半导体物理第五章 (2)精选PPT.ppt

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1、半导体物理第五章半导体物理第五章第五章第五章011/44第1页，此课件共44页哦第五章第五章012/445.1非平衡载流子的注入与复合n n处于热平衡状态的半导体，在一定温度下，处于热平衡状态的半导体，在一定温度下，载流子浓度是一定的。这种处于热平衡状载流子浓度是一定的。这种处于热平衡状态下的载流子浓度，称为平衡载流子浓度，态下的载流子浓度，称为平衡载流子浓度，前面各章讨论的都是平衡载流子。前面各章讨论的都是平衡载流子。n n非简并半导体，处于热平衡时，电子浓度非简并半导体，处于热平衡时，电子浓度n0，空穴浓度空穴浓度p0第2页，此课件共44页哦第五章第五章013/44 本征载流子浓度本征载流

2、子浓度 ni只是温度的函数。只是温度的函数。在非简并情况下，无论掺杂多少，在非简并情况下，无论掺杂多少，平衡载流子浓度平衡载流子浓度 n0和和p0必定满足式必定满足式(5-1)，因而它也是非简并半导体处于，因而它也是非简并半导体处于热平衡状态的判据式。热平衡状态的判据式。第3页，此课件共44页哦第五章第五章014/44n n半导体的热平衡状态是相对的，有条件的。半导体的热平衡状态是相对的，有条件的。如果对半导体施加外界作用，破坏了热平衡如果对半导体施加外界作用，破坏了热平衡的条件，这就迫使它处于与热平衡状态相偏的条件，这就迫使它处于与热平衡状态相偏离的状态，称为非平衡状态。离的状态，称为非平衡

3、状态。n n处于非平衡状态的半导体，其载流子浓度处于非平衡状态的半导体，其载流子浓度也不再是也不再是 n0和和p0，可以比它们多出一部分。，可以比它们多出一部分。比平衡状态多出来的这部分载流子称为非比平衡状态多出来的这部分载流子称为非平衡载流子，有时也称为过剩载流子。平衡载流子，有时也称为过剩载流子。第4页，此课件共44页哦第五章第五章015/44n n例如在一定温度下，当没有光照时，一块例如在一定温度下，当没有光照时，一块半导体中电子和空穴浓度分别为半导体中电子和空穴浓度分别为 n0和和p0，假设是假设是n型半导体，则型半导体，则 n0p0，其能带图，其能带图如图如图5-1所示。所示。图图图

4、图5-15-1第5页，此课件共44页哦第五章第五章016/44n n当用适当波长的光照射该半导体时，只要光当用适当波长的光照射该半导体时，只要光子的能量大于该半导体的禁带宽度，那么光子的能量大于该半导体的禁带宽度，那么光子就能把价带电子激发到导带上去，产生电子就能把价带电子激发到导带上去，产生电子一空穴对，使导带比平衡时多出一部分电子一空穴对，使导带比平衡时多出一部分电子子n，价带比平衡时多出一部分空穴，价带比平衡时多出一部分空穴p，它们被形象地表示在图它们被形象地表示在图5-1的方框中。的方框中。图图图图5-15-1第6页，此课件共44页哦第五章第五章017/44n nn和和p就是非平衡载流

5、子浓度。就是非平衡载流子浓度。这时把这时把非平衡电子非平衡电子称为非平衡多数称为非平衡多数载流子，而把载流子，而把非平衡空穴非平衡空穴称为非平称为非平衡少数载流子。衡少数载流子。n n对对p型材料则相反。型材料则相反。第7页，此课件共44页哦第五章第五章018/44n n其中，用光照使得半导体内部产生非平衡其中，用光照使得半导体内部产生非平衡载流子的方法，称为非平衡载流子的光注载流子的方法，称为非平衡载流子的光注人。人。n n光注入时光注入时 第8页，此课件共44页哦第五章第五章019/44n n在一般情况下，注入的非平衡载流子浓度在一般情况下，注入的非平衡载流子浓度比平衡时的多数载流子浓度小

