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1、第三章概率及概率分布本讲稿第一页，共六十九页第一节第一节 概率基础知识概率基础知识一、概念一、概念事件事件event：每种可能出现的情况称为事件。它是指事物每种可能出现的情况称为事件。它是指事物发生某种情况或试验中获得某种结果。发生某种情况或试验中获得某种结果。频率：频率：事件在事件在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了m次，其比值次，其比值m/n称为事件在称为事件在n次试验中出现的频率记为次试验中出现的频率记为W(A)=m/n特点：频率是介于特点：频率是介于0和和1之间的一个数，即：之间的一个数，即：W(A)大于大于0而小于而小于1本讲稿第二页，共六十九页二、事件之间的关系二、事件之间的关

2、系必然事件必然事件：客观事物中，有些现象或试验结果：客观事物中，有些现象或试验结果在一定条件下一定发生的事件。在一定条件下一定发生的事件。不可能事件不可能事件：客观事物中，有些现象或试验结：客观事物中，有些现象或试验结果在一定条件下一定不发生的事件。果在一定条件下一定不发生的事件。随机事件或偶然事件随机事件或偶然事件：客观事件中，有些现象：客观事件中，有些现象或试验结果在一定条件下可能发生也可能不或试验结果在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。发生的事件。本讲稿第三页，共六十九页概率概率概率probability：就是用来度量每一事件出现的可能性大小的数字特就是用来度量每一事件出现的可能性大

3、小的数字特征。记为征。记为P(A)=p当当n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率作为事件发生的频率作为事件A发生的概率发生的概率p的近似值为的近似值为P(A)=pm/n 概率的基本性质：概率的基本性质：v任何事件的概率都在任何事件的概率都在0和和1之间之间v必然事件的概率等于必然事件的概率等于1v不可能事件的概率等于不可能事件的概率等于0本讲稿第四页，共六十九页 频率和概率是不相同的，只有当试验次数无限增大时，任一事频率和概率是不相同的，只有当试验次数无限增大时，任一事件的频率趋于稳定，这时频率又称统计概率这时的频率和概率才件的频率趋于稳定，这时频率又称统计概率这时的频率和概率才是一样的是

4、一样的调查株数调查株数（n）受害株数受害株数（a）植株受害频率植株受害频率（a/n）0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352本讲稿第五页，共六十九页1 和事件：和事件：事件事件A与事件与事件B至少有一个发生，这一新事件称为事件至少有一个发生，这一新事件称为事件A与与事件事件B的和，记作的和，记作“A+B”。2 积事件：积事件：事件事件A与事件与事件B同时发生，这一新事件称为事件同时发生，这一新事件称为事件A与事件与事件B的积，记作的积，记作“AB”。3 互斥事件互斥事件 如果事件如果事件A与事件与事件B不能同时发生，则称事件不能同时发生，则称事件A和事件

5、和事件B为为互斥事件或不相容事件。互斥事件或不相容事件。本讲稿第六页，共六十九页4 对立事件：对立事件：如果事件如果事件A和事件和事件B必发生其一，但又不能同时发生，必发生其一，但又不能同时发生，则事件则事件A和事件和事件B为对立事件。即为对立事件。即“A+B”是必然事件，是必然事件，“AB”是互斥事件。是互斥事件。5 独立事件：独立事件：若事件若事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发生的可能性，事件发生的可能性，事件B发生与否也不影响事件发生与否也不影响事件A发生的可能性，则二者为独发生的可能性，则二者为独立事件。立事件。本讲稿第七页，共六十九页例一，在掷一次骰子的试验中，有如下的一

6、例一，在掷一次骰子的试验中，有如下的一些可能发生的事件：些可能发生的事件：基本事件有基本事件有6个：个：1,2,3,4,5,6其它的事件有：其它的事件有：事件事件A得到一个奇数得到一个奇数1,3,5事件事件D得到一个不小于得到一个不小于2的数的数2,3,4,5,6事件事件B得到一个偶数得到一个偶数2,4,6事件事件C得到最大的数得到最大的数6事件事件E得到数字得到数字0本讲稿第八页，共六十九页2.事件的运算事件的运算事件的和（并）事件的和（并）事件事件A和事件和事件B的和，记为的和，记为A U B，包含，包含A和和B里的一切基本事件或元素，其意义是里的一切基本事件或元素，其意义是“A，B两事件

