第三章机器人运动精选文档.ppt

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1、第三章机器人运动本讲稿第一页，共六十五页第一节第一节 概述概述 常见的机器人运动学问题可归纳如下：常见的机器人运动学问题可归纳如下：1 1对一给定的机器人，已知对一给定的机器人，已知杆件几何参数杆件几何参数和和关节角矢关节角矢量量求机器人求机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。态。2 2已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执行器相已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态对于参考坐标系的期望位置和姿态 (位姿位姿)，机器人，机器人能否能否使其末端执行器达到这个预期的位置？如能达到，那使其末端执行器达到这个预期的

2、位置？如能达到，那么机器人么机器人有几种不同形态有几种不同形态可满足同样的条件可满足同样的条件?2本讲稿第二页，共六十五页 第一个问题常称为运动学正问题第一个问题常称为运动学正问题(直接问题直接问题););第二个问题常称为运动学逆问题第二个问题常称为运动学逆问题(解臂形问题解臂形问题)。这两。这两个问题是机器人运动学中的基本问题。个问题是机器人运动学中的基本问题。3本讲稿第三页，共六十五页第二节第二节 机器人运动学的基本问题机器人运动学的基本问题 一、运动学基本问题一、运动学基本问题 图图3 31 1所示为所示为2 2自由度机器人手部的连杆机构自由度机器人手部的连杆机构。4本讲稿第四页，共六十

3、五页 图中的连杆机构是两杆件通过转动副联接的关节图中的连杆机构是两杆件通过转动副联接的关节结构，通过确定连杆长度，以及关节角，可以定义结构，通过确定连杆长度，以及关节角，可以定义该连杆机构。在分析机器人的末端手爪的运动时，若该连杆机构。在分析机器人的末端手爪的运动时，若把作业看作主要依靠机器人手爪来实现的，则应考虑把作业看作主要依靠机器人手爪来实现的，则应考虑手爪的位置（图中点的位置）。一般场合中，手爪姿手爪的位置（图中点的位置）。一般场合中，手爪姿势也表示手指位置。从势也表示手指位置。从几何学的观点来处理这个手指位几何学的观点来处理这个手指位置与关节变量的关系称为运动学置与关节变量的关系称为

4、运动学（KinematicsKinematics）。）。5本讲稿第五页，共六十五页我们引入向量分别表示手爪位置和关节变量我们引入向量分别表示手爪位置和关节变量，因此，利用上述两个向量来描述一下这个因此，利用上述两个向量来描述一下这个2 2自由度机器人的运动自由度机器人的运动学问题。学问题。手爪位置的各分量，按几何学可表示为：手爪位置的各分量，按几何学可表示为：(3-1)(3-2)6本讲稿第六页，共六十五页用向量表示这个关系式，其一般可表示为用向量表示这个关系式，其一般可表示为 式中式中 表示向量函数。表示向量函数。已知机器人的关节变量已知机器人的关节变量 ，求其，求其手爪位置的运动学问题称为手

5、爪位置的运动学问题称为正运动学正运动学（direct direct kinematicskinematics）。该公式被称为运动方程式。如果，给定）。该公式被称为运动方程式。如果，给定机器人的手爪位置，机器人的手爪位置，求为了到达这个预定的位置，机器求为了到达这个预定的位置，机器人的关节变量的运动学问题称为逆运动学人的关节变量的运动学问题称为逆运动学（inverse kinematics）。其运动方程式可以通过以下分析得到。）。其运动方程式可以通过以下分析得到。(3-3)7本讲稿第七页，共六十五页如图所示，根据图中描述的几何学关系，可得如图所示，根据图中描述的几何学关系，可得 式中(3-4)(

6、3-5)(3-6)8本讲稿第八页，共六十五页同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为 如图所示，机器人到达给定的手爪位置 有两个姿态满足要求，即图中的 也是其解。这时 和 变成为另外的值。即逆运动学的解不是惟一的，可以有多个解。即逆运动学的解不是惟一的，可以有多个解。(3-7)9本讲稿第九页，共六十五页二、机器人二、机器人位置位置与与关节变量关节变量的的关系关系 1 1表示方法表示方法 机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成-开开式链式链结构。为了求机器人结构。为了求机器人手部手部在空间的运动规律在空

