【教学课件】第六章matlab符号计算.ppt

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1、第6章 MATLAB符号计算6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解6.1 符号计算基础6.1.1 符号对象1.1.建立符号变量和符号常数建立符号变量和符号常数(1)sym(1)sym函数函数 sym sym函数用来建立单个符号量，例如，函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)a=sym(a)建立符号变量建立符号变量a a，此后，用户可以在表，此后，用户可以在表达式中使用变量达式中使用变量a a进行各种运算。进行各种运算。例例6.16.1考察符号变量和数值变量的差别。考察符号变量和数值变量的差别。在在

2、MATLAB MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义定义4 4个符号变量个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义定义4 4个数个数值变量值变量A=a,b;c,d%A=a,b;c,d%建立符号矩阵建立符号矩阵A AB=w,x;y,z%B=w,x;y,z%建立数值矩阵建立数值矩阵B Bdet(A)%det(A)%计算符号矩阵计算符号矩阵A A的的行列式行列式det(B)%det(B)

3、%计算数值矩阵计算数值矩阵B B的的行列式行列式例例6.26.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在在 MATLAB MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%定义符号变量定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量定义数值变量sin(pi1/3)%sin(pi1/3)%计算符号表达式值计算符号表达式值

4、 sin(pi2/3)%sin(pi2/3)%计算数值表达式值计算数值表达式值sqrt(k1)%sqrt(k1)%计算符号表达式值计算符号表达式值sqrt(r1)%sqrt(r1)%计算数值表达式值计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2)%sqrt(k3+sqrt(k2)%计算符号表达式计算符号表达式值值sqrt(r3+sqrt(r2)%sqrt(r3+sqrt(r2)%计算数值计算数值表达式表达式值值(2)syms(2)syms函数函数symssyms函数的一般调用格式为：函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varnsyms var1 var2 varn 函数定义符号

5、变量函数定义符号变量var1,var2,varnvar1,var2,varn等。用这种等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符符()()，变量间用空格而不要用逗号分隔。，变量间用空格而不要用逗号分隔。2.2.建立符号表达式建立符号表达式例例6.36.3用两种方法建立符号表达式。用两种方法建立符号表达式。在在MATLABMATLAB窗口，输入命令：窗口，输入命令：U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%定义符号表达定义符号表达式式U Usyms x y;%syms x y;%建立符号变

6、量建立符号变量x x、y yV=3*x2+5*y+2*x*y+6%V=3*x2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式定义符号表达式V V2*U-V+6%2*U-V+6%求符号表达式的值求符号表达式的值例例6.46.4计算计算3 3阶范得蒙矩阵行列式的值。设阶范得蒙矩阵行列式的值。设A A是一个由符号变是一个由符号变量量a,b,ca,b,c确定的范得蒙矩阵。确定的范得蒙矩阵。命令如下：命令如下：syms a b c;syms a b c;U=a,b,c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2%A=1,1,1;U;U.2%建立范得蒙符号矩阵建立范得蒙符号矩阵det(A)%det(A)%计算计

7、算A A的行列式值的行列式值例6.5建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y;f=sym(f(x,y);6.1.2 基本的符号运算1.1.符号表达式运算符号表达式运算(1)(1)符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算例例6.66.6符号表达式的四则运算示例。符号表达式的四则运算示例。在在 MATLAB MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：syms x y z;syms x y z;f=2*x+x2*x-5*x+x3%f=2*x+x2*x-5*x+x3%符号表达式的结果为最简形符号表达式的结果为最简形式式f=2*x/(5*x)%f=2*x/(

8、5*x)%符号表达式的结果为最简形式符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是符号表达式的结果不是x2-y2x2-y2，而是，而是(x+y)*(x-y)(x+y)*(x-y)(2)(2)因式分解与展开因式分解与展开factor(S)factor(S)对对S S分解因式，分解因式，S S是符号表达式或符号矩阵。是符号表达式或符号矩阵。expand(S)expand(S)对对S S进行展开，进行展开，S S是符号表达式或符号矩是符号表达式或符号矩阵。阵。collect(S)collect(S)对对S S合并同类项，合并同类项，S S是符号

9、表达式或符号是符号表达式或符号矩阵。矩阵。collect(S,v)collect(S,v)对对S S按变量按变量v v合并同类项，合并同类项，S S是符号表达是符号表达式或符号矩阵。式或符号矩阵。例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A)%对A的每个元素分解因式例6.8 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并

10、同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式(3)(3)表达式化简表达式化简MATLABMATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)simplify(S)应用函数规则对应用函数规则对S S进行化简。进行化简。simple(S)simple(S)调用调用MATLABMATLAB的其他函数对表达式进行的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果2.