7、至少发生一个两事件至少发生一个”。例如：例如：A=随机抽取一名患者，测得红血球含量是随机抽取一名患者，测得红血球含量是115个个单位单位 B=随机抽取一名患者，测得红血球含量是随机抽取一名患者，测得红血球含量是1030个个单位单位事件事件A U B随机抽取一名患者，测得红随机抽取一名患者，测得红血球含量是血球含量是130个单位个单位本讲稿第九页，共六十九页事件的积事件的积 事件事件A和事件和事件B的交，记为的交，记为A B，简记为，简记为AB，包含包含A和和B共同拥有的基本事件或元素，其意义共同拥有的基本事件或元素，其意义是是“A，B两事件同时发生两事件同时发生”。例如：例如：A=随机抽取一名

8、患者，测得红血球含量是随机抽取一名患者，测得红血球含量是115个单位个单位 B=随机抽取一名患者，测得红血球含量是随机抽取一名患者，测得红血球含量是1030个单位个单位事件事件A B随机抽取一名患者，测得随机抽取一名患者，测得红血球含量是红血球含量是1015个单位个单位本讲稿第十页，共六十九页互不相容事件互不相容事件 如果如果A和和B两事件的交是不可能事件，即两事件的交是不可能事件，即 A B，则，则A和和B称为互不相容。称为互不相容。例如：在例一中，例如：在例一中，A掷骰子掷得一个奇数，掷骰子掷得一个奇数，B掷骰子掷得一个偶数，掷骰子掷得一个偶数，则则A B,即即A和和B两事件互不相两事件互

9、不相容。容。本讲稿第十一页，共六十九页问题问题1：投掷一次均质的骰子所得点数为一随机变：投掷一次均质的骰子所得点数为一随机变量，求该随机变量的概率函数量，求该随机变量的概率函数v概率函数：描述随机变量取各个可能值的概率的函数。设X是某个随机变量，其概率函数可表示为：f(x)=P(X=x)v式中x为X的某个可能取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。本讲稿第十二页，共六十九页解题思路解题思路v投掷一次骰子所得点数有投掷一次骰子所得点数有 种可能，即点数为种可能，即点数为 ，由于骰子是均质的，每种结果出现的概率是相同的，即都由于骰子是均质的，每种结果出现的概率是相同的，即都为为 ，因而该随机变量的

10、概率函数为：，因而该随机变量的概率函数为：vf(x)=1/6 x=1，2，3，4，5，6v这个函数用表的形式来表示为：这样的表称为概率分布列这个函数用表的形式来表示为：这样的表称为概率分布列6161/6x123456f(x)1/61/61/61/61/61/6本讲稿第十三页，共六十九页问题问题2：独立投掷：独立投掷2次均质的骰子，所得点数之和为一次均质的骰子，所得点数之和为一随机变量，求该随机变量的概率函数随机变量，求该随机变量的概率函数本讲稿第十四页，共六十九页解题思路解题思路v投掷投掷2次骰子所得点数有次骰子所得点数有 种组合，即点数之和为种组合，即点数之和为 ，由于骰子是均质的，每种组合

11、出现的概率是相同的，由于骰子是均质的，每种组合出现的概率是相同的，即都为即都为 ，因而该随机变量的概率函数为：，因而该随机变量的概率函数为：vf(x)=P(x1+x2=x)=nx/36 x=212v式中：式中：x1和和x2分别为第一次投掷和第二次所投掷的点分别为第一次投掷和第二次所投掷的点数；数；nx为为2次投掷点数之和为次投掷点数之和为 x的组合数的组合数362121/36本讲稿第十五页，共六十九页v该概率函数的概率分布列该概率函数的概率分布列为：为：x234567f(x)1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36x89101112f(x)5/36 4/36 3/36 2/3