7、间的运动规律-一种合适的一种合适的数学方法数学方法来描述。通常把来描述。通常把坐标系坐标系固定于每固定于每一个连杆的一个连杆的关节关节上，如果知道了这些上，如果知道了这些坐标系之间坐标系之间的相互的相互位置与姿态位置与姿态，手部在空间的位置与姿态也就能够确定了。，手部在空间的位置与姿态也就能够确定了。本讲稿第十页，共六十五页二、机器人位置与关节变量的关系二、机器人位置与关节变量的关系 1 1表示方法表示方法 以以手爪位置手爪位置与与关节变量关节变量之间的关系为例，要想正之间的关系为例，要想正确表示机器人的确表示机器人的手爪位置和姿态手爪位置和姿态，就要，就要首先建立坐标首先建立坐标系系，如图，

8、如图3 33 3所示，应分别定义固定机器人的所示，应分别定义固定机器人的基座和基座和手爪的坐标系手爪的坐标系，这样才能很好地描述它们之间的位置和姿，这样才能很好地描述它们之间的位置和姿态之间的关系。态之间的关系。11本讲稿第十一页，共六十五页图图3 33 3 基准坐标系和手爪坐标系基准坐标系和手爪坐标系 基准坐标系,固定在基座基座上 手爪坐标系，固定在手爪手爪上 12旋转变换矩阵旋转变换矩阵P OB指向指向E的位置矢量的位置矢量本讲稿第十二页，共六十五页2姿态的变换矩阵姿态的变换矩阵 如图如图3 34 4所示，给出原点重合的两坐标系所示，给出原点重合的两坐标系 则假设点 的位置 向量的分量在两

9、坐标系中分别表示为 13本讲稿第十三页，共六十五页则从则从 向向 的变换为：的变换为：其中：它是从 坐标向坐标进行位置向 量姿态变换的矩阵，称为姿态变换矩阵（或旋转矩阵）姿态变换矩阵（或旋转矩阵）。14本讲稿第十四页，共六十五页分析如图分析如图3 35 5所示坐标系所示坐标系 ，它是将，它是将 围绕围绕 轴沿正方向旋转轴沿正方向旋转角角 后构成的坐标系。后构成的坐标系。图35 两个坐标系的旋转坐标变换因此，在坐标系 上表示的坐标 与在将坐标系 绕 轴沿正方向旋转角 得到的坐标系 上表示的坐标 之间，存在下列关系式：15本讲稿第十五页，共六十五页由上面知从 坐标系向坐标系 的坐标变换矩阵为：16

10、本讲稿第十六页，共六十五页 因为上述变换是把某一坐标系上表示的坐标，因为上述变换是把某一坐标系上表示的坐标，表示到另一坐标系中，因此有时也称它为表示到另一坐标系中，因此有时也称它为坐标变换坐标变换。在该例子中是从在该例子中是从 坐标系向坐标系坐标系向坐标系 的的坐标变换，由于坐标系坐标变换，由于坐标系 是是 围绕围绕 轴旋转轴旋转 角后构成的坐标系，则该坐标角后构成的坐标系，则该坐标变换矩阵也可用变换矩阵也可用 来表示来表示17本讲稿第十七页，共六十五页 同理，上述例子中，当考虑围绕着同理，上述例子中，当考虑围绕着 轴旋转时（设轴旋转时（设其旋转量其旋转量 为），可得到如下关系式：为），可得到

