【教学课件】第五篇电磁学.ppt

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1、1 12 2 第五篇第五篇 电磁学电磁学第十一章第十一章 静电场静电场第十二章第十二章 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场第十三章第十三章 电磁感应电磁感应第十四章第十四章 电磁场和电磁波电磁场和电磁波3 3第十一章第十一章 静电场静电场教学基本要求教学基本要求教学基本要求教学基本要求1.掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。2.理解静电场的规律；高斯定理和环路定理。理

2、解用理解静电场的规律；高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。高斯定理计算电场强度的条件和方法。3.了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质中其微观解释。了解各向同性介质中D和和E、H和和B之间之间的关系和区别。了解介质中的高斯定理。的关系和区别。了解介质中的高斯定理。4 4第十一章第十一章 静电场静电场1.11.1电荷电荷,库仑定律库仑定律1.1.物质的电结构物质的电结构质子带正电质子带正电电子带负电电子带负电+e-e 基元电荷基元电荷e=1.61019C中子不带电中子不带电,正负电总和为零正负电

3、总和为零(1)电荷不能产生电荷不能产生,不能消灭不能消灭;只能转移只能转移,中和中和,与分离与分离;(2)带电带电:是失去或得到电子是失去或得到电子.(3)电荷消失电荷消失:是是正负电正负电中和中和.2.2.电荷的量子化电荷的量子化|Q|=NeN Z 3.3.电荷守恒定律电荷守恒定律孤立系统内孤立系统内,无论进行怎样无论进行怎样的的过程过程(物理物理,化学化学,核反应核反应),系系统统内电量的代数和为一常量内电量的代数和为一常量.4.4.点电荷的物理模型点电荷的物理模型其大小远小于问题所涉及的其大小远小于问题所涉及的线度的带电体线度的带电体.(形状任意形状任意)(=r/r)5.5.库仑定律库仑

4、定律q1q2r21F21F21=q1q2 r2k40 1rr3q1q2=(1)(1)真空中的电容率真空中的电容率00=8.851012C2/(Nm2)k无物理意义无物理意义,以后不用以后不用k.k.(2)q1,q2同号同号F=q1q2/(40 r2)0 斥力斥力 q1,q2异号异号F=q1q2/(40 r2)0 斥力斥力 q1,q2异号异号F=q1q2/(40 r2)0,E与与F同向同向q00,E与与F同向同向q00,E与与r同向同向q00,E与与r同向同向q00,E与与r反向反向四四.电场叠加原理电场叠加原理(由力的叠加原理得出由力的叠加原理得出)将带电体分成无数个点电荷将带电体分成无数个点

5、电荷.试验电荷受力为试验电荷受力为q0Fi=q0qiri/(40ri3)F=q0 qiri/(40ri3)E=F/q0E=qiri/(40ri3)=Ei1.1.独立性独立性 任何电荷的电场不任何电荷的电场不因其它电荷的存在而受影响因其它电荷的存在而受影响;2.2.叠加性叠加性 空间电场是所有电空间电场是所有电荷产生电场的矢量和荷产生电场的矢量和.3.3.求电场的基点求电场的基点(1)点电荷激发的电场点电荷激发的电场;(2)电场叠加原理电场叠加原理.4.4.点电荷系激发的电场点电荷系激发的电场1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度9 9q0Fi=q0qiri/(40ri3)F=q0 qir

6、i/(40ri3)E=F/q0E=qiri/(40ri3)=Ei1.1.独立性独立性 任何电荷的电场不任何电荷的电场不因其它电荷的存在而受影响因其它电荷的存在而受影响;2.2.叠加性叠加性 空间电场是所有电空间电场是所有电荷产生电场的矢量和荷产生电场的矢量和.3.3.求电场的基点求电场的基点(1)点电荷激发的电场点电荷激发的电场;(2)电场叠加原理电场叠加原理.4.4.点电荷系激发的电场点电荷系激发的电场1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度E=qiri/(40ri3)5.5.连续带电体激发的电场连续带电体激发的电场E=rdq/(40r3)(1)(1)体电荷体电荷体电荷密度体电荷密度=d

7、q/dVE=rdV/(40r3)(2)(2)线电荷线电荷 截面尺寸远小于长截面尺寸远小于长度度.也远小于问题所涉及线度也远小于问题所涉及线度线电荷密度线电荷密度=dq/dlE=rdl/(40r3)(3)(3)面电荷面电荷厚度远小于表面尺厚度远小于表面尺寸寸,也远小于问题所涉及线度也远小于问题所涉及线度面电荷密度面电荷密度=dq/dSE=rdS/(40r3)1010E=qiri/(40ri3)5.5.连续带电体激发的电场连续带电体激发的电场E=rdq/(40r3)(1)(1)体电荷体电荷体电荷密度体电荷密度=dq/dVE=rdV/(40r3)(2)(2)线电荷线电荷截面尺寸远小于长截面尺寸远小于