12、6 1/36本讲稿第十六页，共六十九页三三.概率的计算概率的计算一个事件A的概率，记为P（A），是事件A发生的可能性的定量计量。概率的三个性质：概率的三个性质：（1 1）任何事件概率均满足）任何事件概率均满足 0P(A)1P(A)1（2 2）必然事件的概率为）必然事件的概率为1 1（3 3）不可能事件的概率为）不可能事件的概率为0 0，即，即P(P()0 0注意：计算概率时，结果为注意：计算概率时，结果为5或或0.3时肯定是错误的。时肯定是错误的。本讲稿第十七页，共六十九页四、计算概率的法则四、计算概率的法则法法则则1：互互斥斥事事件件的的加加法法：假假定定两两互互斥斥事事件件的的概概率率分分

13、别别为为P（A）和和P（B）。则则事事件件A与与B的的和和事事件件的的概概率率等等于于事事件件A的的概概率率与与事事件件B的的概概率率之之和和，即即 P(A+B)=P(A)+P(B)。加加法法定定理理对对于于多多个个两两两两互斥的事件也成立。互斥的事件也成立。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)。推理推理1：完全事件系的概率：完全事件系的和事件概率：完全事件系的概率：完全事件系的和事件概率 等于等于1。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)=1。推理推理2：对立事件的概率：对立事件的概率互补。若事件：对立事件的概率：对立事件的概率互补。若事件A的概率的概率为为P（A），那么其

14、对立事件的概率为），那么其对立事件的概率为 因为本讲稿第十八页，共六十九页法则法则2：独立事件的乘法：假定P（A）和P（B）是两个独立事件A与B 各自出现的概率，则事件A与B同时出现的概率就等于两独立事件出现概率的乘积，即 ，乘法定理对于n个相互独立的事件也成立，即 推理推理1：若n个事件A、B、N彼此独立，且当P(A)=P(B)=P(N)时，则P(ABN)=P(A)n。推理推理2：非独立事件的乘法：如果事件A和B是非独立的，那么事件A与B同时发生的概率为事件A的概率P（A）乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率P（B/A），即（）（）（）本讲稿第十九页，共六十九页 概率的求法两种途径：（1）

15、统计方法（适用于进行了大量试验时）：假设试验共进行k次，事件A出现了l次，则事件A发生的频率是l/k。随着k的增大，频率l/k趋于一个常数p，那么p就是事件A发生的概率。例如：如何求一个人某年中被闪电击中的概率？中国1.1109人中，在2005年被闪电击中的人数为3300人，则某人被闪电击中的概率为3300/1.1109=310-6。本讲稿第二十页，共六十九页（2）理论方法（适用于可以进行数学推算，在试验的每个基本事件等可能时）：例如：A掷骰子得到一个奇数1,3,5的概率为P(A)=m/n=3/6=1/2本讲稿第二十一页，共六十九页5.概率的一般运算法则概率的一般运算法则可以帮助我们计算一些复

16、杂事件，或称为复合事件的概率。所谓复合事件就是由几个事件形成的。例如AUB，AUBUC，ABUC等等。加法法则P(AUB)P(A)P(B)P(AB)本讲稿第二十二页，共六十九页如果A，B不相容，则有P(AUB)P(A)P(B)条件概率法则条件概率P(A|B)指的是在已知事件B已发生的条件下，事件A发生的概率乘法法则 本讲稿第二十三页，共六十九页例二，一个袋子里放有10个男人和15个女人的姓名纸条。法官从袋子里依次抽出两个姓名。有两种可能的抽样方法：（1）非放回式抽样，（2）放回式抽样。求每种方法下两个姓名均为男性的概率解：（1）非放回式抽样：任何东西抽出后就不再被放回去本讲稿第二十四页，共六十

17、九页（2）放回式抽样：任何东西被抽出后，在实行下一次的抽取前被放回去本讲稿第二十五页，共六十九页v独立事件若事件A的发生，并不影响事件B发生的概率，即P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A)，我们称A和B互相独立性质：如果A和B互相独立，那么P(AB)=P(A)P(B)本讲稿第二十六页，共六十九页（2）概率分布表：列出变量的每个值及其概率。譬如，掷一次骰子的概率分布表为xP(x)11/621/631/641/651/661/6本讲稿第二十七页，共六十九页二 频率与概率v对于随机事件，在一次试验中其发生与否带有很大对于随机事件，在一次试验中其发生与否带有很大的偶然性，要研究其发生的规律性，

