结构力学：第十四章-结构动力学课件.ppt

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1、14-1 概述概述14-2 结构的振动自由度结构的振动自由度 14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 14-6 多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动 第十四章第十四章 结构动力学结构动力学14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-8 振型分解法振型分解法14-9 无限自由度结构的振动无限自由度结构的振动14-10 计算频率的近似方法计算频率的近似

2、方法 静静力力荷荷载载：大大小小、方方向向和和作作用用位位置置不不随随时时间间变变化化，或或变变化化非非常常缓缓慢慢，不不会会促促使使结结构构产产生生显显著著的的运运动动状状态态的的变变化化，结结构构将将处处于于平平衡衡状状态态。计计算算平平衡衡状状态态下下结结构构的的内内力力和和变变形形问问题题称为静力计算。称为静力计算。注意：注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务一、结构动力计算的特点和任务1.动力荷载与静力荷载的区别：动力荷载与静力荷载的区别

3、：随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。称为动力计算。动力荷载（干扰力）：动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载随时间迅速变化的荷载 14-1 概述概述结构动力计算的特点：结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。

4、度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。结构静力计算的特点：结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。规律，与时间无关。2.结构动力计算的特点结构动力计算的特点3.结构动力计算可分为两大类：结构动力计算可分为两大类：自由振动：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。部干扰力作用。强迫振动：强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干

5、扰力作用，则称为强迫如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。振动。4.结构动力计算的任务：结构动力计算的任务：(2)分分析析计计算算动动力力荷荷载载作作用用下下结结构构的的动动力力反反应应，确确定定动动力力荷荷载载作作用用下下结结构构的的位位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1)分析计算自由振动，得到的结构的动力特性分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数自振频率、振型和阻尼参数)；14-1 概述概述 周周期期荷荷载载 随随时时间间周周期期地地

6、变变化化的的荷荷载载。其其中中最最简简单单、最最重重要要的的是是简谐荷载简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类二、动力荷载的分类 简谐荷载简谐荷载1.周期荷载周期荷载非简谐性周期荷载非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。14-1 概述概述在很短的时间内，荷载值急剧减小在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加或增加)，如爆炸时所产生的荷载。，如爆炸时所产生的荷载。2.冲击荷载冲击荷载 3.突加常量荷载突加常量荷载突突然然作作用用于于结结构构上上、荷荷载载值值在在较较长长时时间间内内保保持持不不变变。例例：起起重重机机

7、起起吊吊重重物时所产生的荷载。物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。确定性动力荷载。14-1 概述概述 随随机机荷荷载载（非非确确定定性性荷荷载载）荷荷载载的的变变化化极极不不规规则则，在在任任时时刻刻的的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。随机荷载（非确定性荷载）随机荷载（非确定性荷载）4.随机荷载随机荷载14-1 概述概述结构振动的自由度结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目参数的数目单自由度结构

8、单自由度结构多自由度结构（自由度大于多自由度结构（自由度大于1的结构）的结构）14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。就可确定。由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确确定定绝绝对对刚刚性性杆杆件件上上三三个个质质点点的的位位置置只只需需杆杆件件转转角角(t)便便可可，故为单自由度结构。故为单自由度结

9、构。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度 虽然只有一个集中质点，但其位置需虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移由水平位移x和竖向位移和竖向位移y两个独立参数两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于才能确定，因此振动自由度等于2，为，为多自由度体系。多自由度体系。三三层层平平面面刚刚架架横横梁梁的的刚刚度度可可看看作作无无穷穷大大，结结构构振振动动时时横横梁梁不不能能竖竖向向移移动动和和转转动动而而只只能能作作水水平平移移动动，故故振振动动自自由由度等于度等于3，多自由度体系。，多自由度体系。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度 分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点

10、之间的距离保持不变分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法刚性链杆法来确定结构的来确定结构的振动自由度。振动自由度。刚性链杆法：刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置，有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具具有有两两个个集集中中质质量量，加加入入三三根根链链杆杆即即能能使各质量固定不动其振动自由度为使各质量固定不动其振动自由度为3。注注意意

11、：体体系系振振动动自自由由度度的的数数目目不不完完全全取取决决于于质质点点的的数数目目，也也与与体体系系是是否否静静定定或或超超静静定定无无关关。体体系系的的自自由由度度数数目目与与计计算算假假定定和和计计算算精精度度有有关关。如如果果考考虑虑质质点点的的转转动动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度 实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单

12、自由度或者需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算有限多自由度的问题进行计算集集中中质质量量法法：把把体体系系的的连连续续分分布布质质量量集集中中为为有有限限个个集集中中质质量量(实实际际上上是是质质点点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。论集中质量法。水水塔塔的的质质量量大大部部分分集集中中在在塔塔顶顶上上，可可简简化化成成以以x(t)