11、2.符号矩阵运算符号矩阵运算transpose(S)transpose(S)返回返回S S矩阵的转置矩阵。矩阵的转置矩阵。determ(S)determ(S)返回返回S S矩阵的行列式值。矩阵的行列式值。colspace(S)colspace(S)返回返回S S矩阵列空间的基。矩阵列空间的基。Q,D=eigensys(S)QQ,D=eigensys(S)Q返回返回S S矩阵的特征向量，矩阵的特征向量，D D返回返回S S矩阵的特征值。矩阵的特征值。6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLABMATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsymfi

12、ndsym可以帮助用户查找一个符号表达式中可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)findsym(S,n)函数返回符号表达式函数返回符号表达式S S中的中的n n个符号变量，若没有个符号变量，若没有指定指定n n，则返回，则返回S S中的全部符号变量。中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，明确指定自变量，MATLABMATLAB将按缺省原则确定将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用主变量并对其进行相应微积分运算。可用f

13、indsym(S,1)findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，查找系统的缺省变量，事实上，MATLABMATLAB按离字符按离字符xx最近原则确定缺省变量。最近原则确定缺省变量。6.2 符号导数及其应用函数的极限limitlimit函数的调用格式为：函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit(f,x,a)limitlimit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：为：limit(f,x,a,right)limit(f,x,a,right)或或 limit(f,x,a,left)limit(f,x,a,left)例6.10求极限。

14、在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x(包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left)%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right)%求极限(4)6.2.2 符号函数求导及其应用MATLABMATLAB中的求导的函数为：中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff(f,x,n)

15、diffdiff函数求函数函数求函数f f对变量对变量x x的的n n阶导数。参数阶导数。参数x x的用法同的用法同求极限函数求极限函数limitlimit，可以缺省，缺省值与，可以缺省，缺省值与limitlimit相同，相同，n n的缺省值是的缺省值是1 1。例例6.116.11求函数的导数。求函数的导数。命令如下：命令如下：syms a b t x y z;syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);f=sqrt(1+exp(x);diff(f)%diff(f)%求求(1)(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos

16、(x);f=x*cos(x);diff(f,x,2)%diff(f,x,2)%求求(2)(2)。求。求f f对对x x的二阶导数的二阶导数diff(f,x,3)%diff(f,x,3)%求求(2)(2)。求。求f f对对x x的三阶导数的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%diff(f2)/diff(f1)%求求(3)(3)。按参数方程求导公式求。按参数方程求导公式求y y对对x x的导数的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1

17、)3%(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%求求(3)(3)。求。求y y对对x x的二阶的二阶导数导数f=x*exp(y)/y2;f=x*exp(y)/y2;diff(f,x)%diff(f,x)%求求(4)(4)。z z对对x x的偏导数的偏导数diff(f,y)%diff(f,y)%求求(4)(4)。z z对对y y的偏导数的偏导数f=x2+y2+z2-a2;f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求求(5)(5)。按隐函数求导公式求。按隐

18、函数求导公式求z z对对x x的偏导数的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求求(5)(5)。按隐函数求导公式求。按隐函数求导公式求z z对对y y的偏导数的偏导数例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x);y=x3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为46.3 符号积分不定积分在在MATLABMATLAB中，求不定积分的函数是中，求不定积分的函数是intint，其调用格，其调用

19、格式为：式为：int(f,x)int(f,x)intint函数求函数函数求函数f f对变量对变量x x的不定积分。参数的不定积分。参数x x可以缺省，可以缺省，缺省原则与缺省原则与diffdiff函数相同。函数相同。例6.13求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简6.3.2 6.3.2 符号函数的定积分符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLABMATLAB中，定积分的计算使用