18、就必须进行大的偶然性，要研究其发生的规律性，就必须进行大量的重复观察或试验。若随机事件量的重复观察或试验。若随机事件A在在n次试验中发次试验中发生了生了m次，则比值次，则比值m/n为为n次试验中随机事件次试验中随机事件A发生发生的频率。的频率。v概率的定义：在相似条件下，重复进行同一类试验，事件概率的定义：在相似条件下，重复进行同一类试验，事件A发生的频率发生的频率m/n，随着试验总次数，随着试验总次数n的逐渐增加，愈来愈的逐渐增加，愈来愈稳定于一个定值稳定于一个定值p，这个定值，这个定值p称事件称事件A的概率，记为：的概率，记为：P(A)=pm/nv概率是描述随机事件发生可能性大小的数量指标

19、，概率是描述随机事件发生可能性大小的数量指标，对随机事件，有对随机事件，有0P(A)1。本讲稿第二十八页，共六十九页第二节 概率分布1.随机变量随机变量：就是随机试验中被测的量。例如：（1）测量一定条件下生长的小麦的株高。小麦株高是随机变量（2）从1000只动物（雌雄各半）的群体，放回式抽样，每次抽取10只，记录其中雄性的个数。设10只动物中雄性的个数为X，则X就是一个随机变量。随机变量的取值有随机性。随机变量所有可能值的分布规律称为概率分布概率分布。本讲稿第二十九页，共六十九页随机变量能帮助我们深入理解总体和样本的概念，使总体和样本的关系更加明确。随机变量的引入使统计学的深入研究成为可能。随

20、机变量与总体和样本的关系总体：随机变量可能取值的全体样本：随机变量的n个独立观察值例如在研究一定条件下生长的小麦的株高时，总体是所有在这种条件下生长的小麦的株高的全体，也就是小麦株高这个随机变量的所有可能的取值。假如获得了200株小麦株高数据的样本，样本也就是小麦株高这个随机变量的200次独立观测值。本讲稿第三十页，共六十九页随机变量一般用大写字母来表示，如X，Y，U等。变量的观测值一般用小写字母来表示，如xi，yi，ui等表示随机变量X，Y，U的第i次观测值。注意：在第一章里，我们已经使用了这样的符号，样本表示为x1，x2，xn本讲稿第三十一页，共六十九页变量的类型（1）离散型变量：取值有限

21、个或可数无穷个孤立的数值。譬如：a，掷一次骰子得到的数 b，一只母鸡一周里下的蛋数（2）连续型变量：可能取值为某范围（或某区间）内的任何值。可能取的值间不存在间隙。譬如：a，小麦株高 b，奶牛产奶量本讲稿第三十二页，共六十九页2.概率分布变量的概率分布描述该变量的所有值的分布的规律，也就是变量对应的总体的分布。概率分布总体的值的分布频数分布样本的值的分布本讲稿第三十三页，共六十九页2.1 离散型概率分布离散型概率分布也就是一个函数或表，它定义了这个离散变量的所有值对应的概率：本讲稿第三十四页，共六十九页（2）概率分布表：列出变量的每个值及其概率。譬如，掷一次骰子的概率分布表为xP(x)11/6

22、21/631/641/651/661/6本讲稿第三十五页，共六十九页2.2 连续型概率分布连续型变量的一个特征是取的值非常多（不可数），无法象离散型变量那样对每一个值赋予一个概率。所以，在研究连续型变量时，我们不研究它取每个值的概率，即P（Xx），而是研究x在一个区间x1,x2内的概率即为图3-2中阴影部分的面积，这一面积可表示为函数f(x)的积分。具体来说，有三种形式：P（x1Xx2）P（Xx2）本讲稿第三十六页，共六十九页在研究连续型变量概率时，“”,“”均可相应换成“”,“”，而概率数值不变。P（x1Xx2）P（x1 X x2）P（Xx2）P（Xx2）问题：怎样求这三种概率？问题：怎样求

23、这三种概率？答：借助于密度函数f(x)曲线（或称概率分布密度曲线）本讲稿第三十七页，共六十九页v每个连续型变量都有它自己的密度函数曲线。f(x)的图形密度函数曲线总在x轴的上方，且曲线下的总面积等于1。本讲稿第三十八页，共六十九页本讲稿第三十九页，共六十九页v一个术语：分布函数或称累积分布函数，是随机变量X取得小于x0的值的概率。F(x0)本讲稿第四十页，共六十九页在分布函数已知的情况下，概率也可以通过分布函数来求。本讲稿第四十一页，共六十九页三 小概率事件实际不可能性原理 概率表示随机事件在一次试验中发生的可能性大小。若事概率表示随机事件在一次试验中发生的可能性大小。若事件件A发生的概率很小

