【教学课件】第五章角动量定理.ppt

《【教学课件】第五章角动量定理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【教学课件】第五章角动量定理.ppt（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章第五章 角动量定理角动量定理5.1 5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理 理解力矩和角动量的概念；掌理解力矩和角动量的概念；掌握质点的角动量定理和角动量守恒；掌握力矩和角动量的握质点的角动量定理和角动量守恒；掌握力矩和角动量的矢量表示。矢量表示。5.2 5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 理解质点系角动量的概念；理解质点系角动量的概念；掌握质点系角动量定理；掌握各参考系，特别是质心系中掌握质点系角动量定理；掌握各参考系，特别是质心系中惯性力矩的作用。惯性力矩的作用。5.3 5.3 万有引力万有引力 了解开普勒行星运动三定律；理解掌握了解开普勒行星运动三定律；理解掌握万有引力

2、定律和引力的主要性质。万有引力定律和引力的主要性质。5.4 5.4 有心力有心力 掌握有心力场中运动的基本方程；利用有掌握有心力场中运动的基本方程；利用有效势能曲线，定性讨论运动轨道；利用基本方程，解出行效势能曲线，定性讨论运动轨道；利用基本方程，解出行星的轨道方程。星的轨道方程。5.1 5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理一一.力矩力矩 以二维平面纯转动为例。以二维平面纯转动为例。外力外力 作用于质点作用于质点m，考察，考察其作功与角位移其作功与角位移d 的关系。的关系。在极坐标系中对纯转动作功在极坐标系中对纯转动作功（纯转动（纯转动d 0）对应于角位移。外力对应于角位移。外力 对转轴的

3、力矩对转轴的力矩O 外力作元功等于质点对某轴的角位移元乘以力对该轴的力矩。外力作元功等于质点对某轴的角位移元乘以力对该轴的力矩。xzmf二二.角动量和角动量定理角动量和角动量定理 Larm在直角坐标系中的表示在直角坐标系中的表示 二维平面运动，考察二维平面运动，考察合合力矩对运动参量的作用。力矩对运动参量的作用。平面极坐标中，平面极坐标中，Ofxy力矩力矩其中括号内定义为对转轴的角动量其中括号内定义为对转轴的角动量Jz，p是动量，是动量，是动量与径向夹角。是动量与径向夹角。角动量定理角动量定理 （右手法则为正）（右手法则为正）直角坐标系中，直角坐标系中，Jz可表示为可表示为 积分形式积分形式M

4、z=0,角动量守恒角动量守恒三三.三维空间的力矩和角动量三维空间的力矩和角动量 质点在三维空间中受力和运动。对质点在三维空间中受力和运动。对x、y轴同样定义力轴同样定义力矩和角动量矩和角动量 对该三个轴，角动量定理分别成立对该三个轴，角动量定理分别成立 力对三个轴的力矩恰是矢量力对三个轴的力矩恰是矢量 的三个分量的三个分量 而动量对三个轴的角动量恰是矢量而动量对三个轴的角动量恰是矢量 的三个分量的三个分量因此，对三个轴的角动量定理可以用一个矢量式表示因此，对三个轴的角动量定理可以用一个矢量式表示（对（对原点原点的角动量定理）的角动量定理）它的三个分量或投影具有实际意义。矢量简化表述、运算。它的

5、三个分量或投影具有实际意义。矢量简化表述、运算。0 力矩、角动量是对轴、点（力矩、角动量是对轴、点（坐标系坐标系）而言的。）而言的。5.2 5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理一一.质点系的角动量质点系的角动量 N个质点各个质点各mi，质点系对某，质点系对某（原？）（原？）点的总角动量点的总角动量 是各质点对某点的位矢。是各质点对某点的位矢。总角动量与总角动量与质心质心角动量的关系角动量的关系 所以所以二二.角动量定理及守恒角动量定理及守恒 第第 i个质点个质点，受外力，受外力 和内力和内力 作作用，对某点的力矩是用，对某点的力矩是 和和 ，则，则对该质点的角动量对该质点的角动量 有有