13、为位移参数的单自由度结构。为位移参数的单自由度结构。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系无限自由度体系。例例：用用集集中中质质量量法法将将连连续续分分布布质质量量的的简简支支梁梁简简化化为为有有限限自自由度体系。由度体系。将梁二等分，集中成三个集将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。中质量，单自由度体系。将梁将梁三等分三等分，质量集中成四个，质量集中成四个集中质量的集中质量的两个自由度两个自由度体系体系。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度自由振动：自由振动：结构在

14、振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。产生自由振动的原因：产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式初始干扰的形式:（1）结构具有初始位移）结构具有初始位移 （2）结构具有初始速度）结构具有初始速度 （3）上述二者同时存在）上述二者同时存在1.1.不考虑阻尼时的自由振动不考虑阻尼时的自由振动 对对于于各各种种单单自自由由度度体体系系的的振振动动状状态态,都都可可以以用用一一个个简简单单的的质质点点弹弹簧簧模模型型来来描描述。述。梁在梁在质点重量质点重量W作用下的挠曲线称为作用下的挠曲线称为“静平衡位

15、置静平衡位置”。14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动取取图图示示质质点点弹弹簧簧体体系系中中质质点点的的静静力力平平衡衡位位置置为为计计算算位位移移的的原原点点，并并规规定定位位移移y和和质质点点所所受受的的力力都都以以向向下下为为正正。设设弹弹簧簧发发生生单单位位位位移移时时所所需需加加的的力力为为k11，称称为为弹弹簧簧的的刚刚度度；单单位位力力作作用用下下弹弹簧产生的位移为簧产生的位移为11，称为弹簧的称为弹簧的柔度柔度，k11与与11二者之间满足：二者之间满足：无无重重悬悬臂臂梁梁、无无重重简简支支梁梁简简化化单单弹弹簧簧体体系系时时，弹弹簧簧的的刚刚度度系系数数k1

16、1各各等于多少？等于多少？思考：思考：简支梁：简支梁：悬臂梁悬臂梁 ：答：答：14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动 为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其振振动微分方程动微分方程，然后求解。然后求解。振动微分方程的建立方法：振动微分方程的建立方法：（1）刚度法。）刚度法。即列动力平衡方程。设质点即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为在振动的任一时刻位移为y，取质点，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点

17、m上上 的力有：的力有：(a)弹簧恢复力弹簧恢复力该该力力有有将将质质点点拉拉回回静静力力平平衡衡位位置置的的趋趋势势，负负号号表表示示其其方方向向恒与位移恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。的方向相反，即永远指向静力平衡位置。(b)惯性力惯性力负号表示其方向恒与加速度负号表示其方向恒与加速度 的方向相反的方向相反对对于于弹弹簧簧处处于于静静力力平平衡衡位位置置时时的的初初拉拉力力，恒恒与与质质点点的的重重量量mg向向平平衡衡而而抵抵消消，故故振动过程中这两个力都毋须考虑。振动过程中这两个力都毋须考虑。14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动质点在惯性力质点在惯性力F1

18、和恢复力和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：作用下维持平衡，则有：或或将将F1和和Fc的表达式代入的表达式代入令令（14-1）有有（14-2）单自由度结构自由振动微分方程单自由度结构自由振动微分方程14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动（2）柔度法。）柔度法。即列位移方程。当质点即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：应当为：即即同刚度法所得方程同刚度法所得方程此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：此二阶线性常系数齐次微分方程的通解

19、为：(a)(a)(b)(b)由初始条件由初始条件t=0t=0时，有时，有可得到可得到有有(14-3)(14-3)14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动可见可见:单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。令令 ,有有 （14-4）（14-6）其中其中（14-5）位移满足周期运动的下列条件：位移满足周期运动的下列条件：a表示质量表示质量m 的最大动位移，称的最大动位移，称为振幅。其由为振幅。其由常数常数、初始条件初始条件 y0 和和 v0 决定的决定的。是初始位置的相位是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常角，称为初相角。它也取决于常数数

20、、初始条件、初始条件 y0 和和 v0。T 称称为为结结构构的的自自振振周周期期，其其常常用用的的单单位位为为秒秒(s)。自自振振周周期期的的倒倒数数代代表表每每秒秒钟钟内内的的振振动动次次数数，称称为为工工程程频频率率，记记作作f，其其单单位位为为1秒秒(s-1)，或称为，或称为赫兹赫兹(Hz)。(14-7)14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动表示表示2秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志。的单位为的单位为弧度秒弧度秒(rads)，亦常简写为亦常简写为1s(s-1)。从圆周运动的角度来从圆周运动的角度来看，称它为看