8、长度度.也远小于问题所涉及线度也远小于问题所涉及线度线电荷密度线电荷密度=dq/dlE=rdl/(40r3)(3)(3)面电荷面电荷厚度远小于表面尺厚度远小于表面尺寸寸,也远小于问题所涉及线度也远小于问题所涉及线度面电荷密度面电荷密度=dq/dSE=rdS/(40r3)五五.电场强度的计算电场强度的计算EE+rP电偶极子电偶极子1.1.定义定义(物理模型物理模型)其距离较问其距离较问题涉及线度题涉及线度小得多小得多lrq+ql的等量异号的点电荷系统的等量异号的点电荷系统.2.2.电矩电矩(电偶极矩电偶极矩)p=qlq+qlpp与与l同向同向,l从负指向正从负指向正.3.3.电偶极子电场的电场强

9、度电偶极子电场的电场强度(1)(1)延长线上的电场强度延长线上的电场强度q+qlA坐标如图坐标如图OxA的坐标为的坐标为x.1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度1111五五.电场强度的计算电场强度的计算EE+rP电偶极子电偶极子1.1.定义定义(物理模型物理模型)其距离较问其距离较问题涉及线度题涉及线度小得多小得多ll)i 2qxl/(40 x4)=iql/(40 x3)(p=ql=iql)E=2p/(40 x3)E与与p同向同向问题问题A A点在电偶极子左方如何点在电偶极子左方如何?(2)(2)中垂线上的电场强度中垂线上的电场强度E+=qr+/(40r+3)E=qr/(40r3)=q

10、r+/(40r3)=qr/(40r3)1212 E+=qi/40(xl/2)2 E=qi/40(x+l/2)2E=E+E=iq/40(x2l2/4)(x+l/2)2(xl/2)2=iq/(40)1/(xl/2)21/(x+l/2)2(xl)i 2qxl/(40 x4)=iql/(40 x3)(p=ql=iql)E=2p/(40 x3)E与与p同向同向问题问题A A点在电偶极子左方如何点在电偶极子左方如何?Eq+qlByr+E+r(2)(2)中垂线上的电场强度中垂线上的电场强度E+=qr+/(40r+3)E=qr/(40r3)=qr+/(40r3)=qr/(40r3)E=E+E=q(r+r)/(

11、40r3)=ql/(40r3)(yl)=p/(40r3)E与与p反向反向.4.4.电偶极子在电场中受力电偶极子在电场中受力(1)(1)在均匀电场中在均匀电场中q+qE F=qEFF+=qE+F+=qE=qEF=F+F=(qq)E=0r+rM=r+F+rF=r+(qE)+r(qE)=(r+r)(qE)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度1313Eq+qlByr+E+rE=E+E=q(r+r)/(40r3)=ql/(40r3)(yl)=p/(40r3)E与与p反向反向.4.4.电偶极子在电场中受力电偶极子在电场中受力(1)(1)在均匀电场中在均匀电场中q+qE F=qEFF+=qE+F+=

12、qE=qEF=F+F=(qq)E=0r+rM=r+F+rF=r+(qE)+r(qE)=(r+r)(qE)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度=l(qE)=ql E=pE大小大小:M=pEsin 方向方向:p,E,M成右手螺旋成右手螺旋.电偶极子无平动电偶极子无平动,有转动有转动.(2)(2)在非均匀电场中在非均匀电场中F=F+F=qE+qE 0M=r+F+rF=r+(qE+)+r(qE)(r+r)(qE)0=l(qE)=qlE=pE电偶极子有平动电偶极子有平动,也有转动也有转动.1414=l(qE)=ql E=pE大小大小:M=pEsin 方向方向:p,E,M成右手螺旋成右手螺旋.电偶

13、极子无平动电偶极子无平动,有转动有转动.(2)(2)在非均匀电场中在非均匀电场中F=F+F=qE+qE 0M=r+F+rF=r+(qE+)+r(qE)(r+r)(qE)0=l(qE)=qlE=pE电偶极子有平动电偶极子有平动,也有转动也有转动.=dx/40(x2+a2)例例1 1求带电为求带电为q q,长为长为l l的均匀带电的均匀带电直线外一点电场强度直线外一点电场强度.alrdE 解解:元电荷元电荷取坐标取坐标如图如图.xyO取微取微dldq=dl(=q/l)=dxdE=dq/(40r2)E=令令 x/a=cot()=cot x=acot dx=ad/sin2 x2+a2=a2/sin2

