2023届高考数学压轴小题11 数列与函数、不等式相结合问题含答案.pdf

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1、1/662023 届高考数学压轴小题 11 数列与函数、不等式相结合问题数列与函数、不等式相结合问题一方法综述一方法综述数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略二解题策略类型一类型一数列与不等式数列与不等式1.11.1 数列数列与与基本基本不等式不等式【

2、例 1】某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_【答案】10【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以 2 为首项，2 为公差的等差数列，故第 n 年的维护费为：an=2+2（n1）=2n，总的维护费为：222nn=n（n+1）故年平均费用为：y=1000.51nn nn，即 y=n+100n+1.5，（n 为正整数）；由基本不等式得：y=n+100n+1.52100nn+1.5=21.5（万元

3、）当且仅当 n=100n，即 n=10 时取到等号，即该企业 10 年后需要更新设备故答案为：10（2020广东高三）已知数列 na是各项均为正数的等比数列，nS为数列 na的前n项和，若2233SaS，则423aa的最小值为（）2/66A9B12C16D18【答案】D【解析】由2233SaS得232333aSSa，所以2111233,01a qa qaqqq.所以423aa323112333331qqqa qa qqqq2121431qqq 43161qq43 216181qq.当且仅当41311qqq 时取得最小值.故选：D【指点迷津】【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式

4、的相关性质，等比数列的通项公式是本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项等比中项，基本不等式有基本不等式有，考查公式的使用考查公式的使用，考查考查化归与转化思想化归与转化思想.【举一反三】1.（2020 山东省济宁市模拟）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为【答案】【解析】因为数列是正项等比数列，所以，所以，因为，所以，当且仅当时“=”成立，所以的最小值为.2（2020江苏扬州中学）已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13成等比数列，若 a1=1，Sn为数列an3/66的前 n 项和，则2163nnSa的最小值为【答案】4

5、【解析】a1，a3，a13成等比数列，a1=1，a32=a1a13，（1+2d）2=1+12d，d0，解得 d=2an=1+2（n-1）=2n-1Sn=n+12n n2=n22163nnSa=221622nn=2(1)2191nnn=n+1+91n-22911nn-2=4，当且仅当 n+1=91n时取等号，此时 n=2，且2163nnSa取到最小值 4，1.21.2 数列数列中的恒成立问题中的恒成立问题【例 2】（2020四川双流中学）已知定义域为 的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前 n 项和为，若对任意的正整数 n 均成立，则实数 的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】运

6、用二次函数的最值和指数函数的单调性求得 x0，2）时 f（x）的最大值，由递推式可得an是首项为，公比为 的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得 k 的范围【详解】当 x0，2）时，所以函数 f(x)在0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当 0 x1 时，f（x）的最大值为 f（）；4/661x2 时，f（x）的最大值为 f（）1，即有 0 x2 时，f（x）的最大值为,即首项，由可得可得an是首项为，公比为 的等比数列，可得 Sn，由 Snk 对任意的正整数 n 均成立，可得 k 故选：B【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值

7、的问题求解【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解；【举一反三】1.（2020 安徽省毛坦厂中学）已知等差数列满足，数列满足，记数列的前 项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.5/66设，则，即，解得或.故选:A.2.（2020江苏高三模拟）设等差数列 na的前 n 项和为nS，若不等式2221222(1)nnSaman对任意正整数 n都成立，则实数 m 的取值范围是（）A1,2B1 1,5 2C1,5D1,3【答案】D【解析

8、】【分析】令(2)ndt,由222222122222213()(2)43(1)22nnSaatatta tan，当243at 时，取得最小值，由此能求出结果.【详解】2212222122122(1)2(1)22(2)(2)2(1)(1)2nnn na ndSnaandandadnn22221(2)2(2)2andand,令(2)ndt，则222222122222213()(2)43(1)22nnSaatatta tan，当243at 时，取最小值2213a，即23(42)nda，2423and，因为不等式2221222(1)nnSaman对任意正整数 n 都成立，当20a，所以13m，当20a