24、，如小于发生的概率很小，如小于0.05或或0.01,则称事件则称事件A为小为小概率事件。概率事件。小概率事件不是不可能事件，但在一次试验中发生的小概率事件不是不可能事件，但在一次试验中发生的可能性很小，以至于人们看作是不可能事件，这种把可能性很小，以至于人们看作是不可能事件，这种把小概率事件在一次试验中人为地看作是不可能事件，小概率事件在一次试验中人为地看作是不可能事件，称为称为“小概率事件实际不可能性原理小概率事件实际不可能性原理”。该原理是统计假设测验的基本原理。该原理是统计假设测验的基本原理。本讲稿第四十二页，共六十九页第二节 几种常见的理论分布v一一 二项分布二项分布v（一）（一）二项

25、分布的含义二项分布的含义v二项总体：这种非此即彼事件所构成的总体二项总体：这种非此即彼事件所构成的总体称为二项总体。称为二项总体。v在二项总体中，若在二项总体中，若“此事件此事件”的概率记为的概率记为p，则则“彼事件彼事件”的概率记为的概率记为1p。本讲稿第四十三页，共六十九页解：事件A孩子性别为两男男男所有可能的基本事件有：男男男女女男女女所以P(A)=m/n=1/4两个孩子的家庭里，孩子性别为两男的概率是多少？同理，孩子性别为一男一女的概率是2/4=1/2注意：在生物统计学里，我们着重于讨论理论方法。本讲稿第四十四页，共六十九页v从二项总体中随机抽取从二项总体中随机抽取n个个体，若属于个个

26、体，若属于“此事件此事件”的个体为的个体为x个，则属于个，则属于“彼事件彼事件”的个体为的个体为nx个。在每一次抽样中，随机变个。在每一次抽样中，随机变数数x的取值范围为的取值范围为0，1，2，n，共，共n+1种，种，x的这的这n+1种取值各有其概率，这些概率种取值各有其概率，这些概率的分布称为二项分布。的分布称为二项分布。v在生物科学试验中，存在着大量的非此即彼在生物科学试验中，存在着大量的非此即彼的事件，其规律性多数都可以用二项分布来的事件，其规律性多数都可以用二项分布来描述，所以二项分布是最常见的离散性随机描述，所以二项分布是最常见的离散性随机变量的概率分布。变量的概率分布。本讲稿第四十

27、五页，共六十九页v要描述一个总体，其本平均数和标准差（或方差）是最重要的参数。对二项总体，其平均数np,方差2npq,标准差 。本讲稿第四十六页，共六十九页v（二）二项分布的概率函数及计算（二）二项分布的概率函数及计算v在二项总体中，如果在一次试验中事件在二项总体中，如果在一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么在，那么在n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A恰好发生恰好发生x次的概率为：次的概率为：这是二项分布的概率密度函数式，式中：这是二项分布的概率密度函数式，式中：为为n次试验中事件次试验中事件A发生发生x次的概率；次的概率；x=0,1,2,n；本讲稿第四十七页，共六十九页

28、问题：播种玉米时，每穴播种两粒种子，已知玉问题：播种玉米时，每穴播种两粒种子，已知玉米种子的发芽率为米种子的发芽率为0.9，试求：，试求：1、两粒种子都发芽的概率；两粒种子都发芽的概率；2、一粒种子发芽的概率；、一粒种子发芽的概率；3、两粒种子都不发芽的概率；、两粒种子都不发芽的概率；4、至少有一粒种子发芽的概率、至少有一粒种子发芽的概率5、至多有一粒种子发芽的概率、至多有一粒种子发芽的概率本讲稿第四十八页，共六十九页解题思路v种子发芽与不发芽互为独立事件，可用概率种子发芽与不发芽互为独立事件，可用概率的加法、乘法定理直接计算的加法、乘法定理直接计算v或用二项分布函数公式进行计算或用二项分布函