14、1=arccot(x1/a)2=arccot(x2/a)=d/(40a)=(2 1)/(40a)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度1515=dx/40(x2+a2)alrdE 解解:元电荷元电荷取坐标取坐标如图如图.xyO取微取微dldq=dl(=q/l)=dxdE=dq/(40r2)E=令令 x/a=cot()=cot x=acot dx=ad/sin2 x2+a2=a2/sin2 1=arccot(x1/a)2=arccot(x2/a)=d/(40a)=(2 1)/(40a)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度dEx=dEcos=dx/(40r2)(x/r)=xdx/(4

15、0r3)=xdx/40(a2+x2)3/2dEx=dEsin=adx/40(a2+x2)3/2=/(40a)cos d=(sin 2sin 1)/(40a)Ey=adx/40(2+x2)3/2Ex=xdx/40(a2+x2)3/2(acot)ad/sin240(a2/sin2)3/2=例例1 1求带电为求带电为q q,长为长为l l的均匀带电的均匀带电直线外一点电场强度直线外一点电场强度.1616dEx=dEcos=dx/(40r2)(x/r)=xdx/(40r3)=xdx/40(a2+x2)3/2dEx=dEsin=adx/40(a2+x2)3/2=/(40a)cos d=(sin 2sin

16、 1)/(40a)Ey=adx/40(2+x2)3/2Ex=xdx/40(a2+x2)3/2(acot)ad/sin240(a2/sin2)3/2=(cos 1cos 2)/(40a)sin d 40a=aad/sin240(a2/sin2)3/2=讨论讨论 1.中垂线上中垂线上 1+2=sin 2=sin 1cos 1=cos 2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=cos 1/(20a)=(q/l)(l/2)/(a2+l2/4)1/2/(20a)=q/40a)(a2+l2/4)1/2(1)当当l a 1=0Ey=/(20a)(2)当当a Ey=q/(40a2)(3)当当a=0

17、带电体不再是线电荷带电体不再是线电荷点电荷点电荷1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度1717=(cos 1cos 2)/(40a)sin d 40a=aad/sin240(a2/sin2)3/2=讨论讨论 1.中垂线上中垂线上 1+2=sin 2=sin 1cos 1=cos 2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=cos 1/(20a)=(q/l)(l/2)/(a2+l2/4)1/2/(20a)=q/40a)(a2+l2/4)1/2(1)当当l a 1=0Ey=/(20a)(2)当当a Ey=q/(40a2)(3)当当a=0带电体不再是线电荷带电体不再是线电荷点电荷点电

18、荷1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度dxd(l+bx)40(l+bx)240r2E=2.2.延长线上延长线上ldlrdE所有电所有电荷元产荷元产生的电场强度都沿生的电场强度都沿x正向正向40=1b1l+bq40b(b+l)=例例2 2求求半半径径为为R R带带电电为为Q Q的的均均匀匀带带电电细细圆圆环环轴轴线线上上一一点点的的电电场强度场强度.ROdEdE 解解:以中心以中心轴为轴为x轴轴.取取x微元电荷微元电荷dqdq=dlrdE1818dxd(l+bx)40(l+bx)240r2E=2.2.延长线上延长线上lxOdlrdE所有电所有电荷元产荷元产生的电场强度都沿生的电场强度都沿

19、x正向正向40=1b1l+bq40b(b+l)=Pb例例2 2求求半半径径为为R R带带电电为为Q Q的的均均匀匀带带电电细细圆圆环环轴轴线线上上一一点点的的电电场强度场强度.ROdEdE 解解:以中心以中心轴为轴为x轴轴.取取x微元电荷微元电荷dqdq=dlrdEdE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dE=dEcos =xdl/(40r3)因对称因对称,dE相互抵消相互抵消.故故E=E=dE=xdl/(40r3)=2 R x/40(x2+R2)3/2=Qx/40(x2+R2)3/2方向沿方向沿x轴轴.讨论讨论如环开一小口如环开一小口a,可用补赏法可用补赏法(1)当当x=0,中心处中心处

20、:E=0E=Qa/(8 2 0R3)求中心场强求中心场强.xEOR/R/(3)Ex曲线曲线:(2)当当xR,E=Q/(4 0 x2)点电荷点电荷E 极大值点极大值点x=R/1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度1919dE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dE=dEcos =xdl/(40r3)因对称因对称,dE相互抵消相互抵消.故故E=E=dE=xdl/(40r3)=2 R x/40(x2+R2)3/2=Qx/40(x2+R2)3/2方向沿方向沿x轴轴.讨论讨论如环开一小口如环开一小口a,可用补赏法可用补赏法(1)当当x=0,中心处中心处:E=0E=Qa/(8 2 0R3)求中心

