第三章随机变量及分布精选文档.ppt

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1、第三章随机变量及分布1本讲稿第一页，共三十页定义定义1.2 设（设（X，Y）为二维为二维随机变量，对于任意的随机变量，对于任意的x，y，二元函数二元函数 F(x,y)=p(X x,Y y)称为称为（X，Y）的分布函数。或的分布函数。或称为称为 X与与Y的联合分布函数的联合分布函数 联合分布函数的几何含义：联合分布函数的几何含义：联联合合分分布布函函数数在在点点(x,y)处处的的函函数数值值F(x,y)就就表表示示随随机机点点落落在在以以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域为顶点的左下方的无穷矩形区域(-u x,-x1时，时，F(x2,y)F(x1,y)对任意固定的对任意固定的 x，当当 y2

2、 y1时，时，F(x,y2)F(x,y1)本讲稿第二页，共三十页oxx1 x2 yy1 y2 (2)对任意的对任意的 x 和和 y 都有：都有：0 F(x,y)1(x,y)xyo (3)对对 x 和和 y，F(x,y)都是右连续的都是右连续的 (4)当当 x1 x2，y1 y2 时，有时，有 P(x1X x2,y1Y y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)本讲稿第三页，共三十页 定义：二维随机变量定义：二维随机变量(X,Y)中，随机变量中，随机变量X（或或Y）自身的自身的 分布称为分布称为(X,Y)关于关于X（或或Y）的边缘分布。的边缘分布。结论：设结论

3、：设(X,Y)的的联合分布函数为联合分布函数为 F(x,y)，则有则有2 边缘分布边缘分布边缘分布函数：边缘分布函数：X的分布函数的分布函数 FX(x)和和 Y的分布函数的分布函数FY(y)边缘分布函数可由联合分布函数确定。边缘分布函数可由联合分布函数确定。边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。本讲稿第四页，共三十页定义定义1.3：如果二维随机变量：如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的数对是所有可能取的数对是 有限个或可列个，则称有限个或

4、可列个，则称(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。1.2 二维离散型随机变量 1 二维离散型随机变量的联合分布二维离散型随机变量的联合分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的数对为所有可能取的数对为 (x i,y j)(i,j=1,2,)则则 P(X=x i，Y=y j)=p i j (i,j=1,2,)称为二维离散型随机变量称为二维离散型随机变量(X,Y)的的联合概率函数联合概率函数或或联合分布联合分布。例：同时掷两枚色子，朝上

5、面的点数记为例：同时掷两枚色子，朝上面的点数记为X,Y，则，则 二维随机变量二维随机变量(X,Y)为离散型。为离散型。(X,Y)的的联合概率函数表：联合概率函数表：(1)pi j 0,i,j=1,2,联合概率分布的性质联合概率分布的性质(2)本讲稿第五页，共三十页设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 P(X=x i，Y=y j)=p i j (i,j=1,2,)p i.行和行和 p1.p2.pi.p.j 列和列和 p.1 p.2 p.j即即2 二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X,Y的边缘分布

6、的边缘分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i jY X X本讲稿第六页，共三十页注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地 确确定联合分布。定联合分布。11Y X 01/121/61/61/61/6 1/1201/62332例：（例：（X,Y）的联合概率分布的联合概率分布求：求：X,Y的边缘分布的边缘分布解：解：X,Y的边缘分布的边缘分布1pX 1/21/41/4321pY 1/21/41/432本讲稿第七页，共三十页定义定义1.5：设二维随机向量设二维随机向量(

7、X,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x,y)。如果如果存在非负可积函数存在非负可积函数 f(x,y)，使得使得1.3 二维连续型随机变量的联合密度函数则称则称(X,Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,y)称为称为(X,Y)的联合的联合概率密度函数，概率密度函数，或简称或简称联合密度。联合密度。1 联合密度函数联合密度函数l 二维连续型随机变量的联合密度的基本性质二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1)f(x,y)0 x,y R(2)本讲稿第八页，共三十页给出联合密度给出联合密度 f(x,y)后，事件后，事件(X,Y)G的的概率都可用概率都可用二重积分表示。二重积分表示。

8、OxyabG 1 1(x)2 2(x)当当 G 为长方形时，为长方形时，OxyabGcd例：例：(均匀分布均匀分布)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=c,(x,y)G G 0,其他其他求：求：常数常数 c 解解本讲稿第九页，共三十页例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他其他求：求：(1)常数常数 c;(2)联合分布函数联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。解解OxyG11