9、 时，mR，综上13m.故选：D1.31.3 数列中的最值数列中的最值问题问题【例 3】（2020浙江高三期末）已知数列 na中，12a，若21nnnaaa，设6/661212222111mmmaaaSaaa，若2020mS，则正整数m的最大值为（）A1009B1010C2019D2020【答案】B【解析】21nnnaaa,12a 0na,210nnnaaa,即数列 na为单调增数列,1(+16nnnaa a）,即111111(+1+16nnnnnaa aaa）,1111+1nnnaaa,212(1)11mmmaaa1212222111mmmaaaSaaa121112(1)2(1)2(1)11

10、1maaa1211122()111mmaaa1312211111122()mmmaaaaaa111122()mmaa1221+mma223m2020mS,2220203m,即110103m,正整数m的最大值为 1010,故选:B.【指点迷津【指点迷津】本题本题利用数列的递推公式利用数列的递推公式,确定确定数列的单调性数列的单调性，再根据范围求正整数再根据范围求正整数 的最小值的最小值.在解题时需要在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列确定数列单调性是解题的关键单调性是解题的关键【举一反三】7/661（2020湖南高三月考）数列 na满足1111nn

11、naan,且601a记数列 na的前 n 项和为nS,则当nS取最大值时 n 为（）A11B12C11 或 13D12 或 13【答案】C【解析】【分析】分n的奇偶讨论数列 na的奇偶性分别满足的条件,再分析nS的最大值即可.【详解】由题,当n为奇数时,1111nnnaan,1211111nnnaan.故 1211111111 211nnnnnaann .故奇数项为公差为 1 的等差数列.同理当n为偶数时,21 213nnnaa .故偶数项为公差为-3 的等差数列.又601a即2206167aa.又12111 119aa .所以123a.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n的增大由正变负.故

12、当nS取最大值时 n 为奇数.故 n 为奇数且此时有 11121111100011110nnnnnnnaaaan ,解得1113n.故11n 或13n.故选：C2.（2020 浙江省湖州三校）已知数列满足，则使的正整数 的最小值是（）A2018B2019C2020D2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时,当时,所以当时，8/66从而,因此,选 C.类型类型二二数列与函数的综合数列与函数的综合问题问题【例 4】（2020上海中学高三）已知函数 yf x为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数()(3)g xf xx，数列 na为等差数列，且公差不为

13、 0，若12927g ag ag a，则129aaa（）A18B9C27D81【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（x）+f（x）0，又由 g（x）f（x3）+x 且 g（a1）+g（a2）+g（a9）27，可得 f（a13）+f（a23）+f（a93）+（a1+a2+a9）27，结合等差数列的性质可得 f（a15）f（a95）f（5a9），进而可得 a155a9，即 a1+a910，进而计算可得答案【详解】根据题意，函数 yf（x）为定义域 R 上的奇函数，则有 f（x）+f（x）0，g（x）f（x3）+x，若 g（a1）+g（a2）+g（a9）27，即 f（a13）+

14、a1+f（a23）+a2+f（a93）+a927，即 f（a13）+f（a23）+f（a93）+（a1+a2+a9）27，f（a13）+f（a23）+f（a93）+（a13+a23+a93）0，又由 yf（x）+x 为定义域 R 上的奇函数，且在 R 上是单调函数，且（a13）+（a93）（a23）+（a83）2（a53），a530，即 a1+a9a2+a82a56，则 a1+a2+a99a527；故选：C【指点迷津】【指点迷津】(1)(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

15、(2)2)在研究函数性质特别是奇偶性在研究函数性质特别是奇偶性、周期周期、对称性对称性、单调性单调性、最值最值、零点时零点时，要注意用好其与条件的相互关要注意用好其与条件的相互关系系，结合特征进行等价转化研究结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可如奇偶性可实现自变量正负转化实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化周期可实现自变量大小转化，单调性可单调性可9/66实现去实现去“f f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.【举一反三】1.（2020湖南模拟）已知函数 yf