20、函数：中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)int(f,x,a,b)例例6.146.14求定积分。求定积分。命令如下：命令如下：x=sym(x);t=sym(t);x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)%int(abs(1-x),1,2)%求定积分求定积分(1)(1)f=1/(1+x2);f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)%int(f,-inf,inf)%求定积分求定积分(2)(2)int(4*t*x,x,2,sin(t)%int(4*t*x,x,2,sin(t)%求定积分求定积分(3)(3)f=x3/(x-1)100;f=x3/(

21、x-1)100;I=int(f,2,3)%I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积用符号积分的方法求定积分分(4)(4)double(I)%double(I)%将上述符号结果转换为数值将上述符号结果转换为数值例6.15求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c例例6.166.16轴的长度为轴的长度为1010米，若该轴的线性密度计算公式是米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3xf(x)=6+0.3x千克千克/米米(其中其中x x为距轴的端点距离为距轴的端点距离)，求轴，求

22、轴的质量。的质量。(1)(1)符号函数积分。在符号函数积分。在MATLABMATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：syms x;syms x;f=6+0.3*x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)m=int(f,0,10)(2)(2)数值积分。数值积分。先建立一个函数文件先建立一个函数文件fx.mfx.m：function fx=fx(x)function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;fx=6+0.3*x;再在再在MATLABMATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6)m=quad(fx,0,10,1e-6)例6

23、.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t3;f=diff(x,y,z,t)%求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f)%计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c的长度6.3.3 积分变换1.1.傅立叶傅立叶(Fourier)(Fourier)变换变换在在MATLABMATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t)fourier(fx,x,t)求函数求函数f(x)f(x)的傅立叶像函数的傅立叶像函数F(t)F

24、(t)。ifourier(Fw,t,x)ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数求傅立叶像函数F(t)F(t)的原函数的原函数f(x)f(x)。例例6.186.18求函数的傅立叶变换及其逆变换。求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：命令如下：syms x t;syms x t;y=abs(x);y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%Ft=fourier(y,x,t)%求求y y的傅立叶变换的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%fx=ifourier(Ft,t,x)%求求FtFt的傅立叶逆变换的傅立叶逆变换2.2.拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Lapl

25、ace)变换变换在在MATLABMATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)laplace(fx,x,t)求函数求函数f(x)f(x)的拉普拉斯像函数的拉普拉斯像函数F(t)F(t)。ilaplace(Fw,t,x)ilaplace(Fw,t,x)求拉普拉斯像函数求拉普拉斯像函数F(t)F(t)的原函数的原函数f(x)f(x)。例例6.196.19计算计算y=x2y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：命令如下：x=sym(x);y=x2;x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%Ft=

26、laplace(y,x,t)%对函数对函数y y进行拉普拉斯变进行拉普拉斯变换换fx=ilaplace(Ft,t,x)%fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数对函数FtFt进行拉普拉斯逆进行拉普拉斯逆变换变换3.Z3.Z变换变换对数列对数列f(n)f(n)进行进行z z变换的变换的MATLABMATLAB函数是：函数是：ztrans(fn,n,z)ztrans(fn,n,z)求求fnfn的的Z Z变换像函数变换像函数F(z)F(z)iztrans(Fz,z,n)iztrans(Fz,z,n)求求FzFz的的z z变换原函数变换原函数f(n)f(n)例例6.206.20求数列求数列 fn

27、=e-n fn=e-n的的Z Z变换及其逆变换。变换及其逆变换。命令如下：命令如下：syms n zsyms n zfn=exp(-n);fn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%Fz=ztrans(fn,n,z)%求求fnfn的的Z Z变换变换f=iztrans(Fz,z,n)%f=iztrans(Fz,z,n)%求求FzFz的逆的逆Z Z变换变换4.积分变换的应用例6.21用拉普拉斯方法解微分方程。6.4 级数6.4.1 级数的符号求和级数符号求和函数symsum，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)例例6.226.22求级数之和。求级数之和。命令如下：命令如下：