9、x+y=1c=9(2)当当 0 x +,0 y +时时当当 x,y 不都大于不都大于0 时时=(x,y)xyo本讲稿第十页，共三十页求：求：(1)常数常数 c;(2)联合分布函数联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y R时时当当 x R时时 0 x R 0 y R本讲稿第十三页，共三十页第二节第二节 条件分布条件分布 定定义义：二二维维随随机机变变量量(X,Y)中中，已已知知随随机机变变量量

10、X 取取定定值值x时时，随随机机变量变量Y的分布称为在的分布称为在(X=x）条件下条件下Y的条件分布的条件分布。已知随机变量已知随机变量Y取定值取定值y时，时，随机变量随机变量X的分布的分布 称为在称为在(Y=y）条件下条件下X 的条件分布的条件分布。本讲稿第十四页，共三十页2.2 离散型随机变量的条件概率分布离散型随机变量的条件概率分布设设(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为：P(X=x i,Y=yj)=p i j (i,j=1,2,)边缘分布：边缘分布：现现考考虑虑在在事事件件(Y=y j)已已发发生生的的条条件件下下，事事件件(X=x i)的的条条件件概概率率 P(X=x i|Y=y

11、 j)。定义定义2.1：设设(X,Y)是二维离散型随机向量，对于固定的是二维离散型随机向量，对于固定的 j,若若 P(Y=y j )0，则则 称为在称为在Y=y j 条件下随机变量条件下随机变量X的的条件概率分布条件概率分布同样，对于固定的同样，对于固定的 i，若若 P(X=x i)0，则则称为在称为在X=x i 条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件概率分布条件概率分布本讲稿第十五页，共三十页在在 X=2的条件下的条件下,Y的条件分布为：的条件分布为：=1/3例：（例：（X,Y）的联合概率分布的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/6 1/1201/62332P(X=2)=1/

12、6+1/6+1/6=1/2 在在Y=1时时,X 的条件分布的条件分布解：解：1 P(Y|X=2)Y 1/31/31/332=1/3=1/3求：在求：在X=2时时,Y 的条件分布的条件分布 在在Y=1的条件下的条件下,X的条件分布为的条件分布为1 P(X|Y=1)X 2/31/3032本讲稿第十六页，共三十页称为在称为在Y=y 条件下条件下X 的条件密度函数。的条件密度函数。2 2.3.3 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布定义定义2.2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX(x),fY(y)则称则称

13、为在为在Y=yY=y条件下，随机变量条件下，随机变量X X的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为本讲稿第十七页，共三十页称为在称为在X=x 条件下条件下Y 的条件密度函数。的条件密度函数。类似的类似的，当，当 则称则称为在为在X=xX=x条件下，随机变量条件下，随机变量Y Y的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为本讲稿第十八页，共三十页解：解：0 其他其他例：设例：设(X,Y)f(x,y)=求：条件密度函数求：条件密度函数 f(x|y)，f(y|x)0 其他其他 0 其他其他对于满足对于满足 y 0，则：则：0 其他其他 0 其他其他对于满足对于满足 x 0，则：则：本讲稿第十九页，共三十

14、页 定义：二维随机变量定义：二维随机变量(X,Y)中，联合分布函数和中，联合分布函数和边缘分布边缘分布 函数分别为函数分别为F(x，y)，FX(x)，FY(y）。若满足若满足 F(x，y)=FX(x)FY(y）则称随机变量则称随机变量 X 和和 Y 相互独立。相互独立。第三节第三节 随机变量的独立性随机变量的独立性 离散型离散型 随机变量随机变量X,Y的独立性的独立性离散型随机变量离散型随机变量X,Y 独立的充要条件是对一切独立的充要条件是对一切 i,j=1,2,都有都有 pi j =pi.p.j即：即：P(X=x i,Y=y j)=P(X=x i)P(Y=y j)(i,j=1,2,)本讲稿第

15、二十页，共三十页 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX(x),fY(y)，若若f(x,y)=fX(x)fY(y)，则则X,Y独立独立例：设例：设(X,Y)f(x,y)=判断判断X，Y是否独立是否独立 0 其他其他解：解：0 其他其他 0 其他其他f(x,y)fX(x)fY(y)，则则X，Y不独立不独立例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=9e-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他其他 fX(x)=3e-3x,0 x +0,其他其他 fY(y)=3e-3y,