11、如下关系式：另外，当围绕着轴 旋转时（设其旋转量 为），可表示为如下关系式：18本讲稿第十八页，共六十五页可以验证可以验证 该矩阵为单位矩阵式中该矩阵为单位矩阵式中*表示表示 、中的任何中的任何一个。所以有下列等式成立一个。所以有下列等式成立 在分析机器人运动时，在分析机器人运动时，当只用围绕一个轴旋转不能当只用围绕一个轴旋转不能表示时，可以通过围绕几个轴同时旋转的组合方式进表示时，可以通过围绕几个轴同时旋转的组合方式进行表示。行表示。均满足 19本讲稿第十九页，共六十五页3 3齐次变换齐次变换 前面讨论了机器人在进行旋转运动时前面讨论了机器人在进行旋转运动时的坐标变换，一般来说，机器人的运动

12、不仅的坐标变换，一般来说，机器人的运动不仅是是旋转运动旋转运动，有时要做平行移动，或以上，有时要做平行移动，或以上两两种运动的合成种运动的合成，因此也应考虑平移运动时的，因此也应考虑平移运动时的坐标变换，即坐标变换，即齐次变换齐次变换。20本讲稿第二十页，共六十五页现在来看下图的两个坐标系，现在来看下图的两个坐标系，坐标系坐标系 是将是将坐标系坐标系 单独地平行移动单独地平行移动 后，再进行适当后，再进行适当地旋转得到的坐标系。地旋转得到的坐标系。21本讲稿第二十一页，共六十五页 这时，某一点这时，某一点 其在坐标系其在坐标系 和和 上的坐标上的坐标分别为分别为 、，可以认为，可以认为，是由是

13、由 旋转而进行坐标变旋转而进行坐标变换后，即乘以换后，即乘以旋转坐标变换旋转坐标变换 ，在，在加上表示平移的向加上表示平移的向量量 而得到的，因此可写出下列表达式：而得到的，因此可写出下列表达式：22本讲稿第二十二页，共六十五页 因旋转而进行的坐标变换，与因平移而进行的坐标因旋转而进行的坐标变换，与因平移而进行的坐标变换，可以用一个坐标变换矩阵来表示，记为变换，可以用一个坐标变换矩阵来表示，记为 ，称这，称这个矩阵个矩阵 为为齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换矩阵，或简称为坐标变换矩阵，或简称为坐标变换矩阵，表示为：表示为：23本讲稿第二十三页，共六十五页三、机器人的运动学的一般表示三、机器人的运动

14、学的一般表示 前面所介绍的是任意两个坐标系之间的坐标变换，我前面所介绍的是任意两个坐标系之间的坐标变换，我们知道，机器人一般是有多个关节组成的，各关节之间的们知道，机器人一般是有多个关节组成的，各关节之间的坐标变换可以通过坐标变换相乘后，结合在一起进行求解。坐标变换可以通过坐标变换相乘后，结合在一起进行求解。如前所述，可以把机器人的运动模型看作是一系列由关节如前所述，可以把机器人的运动模型看作是一系列由关节连接起来的连杆机构。一般机器人具有个自由度，为了分连接起来的连杆机构。一般机器人具有个自由度，为了分析其运动，可将上述方法扩展一下。析其运动，可将上述方法扩展一下。24本讲稿第二十四页，共六

15、十五页通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换称为换称为 矩阵。一个矩阵。一个 矩阵就是一个描述连杆坐标系矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果用间相对平移和旋转的齐次变换。如果用 表示第一个连表示第一个连杆在基系的位置和姿态，杆在基系的位置和姿态，表示第二个连杆相对第一个表示第二个连杆相对第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系的位置和姿连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在基系的位置和姿态可由下列矩阵的乘积求得态可由下列矩阵的乘积求得 25本讲稿第二十五页，共六十五页同理，若同理，若 表示第三个连杆相对第二个连杆

16、的位置表示第三个连杆相对第二个连杆的位置和姿态，那么第三个连杆在基系的位置和姿态可由下和姿态，那么第三个连杆在基系的位置和姿态可由下列矩阵的乘积求得列矩阵的乘积求得 26本讲稿第二十六页，共六十五页于是，对于六连杆的机器人，有下列矩阵于是，对于六连杆的机器人，有下列矩阵 成立成立一般，每个连杆有一个自由度，则六连杆组成的机一般，每个连杆有一个自由度，则六连杆组成的机器人具有六个自由度，并能在其运动范围内任意定器人具有六个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。其中，三个自由度用于规定位置，另外位与定向。其中，三个自由度用于规定位置，另外三个自由度用来规定姿态。所以，表示了机器人的三个自由度用