29、数公式进行计算v设种子发芽为事件设种子发芽为事件A，不发芽为事件，不发芽为事件A,则有则有p=0.9,q=1-0.9=0.1本讲稿第四十九页，共六十九页参考答案参考答案v1、0.81v2、0.18v3、0.01v4、0.99v5、0.19本讲稿第五十页，共六十九页二 正态分布v正态分布是连续性变数的一种理论分布，许多生正态分布是连续性变数的一种理论分布，许多生物学领域的随机变量都服从正态分布，因此，它物学领域的随机变量都服从正态分布，因此，它是生物统计的重要基础。是生物统计的重要基础。v与二项分布一样，正态分布也有其概率密度函数：与二项分布一样，正态分布也有其概率密度函数：v正态分布概率密度函

30、数的图像称作正态分布曲线开正正态分布概率密度函数的图像称作正态分布曲线开正态概率曲线。态概率曲线。本讲稿第五十一页，共六十九页（一）正态分布曲线的特征v由正态分布曲线图可以看出它有以下特征：由正态分布曲线图可以看出它有以下特征：v（1）正态分布曲线是中间高、两边低，而且对称的光）正态分布曲线是中间高、两边低，而且对称的光滑曲线，曲线最高峰在平均数处，越是接近平均数的滑曲线，曲线最高峰在平均数处，越是接近平均数的组变量分布的次数越多，离平均数越远，分布的次数组变量分布的次数越多，离平均数越远，分布的次数越少。越少。v（2）正态分布曲线因总体平均数和标准差的不同呈现为）正态分布曲线因总体平均数和标

31、准差的不同呈现为不同的曲线，所以它不是一条曲线，而是一个曲线系统。不同的曲线，所以它不是一条曲线，而是一个曲线系统。正态分布可用符号正态分布可用符号N（，）表示，不同的）表示，不同的和和，则有，则有不同的曲线，因此正态分布曲线是一系列的曲线。不同的曲线，因此正态分布曲线是一系列的曲线。本讲稿第五十二页，共六十九页（二）正态分布的标准化v正态分布的标准化，是将观测值正态分布的标准化，是将观测值x的离均差的离均差（x）以标准差）以标准差为单位进行度量，所为单位进行度量，所得的随机变数称为得的随机变数称为u，即：，即：v随机变数随机变数u也服从正态分布，且平均数也服从正态分布，且平均数0,标准差标准

32、差1。统计学上把。统计学上把0,1的的正态分布称为标准正态分布，记作正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1)。标准正态分布只有一条曲线。标准正态分布只有一条曲线。本讲稿第五十三页，共六十九页（三）正态分布的概率计算v1 利用计算机软件：利用计算机软件：Excelv2 利用标准正态分布累积函数值表利用标准正态分布累积函数值表 例63：（教材P70）例64：（教材P70）例65：（教材P71）本讲稿第五十四页，共六十九页习题v现有一变量x服从N(30,25),试计算vP(x26)vP(x40)vP(26x40)本讲稿第五十五页，共六十九页解题思路v已知该正态分布的平均数已知该正态分布的平均数=3

33、0，方差，方差 2=25,得标准差得标准差=5.v首先将该正态分布标准化首先将该正态分布标准化vU26=(26-30)/5=-0.8 vU40=(40-30)/5=2本讲稿第五十六页，共六十九页v查F(u)值表vP(x26)=P(u-0.8)=F(u=-0.8)=0.2119vP(x40)=P(u2)=F(u=2)=0.97725vP(26x40)=P(-0.8u40)=P(u2)=1-F(u=2)=1-0.97725=0.02275本讲稿第五十七页，共六十九页v复习正态分布复习正态分布N（，2）的标准化转化）的标准化转化N(0,1)：在北方某一地区调查果园桃小冬茧情况，以在北方某一地区调查果

34、园桃小冬茧情况，以1m2为单位，调查了为单位，调查了2000m2，得，得4.5（头），（头），2.4（头）。现随机抽取该地（头）。现随机抽取该地区一块果园区一块果园,问平均每平方米少于问平均每平方米少于4.2头的概率是多少？头的概率是多少？(P(x4.2)尽管总体分布不明确，但尽管总体分布不明确，但n30,便可视其服从正态分布，则进行标准便可视其服从正态分布，则进行标准化转化：化转化：U4.2=(4.2-4.5)/2.4=-0.13查附表得查附表得F(-0.13)=0.4483,即即P(x4.2)=0.4483，也就是说，随机抽取，也就是说，随机抽取该地区一块果园该地区一块果园，平均每平方米少