21、，称它为圆频率圆频率，一般称一般称为为自振频率自振频率。根据式根据式(14-1)，可给出结构自振频率，可给出结构自振频率的计算公式如下：的计算公式如下：相应地，结构的自振周期相应地，结构的自振周期T T的计算公式为：的计算公式为：式中式中g表示重力加速度，表示重力加速度，st 表示由于重量表示由于重量mg所产生的静力位移。所产生的静力位移。结结构构的的自自振振频频率率和和周周期期只只取取决决于于它它自自身身的的质质量量和和刚刚度度，与与初初始始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。（14-8）14-3 单自由度结构的自由振动

22、单自由度结构的自由振动解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。例例14-1 图示为三种不同支承情况的单跨梁，图示为三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，在梁中点有一集中质常数，在梁中点有一集中质 量量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。据此可得据此可得 随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动2.2.考虑阻尼时的自由振动考虑阻尼时的自由振动物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。物体的自

23、由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。阻阻力力可可分分为为两两种种：一一种种是是外外部部介介质质的的阻阻力力；另另一一种种来来源源于于物物体体内内部部的的作作用用。这这些些统统称称为为阻阻尼尼力力。通通常常引引用用福福格格第第假假定定，即即近近似似认认为为振振动动中中物物体体所所受受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：其中：其中：为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反考虑阻尼时，质点考虑阻尼时，质点m的动力平衡方程为的动力平衡方程为即：即：令令有有(14-9)14-

24、3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动 这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为 解得解得 其特征方程为：其特征方程为：根据阻尼大小不同，现分以下根据阻尼大小不同，现分以下3种情况讨论：种情况讨论：(1)k，即大阻尼情况即大阻尼情况，此时，此时r1和和r2为两个负实数，为两个负实数，式式(14-9)通通 解为：解为：y(t)不是一个周期函数不是一个周期函数,即在大阻尼情况下不会发生振动。即在大阻尼情况下不会发生振动。（14-13）（14-14）(3)k=，即临界阻尼情况即临界阻尼情况此时此时r1,2=-k，方程方程(14-9)的解为

25、的解为y-t 曲线曲线 以上两种情况均不属振动，位移以上两种情况均不属振动，位移时程曲线（时程曲线（y-t 曲线曲线）表示体系从初始表示体系从初始位移出发，逐渐返回到静平衡位置而位移出发，逐渐返回到静平衡位置而无振动发生。无振动发生。y(t)不不是是周周期期函函数数，亦亦即即在在临临界界阻阻尼尼情情况况下下不不会会发发生生振振动动。此此时时，临临界界阻阻尼系数尼系数14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动强迫振动：强迫振动：结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。设质点设质点m受干扰力受干扰力F（t）作用，则质点）作用，则质点m的动

26、力平衡方程为：的动力平衡方程为：即：即：或或(14-18)14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解的特解(14-18)通解通解 特解特解 随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：力等，表达为：(14-19)

27、其中其中 为干扰力的频率，为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：写为：(14-20)设方程的特解为：设方程的特解为：（b）（a）14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动式式(b)代入式代入式(14-20)，得到，得到式式(a)+式式(b)，并引入初始条件，得到，并引入初始条件，得到(14-21)由初始条件决定的自由初始条件决定的自由振动由振动伴生自由振动伴生自由振动按干扰力频率按干扰力频率振动的纯强迫振动或稳态强迫振动振动的纯强迫振动或稳态强迫振动由由初初始始条条件件决决定定的的自自由由振振动动阶阶段段和

28、和伴伴生生自自由由振振动动阶阶段段会会随随时时间间很很快快衰衰减减掉掉，故故称称为为过过渡渡阶阶段段；最最后后只只剩剩下下按按干干扰扰力力频频率率振振动动的的纯纯强强迫迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1.1.不考虑阻尼的纯强迫振动不考虑阻尼的纯强迫振动(14-22)因此，最大动力位移（振幅）为因此，最大动力位移（振幅）为(14-23)其其中中:代表将干扰力最大值代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上时作为静载作用于结构上时引起

29、的静力位移引起的静力位移位移动力系数位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比，代表最大动力位移与静力位移之比当当时时，值值为为负负，表表示示动动力力位位移移与与动动力力荷荷载载的的指指向向相反相反,这种现象仅在不计阻尼时出现。这种现象仅在不计阻尼时出现。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力反应谱（动力放大系数动力反应谱（动力放大系数随频比随频比/变化的关系曲线）变化的关系曲线）动力放大系数动力放大系数的大小反映了结构动力反的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，

30、位移动力系数与内性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。力动力系数是完全一样的。当当 ，通通常常,当当动动力力荷荷载载(即即干干扰扰力力)的的周周期期大大于于结结构构自自振振周周期期的的五五、六六倍倍以以上上时，可将其时，可将其视为静力荷载视为静力荷载。(1)当当时，即时，即/0，这时这时1。这种情况相当于静力作用。这种情况相当于静力作用。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力反应谱动力反应谱(2)当当时，即时，即/1，这时这时。即振幅趋于无限大即振幅趋于无限大,这种现象称为这种现象称为共振。共振。2)实际上由于阻尼的存