6、得多，对比平衡时的多数载流子浓度小得多，对 n型型材料，材料，n=p n0，满足这个条件的，满足这个条件的注入称为小注入。注入称为小注入。第9页，此课件共44页哦第五章第五章011044n n例如例如例如例如1 .cm1 .cm的的的的n n型硅中，型硅中，型硅中，型硅中，n n0 0 5.5 x 105.5 x 101515cmcm-3-3,p p0 0 3.1 x 3.1 x 10104 4cmcm-3-3，若注入非平衡载流子，若注入非平衡载流子，若注入非平衡载流子，若注入非平衡载流子n nn n p p p0 0 。这个例子说明，即使在小注人的情况下，。这个例子说明，即使在小注人的情况下

7、，。这个例子说明，即使在小注人的情况下，。这个例子说明，即使在小注人的情况下，非平衡少数载流子浓度还是可以比平衡少数载流子非平衡少数载流子浓度还是可以比平衡少数载流子非平衡少数载流子浓度还是可以比平衡少数载流子非平衡少数载流子浓度还是可以比平衡少数载流子浓度大得多，它的影响就显得十分重要了，而相对浓度大得多，它的影响就显得十分重要了，而相对浓度大得多，它的影响就显得十分重要了，而相对浓度大得多，它的影响就显得十分重要了，而相对来说非平衡多数载流子的影响可以忽略。来说非平衡多数载流子的影响可以忽略。来说非平衡多数载流子的影响可以忽略。来说非平衡多数载流子的影响可以忽略。第10页，此课件共44页哦

8、第五章第五章011144n n所以实际上往往是非平衡少数载流子所以实际上往往是非平衡少数载流子起着重要作用，通常说的非平衡载流起着重要作用，通常说的非平衡载流子都是指非平衡少数载流子。子都是指非平衡少数载流子。第11页，此课件共44页哦第五章第五章011244n n光注入使得载流子浓度增大，必然导光注入使得载流子浓度增大，必然导致半导体电导率增大，即引起附加电致半导体电导率增大，即引起附加电导率为导率为第12页，此课件共44页哦第五章第五章011344n n这个附加电导率可以用图这个附加电导率可以用图5-2所示的装置观察。所示的装置观察。图中电阻图中电阻 R比半导体的电阻比半导体的电阻r大得多

9、，因此不论大得多，因此不论光照与否，通过半导体的电流光照与否，通过半导体的电流 I几乎是恒定的。几乎是恒定的。半导体上的电压降半导体上的电压降 V=Ir。设平衡时半导体电。设平衡时半导体电导率为导率为 ，光照引起附加电导率，光照引起附加电导率 ，小注入时，小注入时 ，因而电阻率改变，因而电阻率改变第13页，此课件共44页哦第五章第五章011444n n所以电阻的改变所以电阻的改变图52光注入引起附加光电导所以，从示波器上观测到的半导体上电压降的变化就直接反所以，从示波器上观测到的半导体上电压降的变化就直接反所以，从示波器上观测到的半导体上电压降的变化就直接反所以，从示波器上观测到的半导体上电压

10、降的变化就直接反映了附加电导率的变化，也间接地检验了非平衡少数载流子映了附加电导率的变化，也间接地检验了非平衡少数载流子映了附加电导率的变化，也间接地检验了非平衡少数载流子映了附加电导率的变化，也间接地检验了非平衡少数载流子的注入。的注入。的注入。的注入。第14页，此课件共44页哦第五章第五章011544n n要破坏半导体的平衡态，对它施加要破坏半导体的平衡态，对它施加的外部作用可以是光的，还可以是的外部作用可以是光的，还可以是电的或其他能量传递的方式。电的或其他能量传递的方式。n n相应地，除了光照，还可以用其他方相应地，除了光照，还可以用其他方法产生非平衡载流子，最常用的是用法产生非平衡载

11、流子，最常用的是用电的方法，称为非平衡载流子的电注电的方法，称为非平衡载流子的电注入。如入。如pn结正向工作时，就是常遇到结正向工作时，就是常遇到的电注入。的电注入。第15页，此课件共44页哦第五章第五章011644n n当产生非平衡载流子的外部作用撤当产生非平衡载流子的外部作用撤除以后，半导体中将发生什么变化除以后，半导体中将发生什么变化呢呢?n n还是用光注入的例子来说明。如图还是用光注入的例子来说明。如图5-2所示的实验中，在小注入的情况下，所示的实验中，在小注入的情况下，V的变化反映了的变化反映了p的变化。的变化。n n实验发现，光照停止以后，实验发现，光照停止以后，V很快很快趋于零，