35、于，平均每平方米少于4.2头的概率是头的概率是0.4483（即（即44.83%）。）。本讲稿第五十八页，共六十九页v例题：例题：在北方某一地区调查果园桃小冬茧情况，以在北方某一地区调查果园桃小冬茧情况，以1m2为单位，调查了为单位，调查了2000m2，得，得4.5（头），（头），2.4（头）。现随机抽取该地（头）。现随机抽取该地区一块果园区一块果园36m2,问平均每平方米少于问平均每平方米少于4.2头的概率是多少头的概率是多少？尽管总体分布不明确，但尽管总体分布不明确，但n30,便可视其服从正态分布，则：便可视其服从正态分布，则：查附表得查附表得FN(-0.75)=0.2266,即即P(x4.

36、2)=0.2266，也就是说，随机抽，也就是说，随机抽取该地区一块果园取该地区一块果园36m2，平均每平方米少于，平均每平方米少于4.2头的概率是头的概率是0.2266（即（即22.66%）。）。本讲稿第五十九页，共六十九页 第三节 抽样分布 v在统计学中，最主要的问题就是研究总体与从总体中抽在统计学中，最主要的问题就是研究总体与从总体中抽出的样本两者的相互关系。总体与样本的关系可以从两出的样本两者的相互关系。总体与样本的关系可以从两个方向来研究，一个方向是从总体到样本，主要研究从个方向来研究，一个方向是从总体到样本，主要研究从总体中抽出的随机样本统计数以千计的概率分布及其与总体中抽出的随机样

37、本统计数以千计的概率分布及其与原总体的关系，即原总体的关系，即抽样分布问题抽样分布问题。另一个方向是从。另一个方向是从样本到总体，主要研究从一个样本或一系列样本所得样本到总体，主要研究从一个样本或一系列样本所得的统计数去推断总体的参数，即的统计数去推断总体的参数，即统计推断问题统计推断问题。抽样分布是统计推断的基础。抽样分布是统计推断的基础。本讲稿第六十页，共六十九页v值得指出的是抽样分为复置抽样和不复置抽值得指出的是抽样分为复置抽样和不复置抽样，前者指在每次抽样时将抽得的个体放回样，前者指在每次抽样时将抽得的个体放回总体后再抽样的方法，后者指在每次抽样时总体后再抽样的方法，后者指在每次抽样时

38、抽得的个体不放回总体而再抽样的方法。讨抽得的个体不放回总体而再抽样的方法。讨论抽样分布时考虑的是复置抽样方法。论抽样分布时考虑的是复置抽样方法。本讲稿第六十一页，共六十九页一 样本平均数的抽样分布假定有一总体，其总体平均数为假定有一总体，其总体平均数为，总体标准，总体标准差为差为。从这一总体中以相同的样本容量。从这一总体中以相同的样本容量n无无数次抽样，可得到无数个样本，分别计算出数次抽样，可得到无数个样本，分别计算出各样本的平均数：、各样本的平均数：、。由于存在抽样。由于存在抽样误差，样本平均数是随机变数，各样本平均误差，样本平均数是随机变数，各样本平均数将表现出不同程度的差异，无数个样本平

39、数将表现出不同程度的差异，无数个样本平均数又构成一个总体，称为均数又构成一个总体，称为样本平均数总体样本平均数总体，样本平均数的分布称为样本平均数的分布称为样本平均数的抽样分样本平均数的抽样分布布。本讲稿第六十二页，共六十九页v根据统计理论和实例证明，样本平均数的分根据统计理论和实例证明，样本平均数的分布具有以下特性：布具有以下特性：1 样本平均数的总体平均数与原总体平均数相等。样本平均数的总体平均数与原总体平均数相等。2 样本平均数的总体方差等于原总体方差除以样样本平均数的总体方差等于原总体方差除以样本容量。同理，样本平均数的总体标准差等于原本容量。同理，样本平均数的总体标准差等于原总体标准