16、(x)的定义域为 R，当 x1，且对任意的实数 x，y，等式 f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列 na满足1af(0)，且 f(1na)1(2)nfa(nN)，则2017a的值为()A2209B3029C4033D2249【答案】C【解析】【分析】因为该题为选择题，可采用特殊函数来研究，根据条件，底数小于 1 的指数函数满足条件，可设函数为 12xf x，从而求出1a，再利用题目中所给等式可证明数列 na为等差数列，最后利用等差数列定义求出结果。【详解】根据题意，可设 12xf x，则 101af，因为112nnf anNfa，所以121122nnaa，所以12nnaa，所以数列 na数以

17、 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以21nan，所以20174033a，故选 C。2已知定义在实数集R上的函数 fx满足 2112fxfxfx，则 02017ff的最大值为A212B212C12D32【答案】B【详解】由题设可得221(1)()()2f xf xfx，即22111(1)()242f xf x，由此可得2211(2)()22f xf x，则(2)()f xf x或(2)()1f xf x，又11(2)0,()022f xf x，故(2)()f xf x，所以21(2017)(2015)(1)(0)(0)2fffff，则21(2017)(0)(0)(0)(0)2fffff，10

18、/66令(0)ft，则21(2017)(0)()2ffh tttt，因为/21 2()12th ttt，所以令/21 2()102th ttt 可得极值点为224t，故当224t时，2211()1428h t；当224t时，22112()14282h t，且13(0),(1)22hh，所以max2()12ht ，即 02017ff的最大值为212，应选答案 B【指点迷津】【指点迷津】本题的求解思路是依据题设中所提供的条件信息“定义在实数集R上的函数 f x满足 2112fxfxfx”，并对这个递推的等式运用演绎推理的思维模式，将其巧妙地转化为2211(2)()22f xf x，然后再借助题设推

19、得(2)()f xf x，从而求出21(2017)(1)(0)(0)2ffff，明确目标21(2017)(0)(0)(0)(0)2fffff是以为(0)0,1f变量的函数，最后借助导数求出其所有极值，则极值中最大在即为所求函数的最大值，使得问题巧妙获解本题求解过程中体现了等价转化与化归的数学思想及构建函数的建模思想，同时换元法、从一般到特殊的演绎推理的推理论证能力也得到具体运用和展示类型类型三三数列数列与其他知识综合与其他知识综合问题问题【例 5】（2020湖南衡阳市八中高三）已知函数()4sin 26f xx，430,3x，若函数 3F xf x的所有零点依次记为123,nx x xx，且1

20、23nxxxx，则1231222nnxxxxx【答案】11903【解析】函数 4sin 26fxx，令262xkkZ，可得1()23xkkZ，即函数的对称轴方程为1()23xkkZ，又()f x的周期为T，430,3x令143=233k，可得28k，所以函数在430,3x上有 29 条对称轴，11/66根据正弦函数的性质可知，122315832,2,2366nnxxxxxx（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）将以上各式相加得12312588322226666nnxxxxx2+83281190=323【指点迷津】【指点迷津】这类这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强

21、，同学们往往因为某一点知识掌握不牢题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题就导致本题“全盘皆输全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.【举一反三】1（2020上海高三）已知等差数列na（公差不为零）和等差数列 nb，如果关于x的实系数方程21291299()0 xaaa xbbb有实数解，那么以下九个方程20iixa xb（1,2,3,9i）中，无实数解的方程

22、最多有（）A3 个B4 个C5 个D6 个【答案】B【解析】设等差数列na的公差为1d不为零,等差数列 nb的公差为2d，因为关于x的实系数方程21291299()0 xaaa xbbb有实数解，所以21291294 90aaabbb ，即21919993622aabb,化简得2554ab，所以第五个方程有解.设方程2110 xa xb与方程2990 xa xb的判别式分别为1和9，则 21922191199194442aaababbb 25255524 22402abab,所以10和90 至多一个成立,同理可知,20和80 至多一个成立,30 和70 至多一个成立,40 和60 至多一个成立