21、场强求中心场强.xEOR/R/(3)Ex曲线曲线:(2)当当xR,E=Q/(4 0 x2)点电荷点电荷E 极大值点极大值点x=R/1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度例例3 3求求半半径径为为R R带带电电为为Q Q的的均均匀匀圆圆盘盘轴轴线线上上的的场强场强.OP解解:取中心轴为取中心轴为xx轴轴,圆环元电荷圆环元电荷rdrdq=2 rdrdEdE=dqx/40(x2+r2)3/2dE=x rdr/2 0(x2+r2)3/2E=xd(x2+r2)/4 0(x2+r2)3/2=/(2 0)1x/(x2+R2)1/2=Q/(20R2)1x/(x2+R2)1/2当当xR,无限大带电平面无限

22、大带电平面E=/(2 0)2020例例3 3求求半半径径为为R R带带电电为为Q Q的的均均匀匀圆圆盘盘轴轴线线上上的的场强场强.OP解解:取中心轴为取中心轴为xx轴轴,圆环元电荷圆环元电荷rdrdq=2 rdrdEdE=dqx/40(x2+r2)3/2dE=x rdr/2 0(x2+r2)3/2E=xd(x2+r2)/4 0(x2+r2)3/2=/(2 0)1x/(x2+R2)1/2=Q/(20R2)1x/(x2+R2)1/2当当xR,无限大带电平面无限大带电平面E=/(2 0)例例4.4.一一半半径径为为R R的的半半球球面面,均均匀匀地地带带有有电电荷荷,电电荷荷面面密密度度为为.求球心

23、处的电场强度求球心处的电场强度.O解解:x取环带微元取环带微元 dq=dS=2(Rsin)Rd =2R2sin d dEdE=dqx/40(r2+x2)3/2=sin cos d/(2 0)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度2121例例4.4.一一半半径径为为R R的的半半球球面面,均均匀匀地地带带有有电电荷荷,电电荷荷面面密密度度为为.求球心处的电场强度求球心处的电场强度.O解解:x取环带微元取环带微元 dq=dS=2(Rsin)Rd =2R2sin d dEdE=dqx/40(r2+x2)3/2=sin cos d/(2 0)1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度例例5.5

24、.用用绝绝缘缘细细线线弯弯成成的的半半圆圆环环,半半径径为为R R,其其上上均均匀匀地地带带有有正正点点荷荷Q Q,试试求求圆圆心心O O处的电场强度处的电场强度.O解解:xy取园弧微元取园弧微元dl dq=dl=Q/(R)Rd=Qd/dEdE=dq/(4 0r2)=Qd/(420R2)dExdEydEx=dEcos(+)=dEcos dEy=dEsin(+)=dEsin Ex=dEx2222例例5.5.用用绝绝缘缘细细线线弯弯成成的的半半圆圆环环,半半径径为为R R,其其上上均均匀匀地地带带有有正正点点荷荷Q Q,试试求求圆圆心心O O处的电场强度处的电场强度.O解解:xy取园弧微元取园弧微

25、元dl dq=dl=Q/(R)Rd=Qd/dEdE=dq/(4 0r2)=Qd/(420R2)dExdEydEx=dEcos(+)=dEcos dEy=dEsin(+)=dEsin Ex=dEx=Q/(2 20R2)Ey=dEy=0故故 E=Ex=Q/(2 20R2)方向沿方向沿x轴正向轴正向.例例6.6.宽宽为为a a的的无无限限长长带带电电薄薄平平板板,电荷线密度为电荷线密度为,取中心取中心线为线为z z轴轴,x x轴与薄板在轴与薄板在同一平面内同一平面内,y y轴垂直轴垂直薄板薄板.如图如图.求求y y轴上轴上距薄板为距薄板为b b的一点的一点P P的电场强度的的电场强度的大小和方向大小

26、和方向.zxyOabP1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度2323=Q/(2 20R2)Ey=dEy=0故故 E=Ex=Q/(2 20R2)方向沿方向沿x轴正向轴正向.例例6.6.宽宽为为a a的的无无限限长长带带电电薄薄平平板板,电荷线密度为电荷线密度为,取中心取中心线为线为z z轴轴,x x轴与薄板在轴与薄板在同一平面内同一平面内,y y轴垂直轴垂直薄板薄板.如图如图.求求y y轴上轴上距薄板为距薄板为b b的一点的一点P P的电场强度的的电场强度的大小和方向大小和方向.zxyOabP1.2 1.2 电场和电场强度电场和电场强度yxdxdEbP 解解:取无限长取无限长窄条电荷窄条电

