在2020世纪世纪8080年代初引入我国，也很快为广大的应用数学工作年代初引入我国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，在经济计划和管理，能源政策和分者和有关领域的技术人员所接受，在经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，配，人才选拔和评价，生产

46、决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等领域教育，医疗，环境，军事等领域,得到了成功的应用。得到了成功的应用。3 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用例例8.3.1 8.3.1 国家实力分析国家实力分析 图图8.3.1国家实力分析图国家实力分析图例例8.3.2 8.3.2 工作选择工作选择图图8.3.2 工作选择图工作选择图例例8.3.3 8.3.3 横渡江河、海峡方案的抉择横渡江河、海峡方案的抉择图图8.3.3 过河代价层次结果图过河代价层次结果图例例8.3.4 8.3.4 科技成果的综合评价科技成果的综合评价图图8.3.4 科技成果的综合评价图科技成果的综合评价图当

47、今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高当今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高低直接关系着工作效率，甚至生存条件。财务、库存、销售、行政低直接关系着工作效率，甚至生存条件。财务、库存、销售、行政 各种各样的管理信息系统（各种各样的管理信息系统（MISMIS）开发完成或准备推广时，通常要做）开发完成或准备推广时，通常要做全面的检查、测试和分析，全面的检查、测试和分析，AHPAHP是进行综合评价的方法之一。是进行综合评价的方法之一。某一类光里信息系统的综合评价指标体系如下：某一类光里信息系统的综合评价指标体系如下：1.1.系统建设系统建设 .科学性科学性 ：规划目标的科

48、学性，经济、技术、管理上的可行性；：规划目标的科学性，经济、技术、管理上的可行性；.实现程度实现程度 ：是否达到了系统分析阶段提出的目标；：是否达到了系统分析阶段提出的目标；8.3.18.3.1管理信息系统综合评价管理信息系统综合评价.先进性先进性 ：融合了先进的管理科学知识，有较强的适应：融合了先进的管理科学知识，有较强的适应性；性；.经济性经济性 ：投资：投资功能比；功能比；.资源利用率资源利用率 ：对软硬件、资源信息的利用程度；：对软硬件、资源信息的利用程度；.规范性规范性 ：遵循国际标准、国家标准或行业标准，易：遵循国际标准、国家标准或行业标准，易于使用维护和扩充。于使用维护和扩充。2

49、.2.系统性能系统性能 可靠性可靠性 ：主要是软硬件系统的可靠性；：主要是软硬件系统的可靠性；系统效率系统效率 ：系统响应时间、周转时间、吞吐量等；：系统响应时间、周转时间、吞吐量等；可维护性可维护性 ：确定、修正系统的错误所需的代价；：确定、修正系统的错误所需的代价；可扩充性可扩充性:系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度；程度；可移植性可移植性:将系统移植到另一种软硬件环境的代价；将系统移植到另一种软硬件环境的代价；安全性安全性 :当自然或人为故障造成系统破坏时的有效当自然或人为故障造成系统破坏时的有效对策；对策；3.3.系统应用系统应用 .经济效益经

50、济效益 :降低成本、增加利润、提高竞争力、改进降低成本、增加利润、提高竞争力、改进服务质量等；服务质量等；.社会效益社会效益:提高科技水平、合理利用资源、增进社会提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、保护生态环境等；福利、保护生态环境等；.用户满意程度用户满意程度 :人机界面友好、操作方便、容错性强、人机界面友好、操作方便、容错性强、有帮助功能等；有帮助功能等；.功能应用程度功能应用程度 :是否达到预期的技术指标。是否达到预期的技术指标。用以上各评价指标构造层次结构，形成目标层用以上各评价指标构造层次结构，形成目标层A A、准则、准则层层B B、子准则层、子准则层C C和方案层和方案层D