23、,所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个.故选:B12/662.将向量12,na aa 组成的系列称为向量列 na，并定义向量列 na 的前n项和12nnSaaa 若*1,nnaaR nN，则下列说法中一定正确的是（）A.111nnaS B.不存在*nN，使得0nS C.对*mnN、，且mn，都有mnSS D.以上说法都不对【答案】C【解析】由*1,nnaaR nN，则1nnaa，所以数列 na 构成首项为1a，公比为的等比数列，所以11,1 1,11nnnaSa，又当1 时，20nS，所以当*mnN、，且mn时，mnSS 是成立的，故选 C.三强化训练三强化训练1（2020江苏海安高级

24、中学）数列 na是公差不为 0 的等差数列，且0na，设2020nnnbaa（12019n），则数列 nb的最大项为（）A1009bB1010bC1011bD不确定【答案】B【解析】【分析】观察到2020nnnbaa有根号，且na与2020 na下标之和为定值，故两边平方平方后出现2020nnaa想到用等差数列性质，20202nnaa想到用基本不等式【详解】由2020nnnbaa两边平方得2202020202nnnnnbaaaa，由等差数列性质得20202020101020201010202010102222224nnnnnnnn=aaaaaaaaaa，当且仅当2020nn即1010n 时成立

25、，故 nb最大值为1010b，故选 B2.（2020 许昌市模拟）已知数列，的前 项和分别为，且，13/66，若恒成立，则 的最小值为（）ABC49D【答案】B【解析】当时，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为 的等差数列，所以.则，故，由于是单调递增数列，.故 的最小值为，故选 B.3（2020上海市实验学校高三）已知函数()yf x的定义域为(0,)，当1x 时，()0f x，对任意的,(0,)x y，()()()f xf yf x y成立，若数列na满足1(1)af，且*1()(21)()nnf afanN，则2017a的值为（）A201421B20152

26、1C201621D201721【答案】C【解析】试题分析：f xfyf x y，111fff，10f，110af，设120 xx，211xx，f xfyf x y，22110 xf xf xfx，21f xf x，所以 yf x为增函数 11121210121nnnnnnaf afaf afaffa，1121nnaa，121nnaa，14/661121nnaa，112nna，121nna，2016201721a4.（2020 四川省成都市外国语学校一诊）在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为（）A10B11C12D13【答案】C【解析】正项等比数列中，.，解可得，或（舍），.整理可得，经

27、检验满足题意，故选：C5.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数 的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】，故当 n 为奇数，-a2+,又 2+单调递减，故 2+，故-a2，解a当 n 为偶数，又 2-单调递增，故 2-，故，综上a故选：D15/666.（2020辽宁实验中学高三）已知各项都为正数的等比数列 na的前n项和为nS，且满足131,7aS若2323()(2)nnnf xS xa xa xa xn，()fx为函数 fx的导函数，则(1)(0)ff()A(1)2nnB(2)2nn C2 n(n-1)D2 n(n+1)【答案】A【解析】【分析】通过数列na各项都为正数的等比数

28、列，且11a，37S，可以求出na，而(1)(0)ff即求数列nna的前n项和，通过错位相减法求出即可【详解】解：设等比数列na的公比为(0)q q，11a，37S，1q，且13311(1)71aqSq；2q或3q （舍)111 22nnna 2323()nnnf xS xa xa xa x，2123()23nnnfxSa xa xna x(0)nfS，23123nnfSaana，2123(1)(0)23223 22nnffaanan 令2122322nTn，则2312223 2(1)22nnTnn，得：222312(12)22(222)2424242(1)212nnnnnnnTnnnn，(1

