【教学课件】第十一节连续函数的运算与性质.ppt

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1、第十一节第十一节 连续函连续函数的运算与性质数的运算与性质一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算二、反函数的连续性二、反函数的连续性五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算定理定理1 1例如例如,二、反函数的连续性二、反函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3证证三、复合函数的连续性三、复合函数的连续

2、性将上两步合起来将上两步合起来:意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解例例2 2解解同理可得同理可得定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是

3、指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例3 3例例4 4解解解解五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质定义定义:例如例如,定定理理7(7(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不

4、一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.定定理理8(8(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证定义定义:几何解释几何解释:几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例5 5证证由零点定理由零点定理,例例6 6证证由零点定理由零点定理,小小 结结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等

5、函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题1.1.2.下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点1.1.2.不正确不正确.例例 函数函数练练 习习 题（一）题（一）练练 习习 题（二）题（二）练习题（一）答案练习题（一）答案