6、N个方程累加，有个方程累加，有考虑内力矩中的任一对考虑内力矩中的任一对所以所以积分形式积分形式 系统所受外力矩为零，则总角动量守恒。系统所受外力矩为零，则总角动量守恒。（可单独方向（可单独方向成立）成立）Omimj三三.参考系的选择参考系的选择 角动量定理对任何参考系和转轴成立，但在非惯性系中角动量定理对任何参考系和转轴成立，但在非惯性系中须将惯性力计入外力矩。须将惯性力计入外力矩。为避免计算惯性力矩，可以选择为避免计算惯性力矩，可以选择1）惯性系，）惯性系，2)质心系。质心系。质心系中，各质点受惯性力质心系中，各质点受惯性力 ，力矩，力矩 系统受总惯性力矩系统受总惯性力矩 选取质心系可以不计

7、入惯性力矩（选取质心系可以不计入惯性力矩（对质心轴！对质心轴！）。）。回顾质心系中，惯性力对动能定理和动量定理的作用。回顾质心系中，惯性力对动能定理和动量定理的作用。5.3 5.3 万有引力万有引力 托勒密托勒密(C.Ptolemy)地心说地心说一一.开普勒三定律开普勒三定律An early Baroque artists rendition of Claudius Ptolemaeus 哥白尼哥白尼(N.Copernicus)日心说日心说Portrait,1580,Toru Old Town City Hall 第谷第谷(Tycho Brahe)的观测数据，开普勒的观测数据，开普勒(J.Ke

8、pler)的分的分析拟合。析拟合。开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之一。一。轨道定律轨道定律 行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。面积定律面积定律 各行星公转周期的平方正比于其轨道半长轴的立方。各行星公转周期的平方正比于其轨道半长轴的立方。周期定律周期定律Internet Keplaw 设行星绕日轨道近似为圆周，由面积定律，必是匀速圆设行星绕日轨道近似为圆周，由面积定律，必是匀速圆周运动，加速度周运动，加速度注意到注意到 ，并利用开普勒第三

9、定律，并利用开普勒第三定律得到得到 ，若向心力由引力提供，若向心力由引力提供，牛顿提出平方反比引力解释开普勒定律。牛顿提出平方反比引力解释开普勒定律。二二.万有引力定律万有引力定律其中其中m是行星的质量。取比例系数为是行星的质量。取比例系数为K，则得，则得平方反比引力。平方反比引力。K取决于太阳的性质。取决于太阳的性质。牛顿进一步认为，这种引力普遍存在于物质之间。月亮牛顿进一步认为，这种引力普遍存在于物质之间。月亮绕地球运行的力，以及地球上物体的重量来自同一种力绕地球运行的力，以及地球上物体的重量来自同一种力万有引力万有引力。万有引力定律：万有引力定律：所以行星对太阳的引力所以行星对太阳的引力

10、K取决于行星的性质。由牛顿第三定律取决于行星的性质。由牛顿第三定律F=F，可将太阳，可将太阳行星间的引力归纳为一个式子行星间的引力归纳为一个式子 m1、m2是引力质量。是引力质量。Om2m1 质点间的引力定律如何扩展至有限尺度物体？质点间的引力定律如何扩展至有限尺度物体？引力的线性叠加原理引力的线性叠加原理 多个质点对某质点的引力作用多个质点对某质点的引力作用是它们单独存在时对该质点引力作用的叠加。是它们单独存在时对该质点引力作用的叠加。关键是独立性关键是独立性，两个质点间的引力作用不因第三个质点，两个质点间的引力作用不因第三个质点的存在而改变。的存在而改变。将有限大物体无限细分为质量元将有限

11、大物体无限细分为质量元质点质点，利用独立，利用独立原理，可以得到质元间的作用。再将这些作用叠加，得原理，可以得到质元间的作用。再将这些作用叠加，得到有限尺度物体间的引力作用。到有限尺度物体间的引力作用。均匀均匀球体对体外某质点的引力，等效于质量集中于球球体对体外某质点的引力，等效于质量集中于球心的一个质点对该质点的作用。心的一个质点对该质点的作用。质量为质量为M，半径为，半径为R的均的均匀球壳和距球心匀球壳和距球心d处质点处质点m的的引力作用。引力作用。由对称性，作用必沿球心由对称性，作用必沿球心和质点连线。和质点连线。Q点处面积元点处面积元dS对对m引力的引力的轴向分量是轴向分量是PmdRx