27、荷 元元dx,电荷线密电荷线密度度 =dx/adE=/(20r)=dx/(20a)dEx=dEcos=xdx/20a(b2+x2)dEy=dEsin=bdx/20a(b2+x2)Ex=dEx=xdx/20a(b2+x2)=ln(b2+x2)/40a=0Ey=dEy=bdx/20a(b2+x2)2424yxdxdEbP 解解:取无限长取无限长窄条电荷窄条电荷 元元dx,电荷线密电荷线密度度 =dx/adE=/(20r)=dx/(20a)dEx=dEcos=xdx/20a(b2+x2)dEy=dEsin=bdx/20a(b2+x2)Ex=dEx=xdx/20a(b2+x2)=ln(b2+x2)/4

28、0a=0Ey=dEy=bdx/20a(b2+x2)其线上每点的切线都其线上每点的切线都与该点与该点 电场强度方向重合的电场强度方向重合的一条有指向的曲线一条有指向的曲线.=arctan(x/b)/20a=arctanx/(2b)/0aE=Eyi=i arctanx/(2b)/0a1.3 1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理一一.电场线电场线1.1.定义定义形象直观的描述电场形象直观的描述电场E2.2.电场的图示法电场的图示法方向方向:沿切线正向沿切线正向;大小大小:用疏密表示用疏密表示疏疏,E小小.密密,E大大;电场线数密度电场线数密度d e/dS dSndS1.3 电通量电通量 高斯定理高

29、斯定理2525 其线上每点的切线都其线上每点的切线都与该点与该点 电场强度方向重合的电场强度方向重合的一条有指向的曲线一条有指向的曲线.=arctan(x/b)/20a=arctanx/(2b)/0aE=Eyi=i arctanx/(2b)/0a1.3 1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理一一.电场线电场线1.1.定义定义形象直观的描述电场形象直观的描述电场E2.2.电场的图示法电场的图示法方向方向:沿切线正向沿切线正向;大小大小:用疏密表示用疏密表示疏疏,E小小.密密,E大大;电场线数密度电场线数密度d e/dS dSndS1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理E=d e/dS dS E,

30、即即dS E.3.3.几种特殊电场的电场线几种特殊电场的电场线(1)点电荷点电荷正正,发散发散;负负,收敛收敛.(球对称球对称):(3)(3)无限大带电平面无限大带电平面平行平行,等距等距(2)(2)两点电荷两点电荷起于正终于负起于正终于负.4.4.电场线的性质电场线的性质2626E=d e/dS dS E,即即dS E.3.3.几种特殊电场的电场线几种特殊电场的电场线(1)点电荷点电荷正正,发散发散;负负,收敛收敛.(球对称球对称):(3)(3)无限大带电平面无限大带电平面平行平行,等距等距(2)(2)两点电荷两点电荷起于正终于负起于正终于负.4.4.电场线的性质电场线的性质(1)起于正电荷

31、终于负电荷；起于正电荷终于负电荷；(2)不闭合不闭合,不相交不相交,连连续续.EdS 二二.电通量电通量 1.1.定义定义 通过电场中一给定曲通过电场中一给定曲面的电场线的总条数面的电场线的总条数.2.2.表达式表达式(1)过微小曲面过微小曲面dS的电通量的电通量d edSEdS 为为dS在垂直在垂直方向的投影方向的投影dS=dScosd e=EdS =EdScosn=EdS(2)过某曲面过某曲面S的电通量的电通量 e e=1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理2727(1)起于正电荷终于负电荷；起于正电荷终于负电荷；(2)不闭合不闭合,不相交不相交,连连续续.EdS 二二.电通量电通量 1.

32、1.定义定义 通过电场中一给定曲通过电场中一给定曲面的电场线的总条数面的电场线的总条数.2.2.表达式表达式(1)过微小曲面过微小曲面dS的电通量的电通量d edSEdS 为为dS在垂直在垂直方向的投影方向的投影dS=dScosd e=EdS =EdScosn=EdS(2)过某曲面过某曲面S的电通量的电通量 e e=1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理3.3.讨论讨论(1)电通量电通量 e是标量是标量,不是矢量不是矢量;(2)计算电通量时要对面选取计算电通量时要对面选取法线方向法线方向(闭合曲面的法线指闭合曲面的法线指向面外向面外).求电通量大小时一求电通量大小时一般让般让n与与E的夹角小于

