北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形优质ppt课件.pptx

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1、第一章 特殊平行四边形北师版九年级上册1 1.1 .1 菱形的性质与判定菱形的性质与判定第第1 1课时课时 菱形的性质菱形的性质1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.导入新课活动:观察下列图片，找出你所熟悉的图形.问题1:观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的概念及其与平行四边形的关

2、系讲授新课菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题2:菱形与平行四边形有什么关系？平行四边形菱形集合平行四边形集合做一做请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？菱形的性质1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(ACBD).ABCOD 发现菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1）AB=BC=CD=AD；

3、（2）ACBD.证明菱形的性质证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又AB=AD;AB=BC=CD=AD.ABCOD求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.思考：思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC.（2）AB=AD,ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形，OB=OD.在等腰三角形ABD中，OB=OD，AOBD，即ACBD.ABCOD 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直.角：对角

4、相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角形有_，直角三角形有_，而且它们是_（“全等”或“不全等”）.口答：2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.内角和为360 B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分ABD,BCD，ABC,ADCABO，ADO,BCO,CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.则：（1）BO=_;(2)AC=_.BACDO4cm6cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度

5、问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.典例精析例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=6.ABCOD在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.ABCOD 若菱形有一个内角为60，那么60角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30角的直角三

6、角形.当堂练习当堂练习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （）A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （）A.40 B.32 C.24 D.20CD3.在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F分别为BC，CD的中点，那么EAF的度数是 （）A.75 B.60 C.45 D.30B6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_.4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.5.菱形ABCD中ABC120，则BAC_.ABCOD33060、60、120、1207.如图，在菱形ABCD中

7、，对角线AC与BD 相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.ABCOD解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的两条对角线互相垂直).AOB=90.BO=3(cm).BD=2BO=23=6(cm).8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE，BCECOB（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD，AFD=FDC.AFD=CBEADCBFE菱形的性质菱形的性质1.四边相等2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.菱形的定义有一组邻边

8、相等的平行四边形是菱形.课堂小结1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第2课时 菱形的判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和 计算.（难点）学习目标问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1.轴对称图形.2.四边相等.3.对角线互相垂直平分.ABCD导入新课导入新课动手做一做思考：剪下来的是什么图形？菱形的判定定理一 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?1.小明的想法 平行四边形的不少性质

9、定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.讲授新课讲授新课2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样.3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何?猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.猜想2:四边相等的四边形是菱形.通过探究，容易得到：对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形活动1:用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？验

10、证活动1平行四边形菱形ABCOD已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证：ABCD是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形.OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明猜想1定理运用格式：四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)ABCOD练一练判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等

11、的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（）小刚小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相较于点B,D,依次 连接A、B、C、D四点.活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？CABD思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB=BC=CD=AD验证活动2证明：AB=BC=CD=AD;AB=CD,BC=AD.四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.又AB=BC,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).ABCD已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=C

12、D=AD.求证：四边形ABCD是菱形.四边相等的四边形是菱形.定理证明猜想2定理的运用格式AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形).ABCD证明：在AOB中.AB=,OA=2,OB=1.AB2=AO2+OB2.AOB是直角三角形,AOB是直角.ACBD.ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).例1：已知：如右图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=,OA=2,OB=1.求证：ABCD是菱形.ABCOD典例精析2例2：已知：如图,在ABC,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBE

13、DF证明：1=2,又又AE=AC,ACD AED(SAS).同理同理ACFAEF(SAS).CD=ED,CF=EF.又EF=ED,四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1四条边都相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等归纳总结1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,AC BDD.AB=CD,AD=BC,AC BDABCODC当堂练习当堂练习2.如图所示：在ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：.添加

14、方式2：.ABCODAB=BCACBD3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 ABCDEFO12证明:四边形ABCD是平行四边形,AEFC.1=2.EF垂直垂直平分AC,AO=OC.EO=FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.ABCDOE4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,OC=OD，四边形OCED是菱形 5.如图，A

15、BC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.BCADOEMN【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.再结合CEAB，可证得ADOCEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形.再结合AOD=90可证得四边形ADCE为菱形 证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边

16、形ADCE是菱形 ADOEM 6.已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?ACBD有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形.菱形的判定定义定理课堂小结课堂小结1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。学习目标1平行四边形的对边 ，对角 ，对角

17、线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相 平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分平行四边形平行四边形 轴对称轴对称 中心对称中心对称 相等相等 垂直垂直 且平分且平分复习引入导入新课导入新课6.平行四边形的面积=_.ABCDF底高7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积 =_.BCDF思考：思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ABCOD菱形的面积一做一做：如图，请用两种方法表示菱形ABCD的面积.方法一：菱形ABCD的面积=底高 =CDBE.ABCODE方法二：菱形ABCD的面积 =4SABO =4 AOBO =ACBD.