12、大约只要毫秒到微秒数量趋于零，大约只要毫秒到微秒数量级的时间。级的时间。第16页，此课件共44页哦第五章第五章011744n n这说明，注入的非平衡载流子并不这说明，注入的非平衡载流子并不能一直存在下去，光照停止后，它能一直存在下去，光照停止后，它们要逐渐消失，也就是原来激发到们要逐渐消失，也就是原来激发到导带的电子又回到价带，电子和空导带的电子又回到价带，电子和空穴又成对地消失了。穴又成对地消失了。n n最后，载流子浓度恢复到平衡时的值，最后，载流子浓度恢复到平衡时的值，半导体又回到平衡态。半导体又回到平衡态。第17页，此课件共44页哦第五章第五章011844n n由此得出结论，产生非平衡载

13、流子的由此得出结论，产生非平衡载流子的外部作用撤除后，由于半导体的内部外部作用撤除后，由于半导体的内部作用，使它由非平衡态恢复到平衡态，作用，使它由非平衡态恢复到平衡态，过剩载流子逐渐消失。过剩载流子逐渐消失。n n这一过程称为这一过程称为非平衡载流子的复合非平衡载流子的复合。第18页，此课件共44页哦第五章第五章011944n n实际上，热平衡并不是一种绝对静实际上，热平衡并不是一种绝对静止的状态。就半导体中的载流子而止的状态。就半导体中的载流子而言，任何时候电子和空穴总是不断言，任何时候电子和空穴总是不断地产生和复合。地产生和复合。n n在热平衡状态，产生和复合处于相对在热平衡状态，产生和

14、复合处于相对的平衡，每秒钟产生的电子和空穴数的平衡，每秒钟产生的电子和空穴数目与复合掉的数目相等，从而保持载目与复合掉的数目相等，从而保持载流子浓度稳定不变。流子浓度稳定不变。第19页，此课件共44页哦第五章第五章012044n n当用光照射半导体时，打破了产生与复合当用光照射半导体时，打破了产生与复合的相对平衡，产生超过了复合，在半导体的相对平衡，产生超过了复合，在半导体中产生了非平衡载流子，半导体处于非平中产生了非平衡载流子，半导体处于非平衡态。衡态。n n光照停止时，半导体中仍然存在非平衡光照停止时，半导体中仍然存在非平衡载流子。由于电子和空穴的数目比热平载流子。由于电子和空穴的数目比热

15、平衡时增多了，它们在热运动中相遇而衡时增多了，它们在热运动中相遇而复复合的机会合的机会也将增大。这时复合超过了产也将增大。这时复合超过了产生而造成一定的生而造成一定的净复合净复合，非平衡载流子，非平衡载流子逐渐消失，最后恢复到平衡值，半导体逐渐消失，最后恢复到平衡值，半导体又回到了热平衡状态。又回到了热平衡状态。第20页，此课件共44页哦第五章第五章0121445.2 非平衡载流子的寿命n n上节已经说明，在图上节已经说明，在图上节已经说明，在图上节已经说明，在图5-25-2的实验中，小注入时，的实验中，小注入时，的实验中，小注入时，的实验中，小注入时，V V的变的变的变的变化就反映了化就反映

16、了化就反映了化就反映了p p的变化。因此，可以通过这个实验，观察光的变化。因此，可以通过这个实验，观察光的变化。因此，可以通过这个实验，观察光的变化。因此，可以通过这个实验，观察光照停止后，非平衡载流子浓度照停止后，非平衡载流子浓度照停止后，非平衡载流子浓度照停止后，非平衡载流子浓度p p随时间变化的规律。随时间变化的规律。随时间变化的规律。随时间变化的规律。n n实验表明，光照停止后，实验表明，光照停止后，实验表明，光照停止后，实验表明，光照停止后，p p随时间按指数规律减少。随时间按指数规律减少。随时间按指数规律减少。随时间按指数规律减少。这说明非平衡载流子并不是立刻全部消失，而是有一这说