17、来规定姿态。所以，表示了机器人的位置和姿态。位置和姿态。27本讲稿第二十七页，共六十五页对于具有对于具有 个关节的机器人，若设坐标系个关节的机器人，若设坐标系 为固定为固定在指尖上的坐标系时，则从坐标系在指尖上的坐标系时，则从坐标系 到基准坐标系到基准坐标系 的坐标变换矩阵的坐标变换矩阵 可由下式给出：可由下式给出：不仅是从不仅是从 坐标系到坐标系坐标系到坐标系 的坐的坐标变换，而且同时还可以解释为在基准坐标系标变换，而且同时还可以解释为在基准坐标系 上看到的表示指尖位置和方向的矩阵。上看到的表示指尖位置和方向的矩阵。28本讲稿第二十八页，共六十五页四、机器人运动问题的示例四、机器人运动问题的

18、示例 1机器人正运动学问题机器人正运动学问题 机器人正运动学问题就是求机器人运动学的正机器人正运动学问题就是求机器人运动学的正解（解（forward kinematics），即在给定组成运动副），即在给定组成运动副的相邻连杆的相对位置情况下，确定机器人末端执的相邻连杆的相对位置情况下，确定机器人末端执行器的位置和姿态。通过上述分析可知，运动学正行器的位置和姿态。通过上述分析可知，运动学正解可用一个反映此相对关系的变换矩阵来表示，这解可用一个反映此相对关系的变换矩阵来表示，这里一般是指开式链的机器人结构。里一般是指开式链的机器人结构。29本讲稿第二十九页，共六十五页以一个以一个6自由度的机器人为

19、例，如图所示，自由度的机器人为例，如图所示，在该机器人中，除第在该机器人中，除第3个关节为平移关节外，个关节为平移关节外，其余均为旋转关节。其余均为旋转关节。30本讲稿第三十页，共六十五页对于这个机器人，根据图中表示的坐标系对于这个机器人，根据图中表示的坐标系 为为基准坐标系，正运动学问题就是求该机器人末端手指关节基准坐标系，正运动学问题就是求该机器人末端手指关节6的位置和姿态，也就是在基准坐标系上看关节的位置和姿态，也就是在基准坐标系上看关节6，因此找出，因此找出由由 到到 的坐标的坐标 变换矩阵变换矩阵 即可。即可。也就是表示这个机器人的末端指尖的位也就是表示这个机器人的末端指尖的位置和方

20、向，可以由下式给出：置和方向，可以由下式给出：31本讲稿第三十一页，共六十五页其中其中32本讲稿第三十二页，共六十五页33本讲稿第三十三页，共六十五页34本讲稿第三十四页，共六十五页上式即为该上式即为该6自由度机器人的运动学正解。对于不同类自由度机器人的运动学正解。对于不同类型的机器人，其坐标变换矩阵的形式不同，要根据实际型的机器人，其坐标变换矩阵的形式不同，要根据实际结构求得。结构求得。35本讲稿第三十五页，共六十五页2 2机器人逆运动学机器人逆运动学 机器人的逆解问题比较复杂，为了说明问题，下面先以机器人的逆解问题比较复杂，为了说明问题，下面先以2自由度的机器人为例。自由度的机器人为例。如

21、图所示，已知机器人末端的坐标值如图所示，已知机器人末端的坐标值（x,y），试利用，试利用 表示表示 36本讲稿第三十六页，共六十五页根据图中的几何关系可知：根据图中的几何关系可知：（338）（339）37本讲稿第三十七页，共六十五页 联立求解上述两方程，可分别求出联立求解上述两方程，可分别求出 的表的表达式。达式。因此可进一步得到：将该式代入前面的几何表达式就可求出的 表达式。38本讲稿第三十八页，共六十五页 从机器人的手爪末端位置姿态出发，从机器人的手爪末端位置姿态出发，可以求出机器人对应的各关节的角度。该可以求出机器人对应的各关节的角度。该例的机器人是属于平面多关节机器人，对例的机器人是属