18、讲授新课讲授新课ABDCah(1)S=ah.(2)S=ACDB.O菱形的面积计算公式：总结归纳菱形的面积=底高=对角线乘积的一半练一练如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm16例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.BAOC60典例精析BAOCD解：花坛ABCD是菱形，例2 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，AB13，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.典

19、例精析解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半解：在RtAOB中，AB13，OA5，OB12，于是所以，S菱形ABCD4SAOB430120.又因为菱形两组对边的距离相等，所以，S菱形ABCDABh13h，即，13h120，得 菱形的判定与性质的综合问题二如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重

20、叠的部分是什么图形？做一做平行四边形如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？菱形典例精析例3.如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 ，菱形的面积为 .方法总结：判定一个四边

21、形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是_.2.如图，菱形ABCD中BAC120，则BAC_.6cm603.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（）CA.10cm B.24cm C.13cm D.17cmABCDO当堂练习当堂练习4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.ABCDE解:(1)四边

22、形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E.AED=90(菱形的对角线互相垂直),DE=BD=10=5(cm).(菱形的对角线互相平分)ABCDE AE=12(cm).AC=2AE=2 12=24(cm)（菱形的对角 线互相平分）.(2)如图，菱形ABCD的面积 =BD AC =120(cm2).5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=6.ABCOD在

23、RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.ABCOD课堂小结课堂小结菱形的性质与判定的综合性问题菱形的面积有关计算面积=底高=两条对角线乘积的一半1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第1课时 矩形的性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说 一说他们的特殊之处.问题问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？导入新课导入新课矩形的定义一活动

24、：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形讲授新课讲授新课 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.归纳平行四边形菱形集合平行四边形集合矩形集合做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.（1）矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质：对称性：.对称轴：.轴对称图形2条矩形的性质二活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如

25、书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ABCDOABADACBDBADADCAODAOB橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）填一填 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上.角：.对角线：.ABCD四个角为90相等O证明：（1）四边形ABCD是矩形.ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角线)ABDC(矩形的对边平行).ABC+BCD=180.又ABC=90,BCD=90.求证:矩形的四个角

26、都是直角，且对角线相等.已知：如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90;（2）AC=DB.ABCDOABC=BCD=CDA=DAB=90.证明猜想(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC(矩形的对边相等).在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB,ABCDCB.AC=DB.1.矩形的四个角都是直角.2.矩形的对角线相等.定理ABCDO归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.角：四条角都是90.对角线：相等.角：对角相等.边

27、：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.矩形的特殊性质平行四边形的性质例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB=2.5,求矩形对角线的长.解：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).OA=OC=AC,OB=OD=BD,(矩形对角线相互平分)OA=OD.ABCDO典例精析ABCDOAOD=120,ODA=OAD=(180-120)=30.又DAB=90,（矩形的四个角都是直角）BD=2AB=2 2.5=5.提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA=22.5=5.你还有其他解法吗？例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点

28、,AE=AD,DFAE,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.AD=AE,AED=ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC,DEC=AED.又DFAE,DFE=C=90.又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.证明：在RtABC中,BE=AC.ABCDE证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).BE=DE=BD,AE=CE=AC (矩形对角线相互平分),BE=AC.直角三角形斜边上的中线上的性质三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定

29、理例3：如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.解：连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的中点，EG2(1)BC，DG2(1)BC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理练一练：根据右图填空已知ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_cm;(2)若C=30,AB=5cm,则AC=_cm,BD=_cm.ABCD6105归纳总结直角三角形斜边上的中线上的性质

30、常见类型典例精析1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知AOB=60,AC=16,则图中长度为8的线段有（）A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 DABCDO60当堂练习当堂练习2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30,BO=4,求四边形ABED的面积.ABCDOE（1）证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD=2BO=24=8.DBC=30,CD=BD=8=4,AB

31、=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)=.ABCDOE平行四边形1.矩形是轴对称图形和中心对称图形2.矩形四个角都是直角3.矩形的对角线相等且相互平分矩形性质有一个角是直角转换直角三角形等腰三角形课堂小结课堂小结1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第2课时 矩形的判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1理解并掌握矩形的判定方法（重点）2能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点)学习目标问题:什么是矩形？矩形有哪些性质？ABCDO矩形：有一个角是直角的平行四边形.矩形性质：是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.

32、导入新课导入新课矩形判定的定理及其证明一活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,注意观察两条对角线的长度.问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？讲授新课讲授新课已知：如图,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.ABCD 对角线相等的平行四边形是矩形.定理活动2:李芳同学通过画“边直角、边直

33、角、边直角、边”这样四步画出一个四边形.问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.证明:A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.ABCD 有三个角是直角的四边形是矩形.定理例1：如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ABO是等边三角形,AB=4,求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.又ABO是等边三角形

34、,OA=OB=AB=4,BAC=60.AC=BD=2OA=24=8.定理的应用二典例精析ABCDOABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角）.在RtABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,BC=.SABCD=ABBC=4 =ABCDO例2：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.ADC

35、EB(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.ADCEB1.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线,则四边形ABCD是（）A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定DEFMNQPABCC当堂练习当堂练习2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DEAC，CEBD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.DABCEO解：四边形CEDO是矩形.理由如