17、明非平衡载流子并不是立刻全部消失，而是有一这说明非平衡载流子并不是立刻全部消失，而是有一这说明非平衡载流子并不是立刻全部消失，而是有一个过程，即它们在导带和价带中有一定的生存时间，个过程，即它们在导带和价带中有一定的生存时间，个过程，即它们在导带和价带中有一定的生存时间，个过程，即它们在导带和价带中有一定的生存时间，有的长些，有的短些。非平衡载流子的平均生存时间有的长些，有的短些。非平衡载流子的平均生存时间有的长些，有的短些。非平衡载流子的平均生存时间有的长些，有的短些。非平衡载流子的平均生存时间称为非平衡载流子的寿命，用称为非平衡载流子的寿命，用称为非平衡载流子的寿命，用称为非平衡载流子的寿

18、命，用 表示。表示。表示。表示。第21页，此课件共44页哦第五章第五章012244n n由于相对于非平衡多数载流子，非平衡少由于相对于非平衡多数载流子，非平衡少数载流子的影响处于主导的、决定的地位，数载流子的影响处于主导的、决定的地位，因而非平衡戴流子的寿命常称为少数载流因而非平衡戴流子的寿命常称为少数载流子寿命。子寿命。n n显然显然 就表示单位时间内非平衡载流子的就表示单位时间内非平衡载流子的复合概率。通常把单位时间单位体积内净复合概率。通常把单位时间单位体积内净复合消失的电子空穴对数称为非平衡载复合消失的电子空穴对数称为非平衡载流子的复合率。所以流子的复合率。所以 就代表复合率。就代表复

19、合率。第22页，此课件共44页哦第五章第五章012344n n假定一束光在一块假定一束光在一块n型半导体内部均匀地产型半导体内部均匀地产生非平衡载流子生非平衡载流子 n和和p。在。在 t=0时刻光照时刻光照突然停止，突然停止，p将随时间变化，单位时间内将随时间变化，单位时间内非平衡载流子浓度的减少应为非平衡载流子浓度的减少应为 ，它，它是由复合引起的，因此应当等于非平衡载流是由复合引起的，因此应当等于非平衡载流子的复合率，即子的复合率，即第23页，此课件共44页哦第五章第五章012444n n小注入时，小注入时，是一个恒量，与是一个恒量，与p(t)无关，所以无关，所以上式的通解为上式的通解为n

20、 n设设t=0时，时，n n所以上式的常数所以上式的常数C=(p)0.n n所以，所以，这就是非平衡载流子浓度随时间按这就是非平衡载流子浓度随时间按这就是非平衡载流子浓度随时间按这就是非平衡载流子浓度随时间按指数衰减指数衰减指数衰减指数衰减的规律的规律的规律的规律 ，和实验得到的结论是一致的，和实验得到的结论是一致的，和实验得到的结论是一致的，和实验得到的结论是一致的第24页，此课件共44页哦第五章第五章012544n n由式由式(5-6)还可得到还可得到n n如果取如果取t0，则，则所以寿命标志着非平衡载流子浓度减小到原值的所以寿命标志着非平衡载流子浓度减小到原值的 1/e所经历的时间。寿所

21、经历的时间。寿命不同，非平衡载流子衰减的快慢不同，寿命越短，衰减越快。命不同，非平衡载流子衰减的快慢不同，寿命越短，衰减越快。第25页，此课件共44页哦第五章第五章012644 通常非平衡载流子的寿命是用实验方通常非平衡载流子的寿命是用实验方法测量的。各种测量方法都包括非平衡法测量的。各种测量方法都包括非平衡载流子的注入和检测两个基本方面。最载流子的注入和检测两个基本方面。最常用的注人方法是光注人和电注人，而常用的注人方法是光注人和电注人，而检测非平衡载流子的方法很多。不同的检测非平衡载流子的方法很多。不同的注入和检测方法的组合就形成了许多寿注入和检测方法的组合就形成了许多寿命测量方法。命测量

22、方法。第26页，此课件共44页哦第五章第五章012744n n图图 5-2所示就是用直流光电导衰减法测量寿所示就是用直流光电导衰减法测量寿命的基本原理图。测量时，用脉冲单光照命的基本原理图。测量时，用脉冲单光照射半导体，在示波器上直接观察非平衡载射半导体，在示波器上直接观察非平衡载流子随时间衰减的规律，由指数衰减曲线流子随时间衰减的规律，由指数衰减曲线确定寿命。确定寿命。n n在此基础上，又产生了高频光电导衰减法，在此基础上，又产生了高频光电导衰减法，这时，加在样品上的是高频电场。这时，加在样品上的是高频电场。第27页，此课件共44页哦第五章第五章012844n n不同的材料寿命很不相同。一般

