【教学课件】第六章定积分及其应用.ppt

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1、第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.3微积分学基本定理6.4定积分的计算方法6.5广义积分6.6定积分的应用1第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用4.如何计算定积分和应用定积分?前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分.1.什么是定积分?2.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有本章的主要问题有:2一一.引例引例(曲边梯形的面积曲边梯形的面积)定义定义1.1.在直角坐标系中,由一条连续曲线y=(x)和三条直线x=a、x=b和y=0(x

2、轴)所围成的图形,称为曲边梯形,如右图AabBA(与直边梯形AabB的区别).oxyy=0 y=(x)x=ax=babBA6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念 当y=(x)0 时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.问题问题:3从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.oxyy=(x)abBA x+xxHCDEFy 因而,如果把区间a,b任意地划分为n个小区间,并在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地分析分析:问题

3、的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间a,b来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大;但从区间a,b的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量;但因(x)连续,从而当 x 0时,y0,故可将此区间的高近似看为一个常量,4视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.要想得精确值,只需区间a,b的分法无限细密(即每个小区间的长度 x 0)时,全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值.从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.化整为零(或分割)任意划分(如右图)用分点oxyy=(x)将区间a,b任意地划分为n个小区间

4、5oxyy=(x)记第 i 个小区间的长度为过每个分点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形(如上图).若用S表示曲边梯形的面积,表示第i个窄曲边梯形(阴影部分)的面积,则有II.近似代替(或以直代曲)任意取点在每个小区间上任取一点 以 为高、以小区间 的长度为底6则该窄矩形的面积 为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,就得曲边梯形的面积的近似值,即III.求和、取极限作窄矩形(如右图).近似等于 ,即记各小区间的最大长度为当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即7二二.定积分的定义定积分的定义 由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问

5、题可以归结为一个特殊和式的极限.这种和式的极限应用极广,可解决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,定义定义1.1.设(x)在a,b上有定义,点 在每个小区间上任取一点就有定积分的定义就有定积分的定义:将区间a,b任意地划分为n个小区间;每个小区间的长度为作和式8若当 时,有确定的极限值 I,且 I 与区间a,b的分法和 的取法无关,则称函数(x)在区间a,b上可积,并称此极限值I为(x)在区间a,b上的定积分,记为称为积分和.其中(x)为被积函数,(x)d x称为被积表达式,x 称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,a,b称为积

6、分区即注注1.1.若若(x)在区间在区间 a,b上可积上可积,则定积分则定积分的字母无关的字母无关,即即它仅与被积函数它仅与被积函数(x)和积分区间和积分区间 a,b有关有关,而与积分变量而与积分变量C 常数常数,9注注2 2.极限过程极限过程 ,既保证了分点个数无限增多既保证了分点个数无限增多(),(),又保证了区间分割无限细密又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于即所有小区间的长度都趋于0).0).因此,对于可积函数(x),若要用定义来计算若只有 则不能保证区间分割无限细密.注注3.3.(x)在区间在区间 a,b上可积的充要条件是极限上可积的充要条件是极限且此极限值与且此极限值

7、与 a,b的分法和的分法和 的取法无关的取法无关.则可选择较为方便的区间分法和 的取法,使得计算简便.10三三.函数可积的条件函数可积的条件 由注3知,每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价,但求积分和的极限,却非常困难.定理定理1.1.若(x)在区间a,b 上无界,则(x)在a,b上必不可积.问题问题:下面给出函数可积的几个定理:其等价命题为“可积函数必有界”函数可积的必要条件.以下三个定理是函数可积的充分条件.定理定理2.2.若(x)在区间a,b上连续,则(x)在a,b上可积.定理定理3.3.若(x)在区间a,b上有界且只有有限个间断点,则 (x)在a,b上可积.11注注4.4.有了函

8、数可积的充分条件有了函数可积的充分条件,就可借助定义就可借助定义1 1来来例例1 利用定积分定义计算定积分可将区间0,4 特殊划分并特殊取点.定理定理4.4.若(x)在区间a,b上单调有界,则(x)在a,b上可积.解 因(x)=2x+3 在 0,4 上连续,.将某些极限问题转换为一个定积分将某些极限问题转换为一个定积分.计算给定的定积分的值计算给定的定积分的值;故它在a,b上可积,从而不妨在区间0,4 内插入 n 个等分点分成 n 个小区间,取右端点为 12例例2 2 将表示成定积分在区间0,1上可积,13用等分分点法所得的积分和为14习题提示:P213.4.(2)15注注5.5.前面的讨论中

9、已默认区间前面的讨论中已默认区间 a,b 中的中的a b呢呢?为方便作如下规定为方便作如下规定:且ab,则四四.定积分的几何意义定积分的几何意义表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;由定义1知,当连续函数16且 a b时,定积分当(x)在a,b上有正有负时,定积分形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差(即面积的代数和).表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的面积的相反数.的值就是 x 轴上方的曲边梯当17例例3 3 利用定积分的几何意义,计算曲线 y=sinx、直线表示由曲线y=sinx、直线x=0、x=2 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,即解 根据题意,所求曲边梯形的面积如右图.x=0、x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积.利用定积分的几何意义知18