28、n=sym(n);n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf)%s1=symsum(1/n2,n,1,inf)%求求s1s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%求求s2s2。未指定求和。未指定求和变量，缺省为变量，缺省为n ns3=symsum(n*xn,n,1,inf)%s3=symsum(n*xn,n,1,inf)%求求s3s3。此处的求和变。此处的求和变量量n n不能省略。不能省略。s4=symsum(n2,1,100)%s4=symsum(n2,1,100)%求求s4s4。计算有限级数的。计

29、算有限级数的和和 6.4.2 函数的泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a)例例6.236.23求函数在指定点的泰勒展开式。求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：命令如下：x=sym(x);x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,x,5)%taylor(f1,x,5)%求求(1)(1)。展开到。展开到x x的的

30、4 4次幂时次幂时应选择应选择n=5n=5taylor(f2,6)%taylor(f2,6)%求求(2)(2)。例6.24将多项式表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=taylor(p,x,-1,4)例例6.256.25应用泰勒公式近似计算应用泰勒公式近似计算 。命令如下：命令如下：x=sym(x);x=sym(x);f=(1-x)(1/12);%f=(1-x)(1/12);%定义函数，定义函数，4000(1/12)=2f(96/212)4000(1/12)=2f(96/212)g=taylor(f,4)%g=taylor(f,4)%求求

31、f f的泰勒展开式的泰勒展开式g g，有，有4000(1/12)2g(96/212)4000(1/12)2g(96/212)b=96/212;b=96/212;a=1-b/12-11/288*b2-253/10368*b3%a=1-b/12-11/288*b2-253/10368*b3%计算计算g(b)g(b)2*a%2*a%求求4000(1/12)4000(1/12)的结果的结果4000(1/12)%4000(1/12)%用用MATLABMATLAB的乘方运算直接计算的乘方运算直接计算 6.4.3 函数的傅立叶级数MATLAB 5.xMATLAB 5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函

32、版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立数。下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。叶级数的函数文件。function mfourier=mfourier(f,n)function mfourier=mfourier(f,n)syms x a b c;syms x a b c;mfourier=int(f,-pi,pi)/2;%mfourier=int(f,-pi,pi)/2;%计算计算a0a0for i=1:nfor i=1:n a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi);a(i)=int(f*cos(i*x),-p

33、i,pi);b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi);b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi);mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);endendreturnreturn调用该函数时，需给出被展开的符号函数调用该函数时，需给出被展开的符号函数f f和展开项数和展开项数n n，不可缺省不可缺省。例例6.266.26在在-，区间展开函数为傅立叶级数。区间展开函数为傅立叶级数。命令如下：命令如下：x=sym(x);a=sym(a

34、);x=sym(x);a=sym(a);f=x;f=x;mfourier(f,5)%mfourier(f,5)%求求f(x)=xf(x)=x的傅立叶级数的前的傅立叶级数的前5 5项项f=abs(x);f=abs(x);mfourier(f,5)%mfourier(f,5)%求求f(x)=|x|f(x)=|x|的傅立叶级数的前的傅立叶级数的前5 5项项syms a;syms a;f=cos(a*x);f=cos(a*x);mfourier(f,6)%mfourier(f,6)%求求f(x)=cos(ax)f(x)=cos(ax)的傅立叶级数的前的傅立叶级数的前6 6项项f=sin(a*x);f=

35、sin(a*x);mfourier(f,4)%mfourier(f,4)%求求f(x)=sin(ax)f(x)=sin(ax)的傅立叶级数的前的傅立叶级数的前4 4项项6.5代数方程的符号求解线性方程组的符号求解MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为：linsolve(A,b)例例6.276.27求线性方程组求线性方程组AX=bAX=b的解。的解。解方程组解方程组(1)(1)的命令如下：的命令如下：A=34,8,4;3,34,3;3,6,8;A=34,8,4;3,34,3;3,6,8;b=4;6;2;b=4;6;2;X=linsolve(A,b)%X=l

36、insolve(A,b)%调用调用linsolvelinsolve函数求函数求(1)(1)的解的解Ab%Ab%用另一种方法求用另一种方法求(1)(1)的解的解解方程组解方程组(2)(2)的命令如下：的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;b=b1;b2;b3;b=b1;b2;