33、的夹角小于/2.例例1.1.在点电荷在点电荷Q Q产生的电场中产生的电场中,求求通过如图所示的圆面的电通量通过如图所示的圆面的电通量.xRQ解解:设设圆面法线向圆面法线向左左,n取细圆环面元取细圆环面元dS=2rdrrdrE=Q/40(x2+r2)Ecos=x/(x2+r2)1/2de=EdS=EdScos=2xQrdr/40(x2+r2)3/2=xQrdr/20(x2+r2)3/228283.3.讨论讨论(1)电通量电通量 e是标量是标量,不是矢量不是矢量;(2)计算电通量时要对面选取计算电通量时要对面选取法线方向法线方向(闭合曲面的法线指闭合曲面的法线指向面外向面外).求电通量大小时一求电

34、通量大小时一般让般让n与与E的夹角小于的夹角小于/2.例例1.1.在点电荷在点电荷Q Q产生的电场中产生的电场中,求求通过如图所示的圆面的电通量通过如图所示的圆面的电通量.xRQ解解:设设圆面法线向圆面法线向左左,n取细圆环面元取细圆环面元dS=2rdrrdrE=Q/40(x2+r2)Ecos=x/(x2+r2)1/2de=EdS=EdScos=2xQrdr/40(x2+r2)3/2=xQrdr/20(x2+r2)3/2e=de=xQrdr/20(x2+r2)3/2=xQ/(40)d(r2+x2)/(x2+r2)3/2=xQ/(20)1/(x2+r2)1/2=Q1x/(x2+R2)1/2/(2

35、0)或用或用通过圆面对应球冠面的电通通过圆面对应球冠面的电通量来计算量来计算:S=2R0h=2(R2+x2)1/2(R2+x2)1/2x=2 R2+x2x(R2+x2)1/2E=Q/(40R02)=Q/40(R2+x2)e=ES=Q1/(x2+R2)1/2/(20)1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理2929e=de=xQrdr/20(x2+r2)3/2=xQ/(40)d(r2+x2)/(x2+r2)3/2=xQ/(20)1/(x2+r2)1/2=Q1x/(x2+R2)1/2/(20)或用或用通过圆面对应球冠面的电通通过圆面对应球冠面的电通量来计算量来计算:S=2R0h=2(R2+x2)1/

36、2(R2+x2)1/2x=2 R2+x2x(R2+x2)1/2E=Q/(40R02)=Q/40(R2+x2)e=ES=Q1/(x2+R2)1/2/(20)1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理三三.高斯定理高斯定理求过闭合曲面的电通量求过闭合曲面的电通量1.1.点电荷激发的电场点电荷激发的电场(1)闭合曲面是以闭合曲面是以电荷为心的球面电荷为心的球面Se=EdS=Q/(40r2)dS=Q/(40R2)dS=Q/0(2)闭合曲面是包围点电荷的闭合曲面是包围点电荷的任意曲面任意曲面S e=EdS=e=EdS=Q/0(3)闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷3030三三.高斯定理高斯定理求过闭合

37、曲面的电通量求过闭合曲面的电通量1.1.点电荷激发的电场点电荷激发的电场(1)闭合曲面是以闭合曲面是以电荷为心的球面电荷为心的球面Se=EdS=Q/(40r2)dS=Q/(40R2)dS=Q/0(2)闭合曲面是包围点电荷的闭合曲面是包围点电荷的任意曲面任意曲面S e=EdS=e=EdS=Q/0(3)闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷S电场线进入高斯电场线进入高斯面又穿出高斯面面又穿出高斯面e=EdS=02.2.任意电荷激发的场任意电荷激发的场将其分成若干点电荷将其分成若干点电荷 q=qiq激发电场激发电场E是每个点电荷激是每个点电荷激发电场发电场Ei 的矢量和的矢量和 E=Eie=EdS

38、=EdS=EdS=qint/0qint是高斯面是高斯面S所包围的电荷所包围的电荷.3.3.结论结论 EdS=qint/0这说明通过闭合曲面的电通这说明通过闭合曲面的电通1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理3131S电场线进入高斯电场线进入高斯面又穿出高斯面面又穿出高斯面e=EdS=02.2.任意电荷激发的场任意电荷激发的场将其分成若干点电荷将其分成若干点电荷 q=qiq激发电场激发电场E是每个点电荷激是每个点电荷激发电场发电场Ei 的矢量和的矢量和 E=Eie=EdS=EdS=EdS=qint/0qint是高斯面是高斯面S所包围的电荷所包围的电荷.3.3.结论结论 EdS=qint/0这说明