29、)2nTn即 10(1)2nffn故选：A7（2020 贵阳模拟）设，点，设对一切16/66都有不等式成立，则正整数 的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意知 sin，随 n 的增大而增大，,，即，又 f(t)=在 t上单增，f(2)=-10，正整数 的最小值为 3.8（2020浙江高三）已知数列na满足：1102a，1ln 2nnnaaa则下列说法正确的是（）A2019102aB2019112aC2019312aD2019322a【答案】B【解析】【分析】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，则11()1022xfxxx 先根据单调性可得1na，再利用单调性可得1231012n

30、aaaa.【详解】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，由11()1022xfxxx 可得()f x在0,1单调递增，由()0fx 可得()f x在1,2单调递减且()11f xf，可得1na，数列na为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln2ln4ln2fe，211()(0)2af af，17/66图象可得1231012naaaa，所以2019112a，故选 B.9（2020重庆高三）已知2()lnfxaxx 在点(1,(1)f处的切线方程为430 xy，1()2nafnn*(1,)nnN，na的前n项和为nS，则下列选项正确的是（）A20181ln2018S B2018ln2018

31、1SC1009ln20181SD2017ln2018S【答案】A【解析】由题意得 2afxxx，124fa，解得2a，*1121(2)(1,)22nafnnnnnnNnn设()ln(1),(0,1)g xxx x，则1()1011xg xxx，()g x在(0,1)上单调递减，()(0)0g xg，即ln(1)xx，令1xn，则111ln(1)lnnnnn，2341111lnlnlnln112323nnn，故ln(1)nnS设1()ln1,(1,)h xxxx，则211()0h xxx，()h x在(1,)上单调递增，()(1)0h xh，即1ln1,(1,)xxx，18/66令11xn，则1

32、11ln(1)ln1nnnn，23411111lnlnlnln123231nnnn，故1ln(1)1nnS综上选 A10（2020宁夏高考模拟）已知数列满足，且，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是 2 的等比数列，则使不等式成立的最小整数 n 为（）A7B6C5D4【答案】C【解析】试题分析：因为，当为偶数时，可得，即，是以为首项，以为公比的等比数列；当为奇数时，可得，即，是以为首项，以为公差的等差数列，2135212462()()nnnTaaaaaaaa2112nn，数列是首项和公比都是的等比数列，则等价为，即，即分析函数与，则当时，当时，不成立，当时，不成立，当时，不成立，当时，成立，

33、当时，恒成立，故使不等式成立的最小整数为，故选 C11.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12，2 6，3 4三种，其中3 4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为 12 的最佳分解.当pq（pq且*,Np q）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 f nqp，例如12431f.数列3nf的前 100 项和为_【答案】503119/66【解析】当n为偶数时，30nf；当n为奇数时，1112223332 3nnnnf，50014950100312 33.32313 1S，故答案为5031.12.（2020 河北省衡水中学）已知数列的前 项和.若是中的最大值，则实数的取值范围

34、是_【答案】【解析】因为，所以当时，；当时，也满足上式；当时，当时，综上，；因为是中的最大值，所以有且，解得.13.已知数列 na中，12a，点列1,2,nP n 在ABC内部，且nP AB与nP AC的面积比为2:1，若对*Nn都存在数列 nb满足113202nnnnnnb P AaP BaPC，则4a的值为_.【答案】80【解析】在BC上取点D，使得2BDCD，则nP在线段AD上113202nnnnnnb P AaP BaPC20/661132322nnnnnnnnnnnaBPb APaCPb BPBAaBPBC （）（）（）（），1133232)22nnnnnnabaBPb BAaBD

35、（nAPD，三点共线，1133232)22nnnnnababa（，即132nnaa 21324332832263280aaaaaa，来源:ZXXK来源:故答案为：8014.已知函数 12f xx，点 O 为坐标原点，点*,nAn f nnN，向量0,1i，n是向量OAn与i的夹角，则使得1212coscoscossinsinsinnnt恒成立的实数 t 的取值范围为 _来源:学#科#网【答案】3,4【解析】根据题意得,2n是直线 OAn的倾斜角，则：sincos11 112tansin2222cos2nnnnnf nnn nnn，据此可得：结合恒成立的结论可得实数 t 的取值范围为3,4.15