40、差除以样本容量的平方根。总体标准差除以样本容量的平方根。3 若从正态总体中随机抽取样本，无论样本容量若从正态总体中随机抽取样本，无论样本容量大小，其样本平均数的分布服从正态分布，若从大小，其样本平均数的分布服从正态分布，若从非正态分布本中随机抽取样本，只要样本容量较非正态分布本中随机抽取样本，只要样本容量较大（大（n30）,其样本平均数也服从正态分布，这其样本平均数也服从正态分布，这称为中心极限定理。称为中心极限定理。4 由于总体标准差一般是不易求得的，而以样本由于总体标准差一般是不易求得的，而以样本标准差估计总体标准差进行计算。标准差估计总体标准差进行计算。本讲稿第六十三页，共六十九页v例题

41、：例题：在北方某一地区调查果园桃小冬茧情况，以在北方某一地区调查果园桃小冬茧情况，以1m2为单位，调查了为单位，调查了2000m2，得，得4.5（头），（头），2.4（头）。现随机抽取该地（头）。现随机抽取该地区一块果园区一块果园36m2,问平均每平方米少于问平均每平方米少于4.2头的概率是多少？头的概率是多少？尽管总体分布不明确，但尽管总体分布不明确，但n30,便可视其服从正态分布，则：便可视其服从正态分布，则：查附表得查附表得FN(-0.75)=0.2266,即即P(x4.2)=0.2266，也就是说，随机抽，也就是说，随机抽取该地区一块果园取该地区一块果园36m2，平均每平方米少于，平均

42、每平方米少于4.2头的概率是头的概率是0.2266（即（即22.66%）。）。本讲稿第六十四页，共六十九页二 样本平均数差数分布v根据统计理论和实例证明，样本平均数差数的分布根据统计理论和实例证明，样本平均数差数的分布具有以下特性：具有以下特性：1 样本平均数差数的总体平均数等于两总体平均数之差。样本平均数差数的总体平均数等于两总体平均数之差。2 样本平均数差数的总体方差等于两总体的样本平均数的总体方样本平均数差数的总体方差等于两总体的样本平均数的总体方差之和。同理，样本平均数差数的总体标准差等于两总体的样差之和。同理，样本平均数差数的总体标准差等于两总体的样本平均数的总体方差之和的平方根。本

43、平均数的总体方差之和的平方根。3 若两个总体各呈现正态分布，则其样本平均数的差数分布也呈若两个总体各呈现正态分布，则其样本平均数的差数分布也呈正态分布。正态分布。4 由于总体方差是难以求得的，用样本方差来估计总体方差由于总体方差是难以求得的，用样本方差来估计总体方差进行计算。进行计算。本讲稿第六十五页，共六十九页三 二项总体的抽样分布v（一）二项总体的分布参数（一）二项总体的分布参数 v（二）二项成数（百分数）抽样分布（二）二项成数（百分数）抽样分布v（三）二项次数抽样分布（三）二项次数抽样分布本讲稿第六十六页，共六十九页三 t分布总体标准差未知时总体标准差未知时，需用样本标准差来估计，总体标

44、准差，需用样本标准差来估计，总体标准差需用样本标准差来估计，即需用样本标准差来估计，即S估计估计、S 估计估计，则，则/不服从不服从u分布，而服从分布，而服从t分布分布 本讲稿第六十七页，共六十九页三 t分布分布具有以下特征：分布具有以下特征：(1)t分布曲线是左右对称的，围绕平均数向两边递降分布曲线是左右对称的，围绕平均数向两边递降;(2)t分布受自由度分布受自由度dfn一一1的制约，每个自由度都有一条分布曲线的制约，每个自由度都有一条分布曲线;(3)和正恋分布相比，和正恋分布相比，t分布的顶部偏低，尾部偏高自由度分布的顶部偏低，尾部偏高自由度df30时，其曲线时，其曲线就比较接近正态分布曲线，当就比较接近正态分布曲线，当n无穷大时，和正态分布曲线重合无穷大时，和正态分布曲线重合(4)和正态分布一样，和正态分布一样，t分布曲线与横坐标所围成的面积也等于分布曲线与横坐标所围成的面积也等于l 本讲稿第六十八页，共六十九页v四四 卡平方分布卡平方分布v五五 F分布分布本讲稿第六十九页，共六十九页