39、通过闭合曲面的电通这说明通过闭合曲面的电通1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理量量 只与曲面内所包围电荷的只与曲面内所包围电荷的代数和有关代数和有关,与曲面的形状与曲面的形状,曲面外的电荷无关曲面外的电荷无关.注意注意:曲面上的电场强度与曲面上的电场强度与面内外所有电荷有关面内外所有电荷有关.4.4.静电场的一个性质静电场的一个性质静电场是有源场静电场是有源场.(1)当当qint0,有有e0.表明有表明有电场线从电场线从S穿出穿出,面内有面内有正源正源;(2)当当qint0,有有e0,有有e0.表明有表明有电场线从电场线从S穿出穿出,面内有面内有正源正源;(2)当当qint0,有有e0.表明

40、有表明有电场线进入电场线进入S面面,面内有面内有负源负源;(3)当当qint=0,有有e=0.表明电表明电场线进入又穿出场线进入又穿出S,电场线连续电场线连续;三三.高斯定理的应用高斯定理的应用1.1.高斯定理是静电场的基本高斯定理是静电场的基本方程方程2.2.用高斯定理求电场强度用高斯定理求电场强度例例1.1.求求半半径径为为R R带带电电量量为为Q Q的的均均匀匀带电球面在球内外产生的场强带电球面在球内外产生的场强.RQ解解:由于电由于电荷球对称荷球对称,必然电场球必然电场球对称对称:E沿径向沿径向,且且距球心距球心r相等相等处处E大小等大小等.过场点作与过场点作与带电球同心带电球同心的球

41、面的球面,Sr依高依高斯定理斯定理,有有=qint/0Q40R2 1/r2rORE1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理3333三三.高斯定理的应用高斯定理的应用1.1.高斯定理是静电场的基本高斯定理是静电场的基本方程方程2.2.用高斯定理求电场强度用高斯定理求电场强度例例1.1.求求半半径径为为R R带带电电量量为为Q Q的的均均匀匀带电球面在球内外产生的场强带电球面在球内外产生的场强.RQ解解:由于电由于电荷球对称荷球对称,必然电场球必然电场球对称对称:E沿径向沿径向,且且距球心距球心r相等相等处处E大小等大小等.过场点作与过场点作与带电球同心带电球同心的球面的球面,Sr依高依高斯定理斯定

42、理,有有=qint/0Q40R2 1/r2rORE1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理=E=4r2E当当rR:qint=QE=Q/(40 r2)考虑方向考虑方向E=Qr/(40 r3)故故rR:E=Qr/(40r3)均匀带电球面在均匀带电球面在 球内的球内的 场强场强为零为零,在球外的场强等效于将在球外的场强等效于将电荷集中在球心电荷集中在球心 的的 点电荷产点电荷产生的场强生的场强.其其Er关系如图关系如图.用用高斯定理求场强的步骤高斯定理求场强的步骤(1)分析电荷与场的对称性分析电荷与场的对称性;(2)选取合适的高斯面选取合适的高斯面(其其目目的能将的能将 写成写成ES);3434=E=

43、4r2E当当rR:qint=QE=Q/(40 r2)考虑方向考虑方向E=Qr/(40 r3)故故rR:E=Qr/(40r3)均匀带电球面在均匀带电球面在 球内的球内的 场强场强为零为零,在球外的场强等效于将在球外的场强等效于将电荷集中在球心电荷集中在球心 的的 点电荷产点电荷产生的场强生的场强.其其Er关系如图关系如图.用用高斯定理求场强的步骤高斯定理求场强的步骤(1)分析电荷与场的对称性分析电荷与场的对称性;(2)选取合适的高斯面选取合适的高斯面(其其目目的能将的能将 写成写成ES);(3)用高斯定理列方程用高斯定理列方程,解解方方程程,指出场的方向指出场的方向.对称性与对应高斯面对称性与对

44、应高斯面:球对称球对称:球电荷球电荷柱对称柱对称:无限长柱电荷无限长柱电荷面对称面对称:无限大面电荷无限大面电荷柱柱 形形高斯面高斯面球形高斯面球形高斯面高斯面上的高斯面上的E E :大小处处等大小处处等,E dS;大小处处不等大小处处不等,E dS.例例2.2.求求半半径径为为R R带带电电量量为为Q Q的的均均匀匀带电球体在球内外产生的场强带电球体在球内外产生的场强.RQSr1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理3535(3)用高斯定理列方程用高斯定理列方程,解解方方程程,指出场的方向指出场的方向.对称性与对应高斯面对称性与对应高斯面:球对称球对称:球电荷球电荷柱对称柱对称:无限长柱电荷无