22、于平面多关节机器人，对于一般的机械手来讲，其求解过程比较复于一般的机械手来讲，其求解过程比较复杂，往往其解不是唯一的杂，往往其解不是唯一的.39本讲稿第三十九页，共六十五页第三节第三节 机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵 一、雅可比矩阵的定义一、雅可比矩阵的定义 前面讨论了机器人的指尖位置和方向与各关前面讨论了机器人的指尖位置和方向与各关节的变化位置之间的关系。在本节将进一节的变化位置之间的关系。在本节将进一步讨论指尖的速度与各关节的速度（转动步讨论指尖的速度与各关节的速度（转动或平移）之间的关系。或平移）之间的关系。考虑机械手的手爪位置考虑机械手的手爪位置 和关节变量和关节变量 的的关系用

23、正运动学方程表示如下：关系用正运动学方程表示如下：40本讲稿第四十页，共六十五页假定这里考虑的是假定这里考虑的是 的一般情况，并设手爪位置包含表示姿态的变量，以及关节变量由回转角和平移组合而成的情况。（355）41本讲稿第四十一页，共六十五页若用每个分量表示，则变为若用每个分量表示，则变为 在在 的情况下，将变为手爪位置的关节变量有无的情况下，将变为手爪位置的关节变量有无限个解的限个解的冗余冗余机器人。而工业上常用的多关节机器人机器人。而工业上常用的多关节机器人手臂，通常用于作业的所需手爪应有手臂，通常用于作业的所需手爪应有3个位置变量和个位置变量和3个个姿态变量，总计姿态变量，总计6个变量。

24、而且由于不采用冗余机器人个变量。而且由于不采用冗余机器人结构，所以结构，所以 。42本讲稿第四十二页，共六十五页将式（将式（355）的两边对时间微分，可得到）的两边对时间微分，可得到下式下式（357）其中（358）43本讲稿第四十三页，共六十五页称称 为雅可比矩阵（为雅可比矩阵（Jacobian matrix）。若在式）。若在式（357）的两边乘以微小时间）的两边乘以微小时间 ，则可得到，则可得到（359）该式是用雅可比矩阵表示微小位移间关系的关系式。44本讲稿第四十四页，共六十五页二、与平移速度相关的雅可比矩阵二、与平移速度相关的雅可比矩阵 现在设基准坐标系为现在设基准坐标系为 ，固定于指尖

25、的，固定于指尖的坐标系为坐标系为 ，在，在 上表示的坐上表示的坐标为标为 ，则，则 可以表示如下：可以表示如下：（360）45本讲稿第四十五页，共六十五页这时，指尖的平移速度可以写成：这时，指尖的平移速度可以写成：（361）式中，其中 是关节的数目。这里的 称为与平移速度相关的雅可比矩阵。46本讲稿第四十六页，共六十五页下面以下面以2自由度机械手为例，如前面图自由度机械手为例，如前面图32所示的所示的2自由度机械手的雅可比矩阵。前面已推导过，该机自由度机械手的雅可比矩阵。前面已推导过，该机器人的指尖位置可以表示为器人的指尖位置可以表示为 47本讲稿第四十七页，共六十五页则与这个机器人的平移速度

26、相关的雅可比矩阵，可以则与这个机器人的平移速度相关的雅可比矩阵，可以下列形式给出：下列形式给出：（363）48本讲稿第四十八页，共六十五页现在，我们来讨论一下现在，我们来讨论一下 的各列向量的几何学意义，的各列向量的几何学意义，即在即在 时，考虑时，考虑 ，的几何学意义。根据的几何学意义。根据式（式（363），），是在时是在时 ，也就是第，也就是第2关节固定时，关节固定时，仅在第仅在第1关节转动的情况下，指尖平移速度在基准坐标关节转动的情况下，指尖平移速度在基准坐标系上表示出的向量。系上表示出的向量。同样，同样，是第是第1关节固定时，仅在第关节固定时，仅在第2关节转动的情况下，关节转动的情况下