12、 引力的几何性。引力场中的动力学问题与物体的物性无引力的几何性。引力场中的动力学问题与物体的物性无关，纯属时空中的几何问题。关，纯属时空中的几何问题。万有引力常数万有引力常数G的测量卡文迪许实验（的测量卡文迪许实验（1798年）。年）。三三.有关讨论有关讨论RecentRecent result result 第二宇宙速度第二宇宙速度 (逃逸逃逸)引力半径引力半径 第一宇宙速度第一宇宙速度 5.4 5.4 有心力有心力一一.有心力场中的基本方程有心力场中的基本方程 若运动质点所受力的作用线始终通过某个定点力心，若运动质点所受力的作用线始终通过某个定点力心，该作用力为有心力该作用力为有心力显然它

13、对力心的力矩显然它对力心的力矩 ，所以对，所以对力心力心的角动量守的角动量守恒，质点在垂直于角动量矢量的平面内运动。恒，质点在垂直于角动量矢量的平面内运动。在此平面内以力心为原点取平面在此平面内以力心为原点取平面极坐标系。动力学方程极坐标系。动力学方程 F（1）（2）Om 将横向方程（将横向方程（2）乘以）乘以 积分一次，得到角动量守恒积分一次，得到角动量守恒（3）关于径向方程（关于径向方程（1）。中心对称下，）。中心对称下，是保守力，相应是保守力，相应的势能减小的势能减小 利用利用(1)d+(2)d，得到，得到积分上式，得到机械能守恒积分上式，得到机械能守恒（4）（3）和（）和（4）是有心力

14、问题的基本方程。）是有心力问题的基本方程。利用（利用（3）可以将（）可以将（1）改写为）改写为可以视为与可以视为与m同样角速度的旋转参考系中受一惯性离心同样角速度的旋转参考系中受一惯性离心力。该力也是有心力，在该参考系中角动量守恒。同时力。该力也是有心力，在该参考系中角动量守恒。同时它也是中心对称的，可表示为势能。（它也是中心对称的，可表示为势能。（4）式改写为）式改写为其中其中 是离心势能。是离心势能。该旋转参考系中有效势能该旋转参考系中有效势能机械能守恒是机械能守恒是二二.有效势能有效势能 在万有引力作用下，机械能守恒是在万有引力作用下，机械能守恒是能量能量E的水平线与有效势能曲线的交点的

15、水平线与有效势能曲线的交点称拱点，这时称拱点，这时 E=0轨道是开放的，分别是双曲线和轨道是开放的，分别是双曲线和抛物线。抛物线。E0轨道是闭合的（椭圆），近、远轨道是闭合的（椭圆），近、远点分别是点分别是椭圆的半长轴椭圆的半长轴（J无关）无关）For a given E with various J values 利用角动量守恒（利用角动量守恒（3）和）和三三.轨道问题轨道问题代入机械能守恒（代入机械能守恒（4），有），有解得解得d/d，并分离变量，并分离变量 单个行星绕太阳运行。将太阳视为静止，轨道平面内取单个行星绕太阳运行。将太阳视为静止，轨道平面内取极坐标，太阳为极点，平方反比引力极坐标，太阳为极点，平方反比引力两边积分，得两边积分，得比照比照 ，是以力心为焦点的圆锥曲线，是以力心为焦点的圆锥曲线偏心率偏心率E0,0,1，双曲线。，双曲线。焦点参数焦点参数椭圆：椭圆：半长轴半长轴 半短轴半短轴 焦点间距之半焦点间距之半开普勒第三定律。由开普勒第三定律。由积分上式积分上式椭圆面积椭圆面积将将 ，代入，得代入，得与行星质量无关。与行星质量无关。