45、限长柱电荷面对称面对称:无限大面电荷无限大面电荷柱柱 形形高斯面高斯面球形高斯面球形高斯面高斯面上的高斯面上的E E :大小处处等大小处处等,E dS;大小处处不等大小处处不等,E dS.例例2.2.求求半半径径为为R R带带电电量量为为Q Q的的均均匀匀带电球体在球内外产生的场强带电球体在球内外产生的场强.RQSr1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理解解:因电荷因电荷球球 对称对称,电场电场球球对称对称:E沿径沿径向向,且距球且距球心心r相等处相等处E大大小等小等.过场过场点点作与球同心作与球同心的球面的球面,有有=4r2E当当rR:qint=QE=Q/(40 r2)rORE=qint/0

46、RQSr3636解解:因电荷因电荷球球 对称对称,电场电场球球对称对称:E沿径沿径向向,且距球且距球心心r相等处相等处E大大小等小等.过场过场点点作与球同心作与球同心的球面的球面,有有=4r2E当当rR:qint=QE=Q/(40 r2)rORE=qint/0RQSrE=Qr/(40 R3)rR:E=Qr/(40r3)rR:E=Qr/(40r3)rR:均匀带电球体均匀带电球体 球内场强与球内场强与 r成正比成正比,球外场强等效于将电球外场强等效于将电荷集中在球心荷集中在球心 的的 点电荷产生点电荷产生的场强的场强.其其Er关系如图关系如图.例例3.3.求求半半径径为为R R带带电电线线密密度度

47、为为的的无无限限长长均均匀匀带带电电圆圆柱柱面面在在柱柱内内外产生的电场强度外产生的电场强度.解解:因电荷柱因电荷柱 对称对称,电场柱电场柱 对称对称:E 沿径沿径 向向,且距轴线且距轴线 心心r 相等处相等处E 大小等大小等.过场过场点点 作作 与与 带电带电R柱面同轴的柱面柱面同轴的柱面,其高为其高为h.有有rS20R 1/rrORE1.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理=+E=0+0+2rh=qint/0当当rR:qint=hE=/(20 r)方向垂直轴线并沿径向方向垂直轴线并沿径向.无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面在在柱柱面面内内的的场场强强为为零零,在在柱柱面面外外的的场强等

48、效于将电荷集中在轴场强等效于将电荷集中在轴线的线的无限长均匀无限长均匀线电荷产生线电荷产生的场强的场强.其其Er关系如图关系如图.例例4.4.求半径为求半径为R R带电线密度为带电线密度为的的无限长均匀带无限长均匀带电圆柱体在柱电圆柱体在柱内外产生的电内外产生的电场强度场强度.RrS3838=+rOREE=0+0+2rh=qint/0当当rR:qint=hE=/(20 r)方向垂直轴线并沿径向方向垂直轴线并沿径向.无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面在在柱柱面面内内的的场场强强为为零零,在在柱柱面面外外的的场强等效于将电荷集中在轴场强等效于将电荷集中在轴线的线的无限长均匀无限长均匀线电荷产

49、生线电荷产生的场强的场强.其其Er关系如图关系如图.例例4.4.求半径为求半径为R R带电线密度为带电线密度为的的无限长均匀带无限长均匀带电圆柱体在柱电圆柱体在柱内外产生的电内外产生的电场强度场强度.R解解:因电荷柱因电荷柱 对称对称,电场柱电场柱 对称对称:E 沿径沿径 向向,且距轴线且距轴线rS 1/rRrSr 相等处相等处E 大小等大小等.过场点过场点 作作 同轴柱面同轴柱面,其高为其高为h.有有=+=0+0+2rhE=qint/0当当rR:qint=(r2h)=h/(R2h)(r2h)=hr2/R21.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理3939rORER解解:因电荷柱因电荷柱 对称对称

50、,电场柱电场柱 对称对称:E 沿径沿径 向向,且距轴线且距轴线rS 1/rr 相等处相等处E 大小等大小等.过场点过场点 作作 同轴柱面同轴柱面,其高为其高为h.有有=+=0+0+2rhE=qint/0当当rR:E=r/(20R2)qint=hE=/(20 r)方向垂直轴线并沿径向方向垂直轴线并沿径向.无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱体在在柱柱体体内场强与内场强与r成正比成正比,在在柱面柱面外场强等效于将电荷集中在外场强等效于将电荷集中在轴线的轴线的无限长均匀无限长均匀线电荷产线电荷产生的场强生的场强.其其Er关系如图关系如图.例例5 5.求求面面电电荷荷密密度度为为的的无无限限大大均均