36、下：已知四边形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.DEAC,CEBD，四边形CEDO是平行四边形.四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.有一个角是直角的平行四边形是矩形.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明.矩形的判定定义定理课堂小结课堂小结1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1回顾矩形的性质及判定方法2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点)学习目标问题1:矩形有哪些性质？ABCDO是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.导

37、入新课导入新课定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形问题2:矩形有判定方法有哪些？例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.分析：由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.矩形的性质与判定综合运用典例精析讲授新课讲授新课解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，BE：ED=1：3，BE：OB=1：2，AEBD，A

38、B=OA，OA=AB=OB，即OAB是等边三角形，ABD=60，ADE=90-ABD=30，AE=AD=3.【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.例2：已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的一条角平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.（1）证明：在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，ADBC，BAD=CAD，ADC=

39、90，AN为ABC的外角CAM的平分线，MAN=CAN，DAE=90，CEAN，AEC=90，四边形ADCE为矩形；（1）求证：四边形ADCE为矩形；分析：由在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得ADBC，BAD=CAD，又由AN为ABC的外角CAM的平分线，可得DAE=90，又由CEAN，即可证得：四边形ADCE为矩形；解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE又AB=AC，BD=CD，AB=DE，AE=BD，四边形ABDE是平行四边形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；分析：利用（1）中矩形

40、的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知ABDE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；解：DFAB，DF=AB理由如下：四边形ADCE为矩形，AF=CF，BD=CD，DF是ABC的中位线，DFAB，DF=AB（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是ABC的中位线，则可得DFAB，DF=AB.【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.例3：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边

41、形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.ADCEB(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.ADCEB例4：如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？

42、请说明理由；(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由解：(1)BDCD.理由如下：AFBC，AFEDCE.E是AD的中点，AEDE.在AEF和DEC中，AEFDEC(AAS)，AFDC.AFBD，BDDC；分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF和DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AFCD，再利用等量代换即可得BDCD；(2)当ABC满足ABAC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形ABAC，BDDC，ADB90.四边形AFBD是矩形【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判

43、定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90.由等腰三角形三线合一的性质可知ABC满足的条件必须是ABAC.例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求 的值典例精析(1)求证：CMCN；解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，由折叠知CNMANM，CNMCMN，CNCM(2)若CMN的面

44、积与CDN的面积比为31，求 的值解：ADBC，SCMNSCDN31，CMDN31，设DNx，则CM3x，过点N作NKBC于点K，DCBC，NKDC，又ADBC，CKDNx，MK2x，由(1)知CNCM3x，NK2CN2CK2(3x)2x28x2，当堂练习当堂练习1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是()AS1S2BS1S2CS1S2 D3S12S2B2如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AHBC于点H，连接EH，若DF10 cm，则EH等于()A8 cmB10 c

45、mC16 cmD24 cmB3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，则BOE_度754如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果OAB30，那么点C的坐标为 5.如图，点D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC.(1)求证：CDAN；(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形证明：(1)证AMDCMN得ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN.(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形证明：AMD2MCD，AMDMCDMDC，MCDMDC，M

46、DMC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，ADCN是矩形.与全等三角形的结合矩形的性质与判定课堂小结课堂小结与平面直角坐标系的结合折叠问题1.3 正方形的性质与判定第一章 特殊平行四边形第1课时 正方形的性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系.2.探索并证明正方形的性质定理.（重点）3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？导入新课导入新课正方形的定义一活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四

47、边形是什么四边形？正方形讲授新课讲授新课活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形正方形的性质探究和证明二ABCD填一填：角：边：对角线：对称性：四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）.1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.定理已知：如右图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC.（正

48、方形的定义）又正方形是平行四边形.正方形是矩形,（矩形的定义）正方形是菱形.(菱形的定义)A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.定理证明已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO请同学们动手完成以上证明？提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.想一想：正方形是矩形吗？是菱形吗？矩形菱形正方形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳归纳结论正方形对角线边边对角线对角线角对边平行且相等相互平分相

49、等四个角相等都是90相互垂直且平分对角四边相等对称性轴对称图形（4条对称轴）例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.正方形性质定理的应用三典例精析解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEABDFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF,CBE=CDF.DCF=90,CDF+F=90.CBE+F=90,BMF

50、=90.BEDF.CM例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,MNAB,且分别于OA,OB相交于点M,N.求证：（1）BM=CN;（2）BMCN.ABCDOMN证明：（1）MNAB.1=2=3=4=45.OM=ON.OA=OB,OA-OM=OB-ON,AM=BN.又2=NBC,AB=BC.ABM BCN(SAS)BM=CN.1234ABCDOMN(2)延长CN交线段MB于点Q.ABMBCN.6=8.OCB=ABO=45.5=7.又ONC=QNB.180-5-ONC=180-7-QNB,CON=NQB=90.BMCN.Q57681在正方形ABC中,ADB=,DAC=,