16、0 y 0,20,|1均为常数，则称均为常数，则称(X,Y)服从参数服从参数为为 1,2,1,2,的二维正态分布，的二维正态分布，记作记作(X,Y)N(1,2,12,22,)。可求出边缘密度函数为：可求出边缘密度函数为：表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。X N(1,12)Y N(2,22)本讲稿第二十二页，共三十页例：例：因为随机变量因为随机变量 X 与与 Y 独立，所以对任意实数独立，所以对任意实数 x,y 都有都有设随机变量设随机变量 X 与与 Y 独立，且都服从正态分布，其密度函数为独立，且都服从正态分布，其密度函数为求：求：(X,Y

17、)的联合密度函数。的联合密度函数。解：解：(X,Y)N(1,2,12,22,0)此例说明：若此例说明：若X X N N(1 1,1 12 2)，Y Y N N(2 2,2 22 2)，且且X X 与与Y Y 独立，则独立，则(X,YX,Y)N N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2 ,0,0)；若若(X,YX,Y)N N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,0,0)，则则X X 与与Y Y 独立。所以，二维正态随机变量独立。所以，二维正态随机变量 X X 与与Y Y 独立的充要条件是独立的充要条件是 =0=0。本讲稿第二十三页，共三十页第四节 二维随机变量函数的分布 若存在二元

18、函数若存在二元函数 z=g(x,y)，使得对二维随机变量使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值的每一取值(x,y)，随机变量随机变量Z 的相应取值为的相应取值为 z=g(x,y)，则称随机变量则称随机变量Z是随机变量是随机变量(X,Y)的函数，记作的函数，记作Z=g(X,Y)。由由(X,Y)的分布求出的分布求出 Z=g(X,Y)的分布呢？的分布呢？例：例：Z=X+Y4.1 Z=X+Y的分布本讲稿第二十四页，共三十页 例：已知例：已知(X,Y)的联合分布如表的联合分布如表 求求Z=X+Y 的概率函数。的概率函数。因为因为 Z=X+Y，所以，所以Z 的可能取值是的可能取值是 1,2,3,4,5解：

19、解：于是，于是，Z 的概率函数如表所示。的概率函数如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表表7 P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.27 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=01 1 二维二维离散型随

20、机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布本讲稿第二十五页，共三十页例：设例：设 XP(1)与与 YP(2)，且且 X 与与 Y 独立独立 求求 Z=X+Y的概率函数。的概率函数。由于泊松分布的随机变量由于泊松分布的随机变量 X 与与 Y 可取所有非负整数，可取所有非负整数，故其和故其和Z=X+Y 也只取所有非负整数。对任一非负整数也只取所有非负整数。对任一非负整数 r，有：有：解：解：这是参数为这是参数为 1+2 的泊松分布。即的泊松分布。即 Z=X+YP(1+2)。这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和和仍服从泊松仍服从泊松分布，其参数为这

21、两个分布的参数之和。分布，其参数为这两个分布的参数之和。这个事实，通常被称作这个事实，通常被称作泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性.本讲稿第二十六页，共三十页 设二维连续型设二维连续型随机变量随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f (x,y)，Z=X+Y,求求 Z 的密度函数。的密度函数。解解：则：则：特别地，当随机变量特别地，当随机变量 X 与与 Y 相互独立时，有相互独立时，有密度的卷积公式。密度的卷积公式。f f Z Z=f=f X X*f f Y Y 叫做叫做 f f X X,f f Y Y 卷积。卷积。或：或：本讲稿第二十七页，共三十页例例:设设 X 与与 Y 独立

22、独立,都服从都服从 N(0,1)分布分布,求求Z=X+Y的密度函数。的密度函数。解解：即：即：Z=X+YN(0,2)一般地，若一般地，若 XN(1,12)，YN(2,22)，且且 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则aX+bY+c N(a 1+b 2+c,a2 12+b2 22)。本讲稿第二十八页，共三十页4.2 M=max(X,Y),N=min(X,Y)4.2 M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布的分布设设X X与与Y Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，X X和和Y Y的分布函数分别为的分布函数分别为 ，求求M=max(X,Y),N=min(X,Y)M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布的分布 即：即：类似的类似的 N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布函数的分布函数：推广到推广到n n维的情形维的情形本讲稿第二十九页，共三十页4.3 4.3 其他形式的二维随机变量的分布其他形式的二维随机变量的分布设设X X与与Y Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，X X和和Y Y的概率密度函数分别为，的概率密度函数分别为，求：求：的密度函数的密度函数本讲稿第三十页，共三十页