【教学课件】第十一章曲线回归.ppt

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1、第十一章 曲线回归第一节 曲线的类型与特点第二节 曲线方程的配置第三节 多项式回归n曲线回归(curvilinear regression)或非线性回归(non-linear regression)：两个变数间呈现曲线关系的回归。n曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律的方法。n曲线回归分析方法的主要内容有：n 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规律；n 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如回归参数、极大值、极小值和渐近值等；n 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足时作出理论上的外推。第一节 曲线的类型与特点n一、指数函数曲线n二、

2、对数函数曲线n三、幂函数曲线n四、双曲函数曲线n五、S型曲线一、指数函数曲线n指数函数方程有两种形式：图11.1方程 的图象n二、对数函数曲线n对数函数方程的一般表达式为：图11.2 方程 =a a+b blnx x 的图象n三、幂函数曲线n幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线，其方程为：图11.3 方程 的图象n四、双曲函数曲线n双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程一般有以下3种形式：图11.4 方程 的图象n五、S型曲线nS型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故又称生长曲线。nLogistic曲线方程为：第二节 曲线方程的配置n一、曲线回归分析的一般程序n二、指数曲线方程 的配

3、置n三、幂函数曲线方程的配置n四、Logistic曲线方程的配置一、曲线回归分析的一般程序n曲线方程配置(curve fitting)：是指对两个变数资料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过程。n由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基本步骤：n1根据变数X 与Y 之间的确切关系，选择适当的曲线类型。n2对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原理配置直线回归方程，并作显著性测验。n3将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并对有关统计参数作出推断。表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法n应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点：n(1)若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置

4、，需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小的当选。n(2)若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多项式逼近，n(3)当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小二乘法拟合。二、指数曲线方程 的配置n (111)n两边取对数：(112)n令 ，可得直线回归方程：(113)n若 与x的线性相关系数：(114)n显著，就可进一步计算回归统计数：(115)n三、幂函数曲线方程 的配置 (116)n当 y 和 x 都大于0时可线性化为：(117)n若令 ，即有线性回归方程：(118)n 若线性相关系数：(119)n显著，回归统计数：n (1110)n四、Logistic曲线方程的配置n （a、b、k均

5、0）(1111)nK 可由两种方法估计：n 如果y是累积频率，则显然k=100%；n 如果y是生长量或繁殖量，则可取3对观察值 （x1，y1）、（x2，y2）、和（x3，y3），代入(1111)得：n若令 ，解得：移项，取自然对数得：(1113)(1112)n令 ，可得直线回归方程：(1114)n 和 x 的相关系数：(1115)n回归统计数 a 和 b 由下式估计：(1116)第三节 多项式回归n 一、多项式回归方程n 二、多项式回归的假设测验一、多项式回归方程n(一)多项式回归方程式n多项式回归(polynomial regression)：当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式

6、去逼近。n二次多项式，其方程为：(1117)n 三次多项式的方程式为：(1118)n多项式方程的一般形式为：(1119)n(二)多项式方程次数的初步确定n多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势的峰数谷数。若散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。n(三)多项式回归统计数的计算n可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归的统计数。n令 ，(1119)可化为：(1120)n可采用矩阵方法求解。即由和n求得 、和()-1，并由 b=()-1()获得相应的多项式回归统计数。n(四)多项式回归方程的估计标准误n y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：SSy=Uk+Qk(1121)

7、nk 次多项式的离回归标准误可定义为：n即是多项式回归方程的估计标准误。(1122)(1123)n二、多项式回归的假设测验n多项式回归的假设测验包括三项内容：n总的多项式回归关系是否成立？n能否以k-1次多项式代替k次多项式，即是否有必要配到k次式？n在一个k次多项式中，X 的一次分量项、二次分量项、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和平方和并入误差)？n(一)多项式回归关系的假设测验n多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起，具有：。n离回归(Qk)：与X 的不同无，具有 。n可测验多项式回归关系的真实性。(1124)n相关指数：，k 次多项式的回归平方 和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X的多项式的相关密切程度。n决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式说明的部分所占的比率。(1125)n(二)k 次多项式必要性的假设测验n若k次多项式的k次项不显著，可由（k-1）次方程描述Y 与X 的曲线关系。n有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度，对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是否“合算”。因此由：(1127)n可测验k 次多项式的适合性。n(三)各次分量项的假设测验n偏回归平方和：(1128)n此 具有 ，故由：可测验i次分量是否显著。(1129)