23、地说，锗比不同的材料寿命很不相同。一般地说，锗比硅容易获得较高的寿命，而砷化嫁的寿命要硅容易获得较高的寿命，而砷化嫁的寿命要短得多。在较完整的锗单晶中，寿命可超过短得多。在较完整的锗单晶中，寿命可超过104 us。纯度和完整性特别好的硅材料，寿命。纯度和完整性特别好的硅材料，寿命可达可达103 us以上。砷化稼的寿命极短，约为以上。砷化稼的寿命极短，约为10-8-10-9s，或更低。，或更低。n n即使是同种材料，在不同的条件下，寿命也即使是同种材料，在不同的条件下，寿命也可在一个很大的范围内变化。通常制造晶体可在一个很大的范围内变化。通常制造晶体管的锗材料，寿命在几十微秒到二百多微秒管的锗材

24、料，寿命在几十微秒到二百多微秒范围内。平面器件中用的硅寿命一般在几十范围内。平面器件中用的硅寿命一般在几十微秒以上。微秒以上。第28页，此课件共44页哦第五章第五章012944思考题思考题n n非平衡载流子的寿命是指非平衡载非平衡载流子的寿命是指非平衡载流子的浓度衰减到零所用的时间吗流子的浓度衰减到零所用的时间吗？第29页，此课件共44页哦第五章第五章0130445.3 准费米能级 n n半导体中的电子系统处于热平衡状态时，半导体中的电子系统处于热平衡状态时，在整个半导体中有统一的费米能级，电子在整个半导体中有统一的费米能级，电子和空穴浓度都用它来描写。非简并情况下，和空穴浓度都用它来描写。非

25、简并情况下，即即 它们的它们的它们的它们的E EF F相同相同相同相同第30页，此课件共44页哦第五章第五章013144n n正因为有统一的费米能级正因为有统一的费米能级EF，热平衡，热平衡状态下，半导体中电子和空穴浓度的状态下，半导体中电子和空穴浓度的乘积必定满足式乘积必定满足式(5-1)n0p0=ni2 n n因而，统一的费米能级是热平衡状因而，统一的费米能级是热平衡状态的标志。态的标志。第31页，此课件共44页哦第五章第五章013244n n当外界的影响破坏了热平衡，使半导体处当外界的影响破坏了热平衡，使半导体处于非平衡状态时，就不再存在统一的费米于非平衡状态时，就不再存在统一的费米能级

26、，因为前面讲的费米能级和统计分布能级，因为前面讲的费米能级和统计分布函数都是指的热平衡状态。函数都是指的热平衡状态。n n在非平衡态：在非平衡态：n=n0+nn n电子浓度增大，电子浓度增大，EF上升，上升，n n p=p0+pn n空穴浓度增加，空穴浓度增加，EF下降。下降。此时，此时，此时，此时，E EF F该如何定义？该如何定义？该如何定义？该如何定义？第32页，此课件共44页哦第五章第五章013344n n事实上，电子系统的热平衡状态是通过热事实上，电子系统的热平衡状态是通过热跃迁实现的。在一个能带范围内，热跃迁跃迁实现的。在一个能带范围内，热跃迁十分频繁，极短时间内就能导致一个能带十

27、分频繁，极短时间内就能导致一个能带内的热平衡。然而，电子在两个能带之间，内的热平衡。然而，电子在两个能带之间，例如导带和价带之间的热跃迁就稀少得多，例如导带和价带之间的热跃迁就稀少得多，因为中间还隔着禁带。因为中间还隔着禁带。第33页，此课件共44页哦第五章第五章013444n n当半导体的平衡态遭到破坏而存在非平衡当半导体的平衡态遭到破坏而存在非平衡载流子时，由于上述原因，可以认为，分载流子时，由于上述原因，可以认为，分别就价带和导带中的电子讲，它们各自基别就价带和导带中的电子讲，它们各自基本上处于平衡态，而导带和价带之间处于本上处于平衡态，而导带和价带之间处于不平衡状态。不平衡状态。n n