27、，指尖平移速度在基准坐标系上表示出的向量。指尖平移速度在基准坐标系上表示出的向量。49本讲稿第四十九页，共六十五页因此，当用图表示因此，当用图表示 和和 时，就变成了如图所示的情时，就变成了如图所示的情况。况。图39 和 的几何学说明 50本讲稿第五十页，共六十五页齐次坐标变换齐次坐标变换假设机器人手部拿一个钻头在工件上实施钻孔作业，已知钻头中心P点相对于手腕中心的位置，求P点相对于基座的位置。分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系，如图所示。坐标为（xb，yb，zb）坐标为（x，y，z）P P点点 相对于固定坐标系相对于动坐标系本讲稿第五十一页，共六十五页三矢量之间的关系为三矢量之间的关

28、系为其中其中本讲稿第五十二页，共六十五页代入、写成矩阵形式：再根据 与 的关系可得：本讲稿第五十三页，共六十五页进一步整理写成矢量形式为该式称为坐标变换方程坐标变换方程。其中，被称作位置矩阵，表示动坐标系原点到固定坐标系原点之间的距离。本讲稿第五十四页，共六十五页可以进一步表示为叫做齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换矩阵（Homogeneous Coordinate Transformation Matrix），包含了两级两级坐标变换之间的位置位置平移平移和角度旋转角度旋转的两方面信息。上式称为齐次坐标变换方程上式称为齐次坐标变换方程式中本讲稿第五十五页，共六十五页3.3.2 3.3.2 举例举例则

29、动坐标系相对定坐标系平移1.1.平移坐标变换（平移坐标变换（TranslationTranslation）所以 本讲稿第五十六页，共六十五页绕x轴旋转按右手规则确定旋转方向，即2.2.旋转坐标变换（旋转坐标变换（RotationRotation）本讲稿第五十七页，共六十五页3.3.综合坐标变换综合坐标变换设活动坐标系与固定坐标系初始位置重合，经下列坐标变换：绕z轴旋转900；然后绕y轴旋转900；相对于固定坐标系平移位置矢量。试求合成齐次坐标变换矩阵T。解解 活动坐标系绕固定坐标系z轴旋转900，其齐次变换为本讲稿第五十八页，共六十五页活动坐标系再绕固定坐标系y轴旋转900，其齐次变换为活动坐

30、标系再平移，有本讲稿第五十九页，共六十五页合成齐次变换矩阵为T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之间的距离。物理意义：物理意义：本讲稿第六十页，共六十五页上述例题坐标变换的几何表示如图所示。以上变换是相对固定坐标系进行的，这里尤其需要注意

31、的是变换次序不能随意调换，因为矩阵的乘法不满足交换率，例如Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(y,90)Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)Rot(z,90)Rot(y,90)本讲稿第六十一页，共六十五页上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以相对于动坐标系进行变换：初始与固定坐标系相重合，首先相对于固定坐标系平移；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为坐标系本讲稿第六十二页，共六十五页绕动坐标系变换的几何表示 结论：结论：若每次的变换是相对于固定坐标系进行的，则矩阵左乘；若每次的

32、变换是相对于动坐标系进行的，则矩阵右乘。本讲稿第六十三页，共六十五页上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以相对于动坐标系进行变换：初始与固定坐标系相重合，首先相对于固定坐标系平移；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为坐标系本讲稿第六十四页，共六十五页3.设活动坐标系与固定坐标系初始位置重合，经下列坐标变换(1)绕固定坐标系y轴旋转45；(2)然后后绕z轴旋转45(3)最后沿X轴平移4个单位，再沿Y轴平移3个单位，最后沿Z轴平移4个单位。试求合成齐次坐标变换矩阵T?作业：作业：1.绕y轴旋转的坐标变换矩阵的坐标变换矩阵2.绕x轴旋转修改:P39式（3-23）本讲稿第六十五页，共六十五页