37、b3;X=linsolve(A,b)%X=linsolve(A,b)%调用调用linsolvelinsolve函数求函数求(2)(2)的解的解XX=Ab%XX=Ab%用左除运算求用左除运算求(2)(2)的解的解6.5.2 非线性方程组的符号求解求解非线性方程组的函数是求解非线性方程组的函数是solvesolve，调用格式为：，调用格式为：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)例例6.28 6.28 解方程。解方程。命令如下：命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1

38、+2/(x-2),x)%x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x)%解方程解方程(1)(1)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f)%x=solve(f)%解方程解方程(2)(2)x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1)%x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1)%解方程解方程(3)(3)x=solve(x+x*exp(x)-10,x)%x=solve(x+x*exp(x)-10,x)%解方程解方程(4)(4)。仅。仅标出方程的左端标出方程的左端例例

39、6.296.29】求方程组的解。】求方程组的解。命令如下：命令如下：x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y)%x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y)%解方程组解方程组(1)(1)x y=solve(x+y-98,x(1/3)+y(1/3)-2,x,y)%x y=solve(x+y-98,x(1/3)+y(1/3)-2,x,y)%解方程组解方程组(2)(2)Warning:Explicit solution could not be found.Warning:Explicit solution could not be fo

40、und.In C:MATLABR11toolboxsymbolicsolve.m at line 136 In C:MATLABR11toolboxsymbolicsolve.m at line 136x=x=empty sym empty sym y=y=对方程组对方程组(2)MATLAB(2)MATLAB给出了无解的结论，显然错误，请看完全与其同构给出了无解的结论，显然错误，请看完全与其同构的方程组的方程组(3)(3)。输入命令如下：。输入命令如下：u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v)%u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v)%解方程组解方程组(3)

41、(3)x v=solve(x2+y2-5,2*x2-3*x*y-2*y2)%x v=solve(x2+y2-5,2*x2-3*x*y-2*y2)%解方程组解方程组(4)(4)6.6常微分方程的符号求解MATLABMATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数方程的函数dsolvedsolve。该函数的调用格式为：。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程该函数求解微分方程eqn1eqn1在初值条件在初值条件conditioncon

42、dition下的特解。参下的特解。参数数varvar描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件若没有给出初值条件conditioncondition，则求方程的通解。，则求方程的通解。dsolvedsolve在求微分方程组时的调用格式为：在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,vadsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)r1,varN)函数求解微分方程组函数求解微分方程组eqn1eq

43、n1、eqnNeqnN在初值条件在初值条件conditoion1conditoion1、conditionNconditionN下的解，若不给出初值条件，下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，则求方程组的通解，var1var1、varNvarN给出求解变量。给出求解变量。例例6.30 6.30 求微分方程的通解。求微分方程的通解。命令如下：命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x)%y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x)%解解(1)(1)。方程的右端为方程的右端为0 0时可以不写时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x)%

44、y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x)%解解(2)(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x)%y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x)%解解(3)(3)例例6.31 6.31 求微分方程的特解。求微分方程的特解。命令如下：命令如下：y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x)%y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x)%解解(1)(1)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x)%y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x)%解解(2)(2)例例6.326.32用微分方程

45、的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。较。在在MATLABMATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x)%y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x)%用符号方法得到方程用符号方法得到方程的解析解的解析解为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.mfxyy.m：function f=fxyy(x,y)function f=fxyy(x,y)f=(4*x2-2*y)/x;%f=(4*x2-2*

46、y)/x;%只能是只能是y=f(x,y)y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，的形式，当不是这种形式时，要变形。要变形。returnreturn输入命令：输入命令：t,w=ode45(fxyy,1,2,2);%t,w=ode45(fxyy,1,2,2);%得到区间得到区间11，22中的数值解，以向量中的数值解，以向量t t、w w存储。存储。为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令：输入命令：x=linspace(1,2,100);x=linspace(1,2,100);y=x.2+1./x.2;%y=x.2+1./x.2;%为作图把符号解的结果离散化为作图把符号解的结果离散化plot(x,y,b.,t,w,r-);plot(x,y,b.,t,w,r-);6.6.3 常微分方程组求解例例6.33 6.33 求微分方程组的解。求微分方程组的解。命令如下：命令如下：x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t)%x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t)%解解方程组方程组(1)(1)x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t)%x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t)%解方解方程组程组(2)(2)