28、因而费米能级和统计分布函数对导带和价因而费米能级和统计分布函数对导带和价带各自仍然是适用的，可以分别引人导带带各自仍然是适用的，可以分别引人导带费米能级和价带费米能级，它们都是局部费米能级和价带费米能级，它们都是局部的费米能级，称为的费米能级，称为“准费米能级准费米能级”。第34页，此课件共44页哦第五章第五章013544n n导带和价带间的不平衡就表现在它们的准导带和价带间的不平衡就表现在它们的准费米能级是不重合的。导带的准费米能级费米能级是不重合的。导带的准费米能级也称电子准费米能级，用也称电子准费米能级，用EFn表示表示;相应地，相应地，价带的准费米能级称为空穴准费米能级，价带的准费米能

29、级称为空穴准费米能级，别用别用EFp表示。表示。第35页，此课件共44页哦第五章第五章013644n n引人准费米能级后，非平衡状态下的载流引人准费米能级后，非平衡状态下的载流子浓度也可以用与平衡载流子浓度类似的子浓度也可以用与平衡载流子浓度类似的公式来表达公式来表达 知道了非平衡载流子的浓度，便可以由上式确定准费米能级知道了非平衡载流子的浓度，便可以由上式确定准费米能级知道了非平衡载流子的浓度，便可以由上式确定准费米能级知道了非平衡载流子的浓度，便可以由上式确定准费米能级E EFnFn和和和和E EFpFp的位置。的位置。的位置。的位置。只要载流子浓度不是太高，以致使只要载流子浓度不是太高，

30、以致使只要载流子浓度不是太高，以致使只要载流子浓度不是太高，以致使E EFnFn和和和和E EFpFp进人导带或价带，此式总是适用的。进人导带或价带，此式总是适用的。进人导带或价带，此式总是适用的。进人导带或价带，此式总是适用的。第36页，此课件共44页哦第五章第五章013744n n根据式(5-9),n和n0、ni以及 p和p0、pi的关系可表示为 第37页，此课件共44页哦第五章第五章013844n n 由上式明显地看出，无论是电子还是空穴，由上式明显地看出，无论是电子还是空穴，非平衡载流子越多，准费米能级偏离非平衡载流子越多，准费米能级偏离EF就就越远。但是越远。但是EFn及及EFp偏离

31、偏离EF的程度是不同的程度是不同的。的。n n例如对于例如对于n型半导体，在小注入条件下，即型半导体，在小注入条件下，即n n因此，因此，n n所以，所以，EFnEF,即即EFn比比EF更靠近导带更靠近导带,但偏但偏离很小。离很小。第38页，此课件共44页哦第五章第五章013944n n此时，注入的空穴浓度此时，注入的空穴浓度n n所以，所以，EFpEF,即即EFp比比EF更靠近价带，并更靠近价带，并且比且比EFn更显著地偏离更显著地偏离EF具体的值可具体的值可以见后面的以见后面的例题例题第39页，此课件共44页哦第五章第五章014044n n一般在非平衡态时，往往总是多数载流子一般在非平衡态

32、时，往往总是多数载流子的准费米能级和平衡时的费米能级偏离不的准费米能级和平衡时的费米能级偏离不多，而少数载流子的准费米能级则偏离很多，而少数载流子的准费米能级则偏离很大。大。第40页，此课件共44页哦第五章第五章014144n n由式由式(5-10)可得到电子浓度和空穴浓度的乘可得到电子浓度和空穴浓度的乘积是积是 第41页，此课件共44页哦第五章第五章014244n n显然，显然，EFn和和EFp,偏离的大小直接反映出偏离的大小直接反映出np和和ni2相差的程度，即反映了半导体偏离热相差的程度，即反映了半导体偏离热平衡态的程度。它们偏离越大，说明不平平衡态的程度。它们偏离越大，说明不平衡情况越显著衡情况越显著;两者靠得越近，则说明越接两者靠得越近，则说明越接近平衡态近平衡态;两者重合时，形成统一的费米能两者重合时，形成统一的费米能级，半导体处于平衡态。级，半导体处于平衡态。n n因此引进准费米能级，可以更形象地了解因此引进准费米能级，可以更形象地了解非平衡态的情况。非平衡态的情况。第42页，此课件共44页哦第五章第五章014344第43页，此课件共44页哦第五章第五章014444课堂练习课堂练习n n利用n、p以及n0、p0、ni、pi的表达式推导下面的公式第44页，此课件共44页哦