【教学课件】第六章Fourier变换.ppt

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1、第六章 Fourier变换第一节 Fourier级数第二节 Fourier积分与Fourier变换第三节 -函数第一节 Fourier级数有限区域上的Fourier展开或周期函数的Fourier展开有限区域上的函数周期化的处理方法处理处理1：将 f(x)转化为(-l,l)内的函数设 f(x)是定义在区域(a,b)内的函数，其中a和b是有限数处理处理2：周期化为整个实数轴上的以2l为周期的周期函数bal-ll-lFourier展开基本函数族函数 f(x)的Fourier展开式L2-l,l空间的概念完备性的概念Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若 f(x)满足：(1)处处连续，或在

2、每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则l-l例子：设 f(x)=x+x2,x 属于(-,),试将f(x)其展开成Fourier级数 并验证：-正弦级数和余弦级数若函数 f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数若函数 f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数例1：设 f(x)=x+1,x:(0,l),试将其展开成正弦级数l-l例2：设 f(x)=x,x:(0,l),试将其展开成余弦级数例3：设 f(x)=x,x:(0,l),试根据条件 f(0)=f(l)=0 将 其展开成Fourier级数l-ll-l2l-2l傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的

3、周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例如：对称方波的傅立叶展开复形式的Fourier级数基本函数族函数 f(x)的Fourier展开式第二节 Fourier积分与Fourier变换无限区域上的Fourier展开实形式的Fourier积分与Fourier变换其中函数 f(x)的Fourier积分表达式A()被称为Fourier余弦变换B()被称为Fourier正弦变换实形式的Fourier变换nFourier积分定理若 f(x)在 R上满足：(1)在任一有限区域上满足Dirichlet条件；(2)在 R上绝对可积，则其中复形式的Fourier积分与Fou

4、rier变换其中复形式的Fourier积分定理F()被称为Fourier变换Fourier积分定理被称为反演公式-1 =IFourier变换的性质性质2（积分性质）F性质4（延迟性质）F性质6（卷积性质）F性质1（导数性质）F性质3（相似性质）F性质5（位移性质）F第三节-函数-函数的概念-函数的性质与-函数有关的Fourier变换-函数的积分表示-函数的概念-函数的引入例1：单位质量分布的线密度例2：点电荷的线密度求导数-函数的形式定义或称这样的函数为-函数，记为(x)和(x-x0)更一般地几个含参函数的普通极限(x)分布意义下的极限或弱极限-函数可以看作是如下意义的极限，即对于任何光滑的函数 f(x),有-函数的性质性质1：对于 连续f(x)，有性质2：如果(x)=0 的根xk(k=1,2,)全是单根，则例1：计算例2：证明例3：计算广义导数例1：证明例2：证明与-函数有关的Fourier变换例1：求(x)的Fourier变换例2：求常函数1的Fourier变换例3：求 sin0 x 的Fourier变换例4：求 d(x)/dx 的Fourier变换-函数的积分表示作业PP.911;4(1),(5);8;PP.1041;2;4PP.1132 PP.111 例1，2