36、（2020河北高三期末（理）数列 na是首项10a，公差为d的等差数列，其前n和为nS，存在非零实数t，对任意*nN有(1)nnnSant a恒成立，则t的值为_21/66【答案】1或12【解析】【分析】分类讨论0d 和0d 两种情况即可求得t的值.【详解】当1n 时，1nnnSant a恒成立，当2n 时：当数列的公差0d 时，1nnnSant a即1111naant a，据此可得1111nant a，则1t，当数列的公差0d 时，由题意有：1nnnSant a，1112nnnSant a，两式作差可得：1112nnnnnaaantanta，整理可得：1111nnnntaat a，即：111

37、ntandt，则1ntandt，-整理可得：11nntaaddt恒成立，由于0d，故11tt，据此可得：12t，综上可得：t的值为1或12.16（2020海南中学）对于三次函数 320axbxd af xcx，定义：设 fx是 fx的导数，若方程 0fx有实数解0 x，则称00,xf x为函数 fx的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 3211533212g xxxx，则122020202120212021ggg_；20201112021iiig_.【答案】20200【解析】【分析】利用二阶导数求出三次函数 yg

38、x的拐点，进而可得出三次函数 yg x图象的对称中心坐标，22/66由此可计算出122020202120212021ggg以及20201120211iiig的值.【详解】3211533212g xxxx，23gxxx，21gxx，令 0gx，得12x，又112g，所以，三次函数 yg x图象的对称中心坐标为1,12，即 12g xgx，所以，1220201010 22020202120212021ggg，2221212212112021202120212021nnnnnngggg 222212122202243320212021202120212021nnnnn，因此，202010102211

39、121212111202120220211nniingnngig 101022110101 10102022 10104202242020212021nn.故答案为：2020；0.17（2020上海高三（理）定义函数()f x如下：对于实数x，如果存在整数m，使得12xm，则()f xm，已知等比数列na的首项11a，且23()()2f af a，则公比q的取值范围是_.【答案】263 214(,)(,)2222【解析】【分析】分析函数()f x与2()f x的性质，求出方程2()()2f xf x的解的取值范围，进而可求得公比q的取值范围.【详解】根据函数()f x的定义，可知11,22xm

40、mm Z时，()f xm，23/66当0m 时，1 1,2 2x，2()()0f xf x，此时2()()2f xf x无解；当0m 时，22211,44xmmmm，2()f x的值为区间22,mm mm内的整数，则222()()2fmxf xmm.若2()()2f xf x有解，则22022mmmm，解得312m，又mZ，则1m，1 3,2 2x，21 9,4 4x，此时()1f x，由2()()2f xf x，可知2()1f x，所以2112112xx，解得2622x；当0m时，22211,44xmmmm，2()f x的值为区间22,mm mm内的整数，则222()(2)f xfmmxm.

41、若2()()2f xf x有解，则22022mmmm，解得312m ，又mZ，则2m ，53,22x，29 25,44x，此时()2f x ，由2()()2f xf x，可知2()4f x，所以2122142xx，解得3 21422x.等比数列na中，设公比为0q q，则11a，2aq，23aq，2()()2f qf q，由函数()f x的性质可知，当263 214(,)(,)2222q时，24/66方程2()()2f qf q有解.综上所述，当263 214(,)(,)2222q时，符合题意.故答案为：263 214(,)(,)2222.18（2020上海市南洋模范中学高三）设*nN，圆22

42、2:nnCxyR（0nR）与y轴正半轴的交点为nP，与曲线yx的交点为(,)nnnQ xy，直线nnPQ与x轴的交点为0(),nA a，若数列 nx满足：13x，143nnxx，要使数列1nnapa成等比数列，则常数p _【答案】2 或 4【解析】【分析】根据条件求出,nnxy的关系,利用递推数列,结合等比数列的通项公式和定义,进行推理即可得到结论.【详解】因为圆222:nnCxyR（0nR）与曲线yx的交点为(,)nnnQ xy,所以2222nnnnnRxyxx,即2nnnRxx,由题可知,点nP的坐标为(0,)nR,由直线方程的截距式可得直线nnPQ的方程为:1nnxyaR,由点(,)nn

43、nQ xy在直线nnPQ上得:1nnnnxyaR,将2nnnRxx,nnyx代入1nnnnxyaR并化简得:11nnnaxx,由143nnxx,得114(1)nnxx,又114,x故数列1nx是首项为 4,公比为4的等比数列,故114 44nnnx,即4442nnnnna,所以11142(42)(4)4(2)2nnnnnnnnapappp,22112142(42)(164)4(42)2nnnnnnnnapappp,25/66令211()nnnnapaq apa,得:(164)4(42)2(4)4(2)2nnnnppqpqp,由等式(164)4(42)2(4)4(2)2nnnnppqpqp对任意

44、*nN恒成立得:164(4)42(2)pqppqp,即86pqpq,解得24pq或42pq,故当2p 时,数列1nnapa成公比为 4 的等比数列;当4p 时,数列1nnapa成公比为 2 的等比数列故答案为:2 或 4.复杂的三视图问题一方法综述一方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理

45、，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.根据几何体的三视图确定直观图的方法：（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正

46、方体）中去截得几何体.二解题策略二解题策略类型一类型一构造正方体（长方体）求解构造正方体（长方体）求解【例 1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：体积可能是56；体积可能是23；26/66AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为3；在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（）ABCD【来源】河南省开封市 2021 届高三三模文科数学试题【答案】D【解析】对：如图，则31151-1 1 1=326V ，故正确；对：如图，则3112=1-21 1 1=323V ，故正确；对：如图AB和CD在直观图中所对应的棱分别为EF和GF，由EFG为正三角形，所以A

47、B和CD在直观图中所对应的棱所成的角为3，故正确；27/66对：如图，平面/ABCD平面111BC D，平面1/ADD平面11BCC B，平面1/ABB平面11DCC D，平面11/AB D平面1BC D，故正确.故选：D.【方法点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.【举一反三】1（2020江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A9B92C6D3【答案】B【解析】由题中三视图还原几何体，可得边长为

48、3的正方体中，由四个顶点A、B、C、D构成的三棱锥，如图所示，可知三棱锥高3h，三棱锥底面积193 322ABCS ，故三棱锥体积119933322ABCVSh.故选：B.28/662、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】B【解析】在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点 A 为中点，所以611112131VABC-P.故选 B.3若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4B8C12D14【答案】A29/66【解析】几何体为三棱锥PABC,直观图如下，114 3 2432P ABCV .故选:A类型二

49、类型二旋转体与多面体组合体的三视图旋转体与多面体组合体的三视图【例 2】（2020内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A620B9 16C9 18D2063【答案】C【解析】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为3 2，高为 3，而球体的半径为 3，所以该组合体的体积为：3 1411333 23 29 182332VVV 半球体三棱锥.故选：C【点睛】考查三视图的还原，以及还原之后几何体的表面积，考验空间想象能力，对常

50、见的几何体要熟悉.【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（）30/66A18B318C12D312【答案】C【解析】还原三视图的几何体图所示，可知原四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD为直角梯形且ADDC，4AB，2CD，45ABC，2 2BC，四棱锥的侧棱长为3，故1 1 1111(24)23182ABCD A B C DABCDVSAA ，V半圆柱211322rAA，则V半圆柱:V剩余V半圆柱：1 1 11(ABCD A B C DVV半圆柱)32312182故选C.类型三类型三与三视图相关的外接与内切问与三视图相关的外接与