31、在共振时振幅不会无限增大。实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。1)共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。注意注意:3)应避开应避开0.75/时，即时，即/1，这时这时值为负值为负值值,并且趋近于零。并且趋近于零。这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止 状态。状态。工程设计中，要求的是振幅绝对值工程设计中，要求的是振幅绝对值,动力反应谱中动力反应谱中/1 1 部部分的分的画在横坐标的上方。画在横坐标的上方。注意注意:14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单

32、自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在在单单自自由由度度体体系系上上，当当干干扰扰力力作作用用在在质质量量上上、扰扰力力作作用用线线与与质质体体的的振振动动位位移移方方向向重重合合时时，其其位位移移动动力力系系数数与与内内力力动动力力系系数数是是完完全全相相同同的的，结结构构的最大动内力可以采用动力系数法求得。的最大动内力可以采用动力系数法求得。如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力建立动力微分方程的微分方程的

33、方法计算。方法计算。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动解：在发电机重量作用下，梁中解：在发电机重量作用下，梁中 点的最大静力位移为：点的最大静力位移为：故自振频率为故自振频率为例例14-2 简支梁中点装有一台电动机，电动机重量简支梁中点装有一台电动机，电动机重量G=35kN。已知梁的惯性矩。已知梁的惯性矩 I=8.810-5 m4，E=210GPa。发电机转动时离心力的垂直分力为。发电机转动时离心力的垂直分力为F=sint，且且F=10KN。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为n=500r/min时，时，梁的最大

34、弯矩和挠度。梁的最大弯矩和挠度。干扰力频率干扰力频率:动力系数动力系数:梁中点的最大弯矩为梁中点的最大弯矩为梁中点的最大挠度为梁中点的最大挠度为14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 质体的动位移质体的动位移 y(t)是以静力平衡位置为零是以静力平衡位置为零点来计算的，因此点来计算的，因此 y(t)中不包括质体的重力影中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（这部分（st=11G）的影响。的影响。注意：注意：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用

35、下的强迫振动运用运用图乘法图乘法可求得可求得 (a)(1)设设惯惯性性力力和和动动力力荷荷载载分分别别为为单单位位力力和和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图.例例14-3 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m，支座支座A 处受动力矩处受动力矩Msint 的作用，的作用，不计梁的质量，试求质点的动位移和支座不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A 处的动转角的幅值。处的动转角的幅值。解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。由建立体系的振动方程来求解。14-4 单自由度

36、结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动式中式中 代代ij入上式，经整理后得入上式，经整理后得 (b)解式解式(b)得稳态解为得稳态解为(c)(2)根据根据叠加原理叠加原理列出动位移列出动位移 质点的动位移是惯性力质点的动位移是惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为加原理可表示为14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动这说明质体动位移尚可应用放大系数计算这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。质质点点的的动动位位移移幅幅值值为为 ，其其中中 为为动动荷荷载载幅幅值值M

37、所引起的质点静位移所引起的质点静位移yst，动力系数。动力系数。支支座座A处处的的动动转转角角也也是是由由惯惯性性力力FI(t)和和动动力力荷荷载载共共同同作作用用下下产产生的，按叠加原理可表示为生的，按叠加原理可表示为由稳态解式由稳态解式(c)可知可知14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动对式对式(c)求导两次后代入上式，可得求导两次后代入上式，可得将式将式(a)和和F*=3M/l代入上式代入上式,得得(c)14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 可见可见,质点位移的动力系数质点位移的动力系数和支

38、座处动转角的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的。是不同的。支支座座A处处的的动动转转角角幅幅值值为为 ,为为动动荷荷载载幅幅值值M所所引起的静转角，引起的静转角，为该动力系数。为该动力系数。其中其中而而 动荷载不作用在质量上动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。一的动力系数来表示。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动由式由式(14-21)的第三项，有：的第三项，有：命命（14-27）（14-28）令令 和和 ，则振幅，则振幅A可写为可写为（14-29）2.有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动14-4

39、单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力系数动力系数不仅与频不仅与频比比有关，而且还与阻尼有关，而且还与阻尼比比 有关。有关。动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图 在在0.75时，则时，则很小，表明质量很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。接近于不动或只作极微小的振动。(1)阻尼对简谐荷载的动力系数阻尼对简谐荷载的动力系数影响较大影响较大简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动(2)在在=1的共振

40、情况下的共振情况下,动力系数为动力系数为 动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图 在考虑阻尼的影响时，在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷大共振时动力系数不是无穷大,而是一个有限值。在研究共而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，阻尼的振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。影响是不容忽略的。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 用求极值的方法确定用求极值的方法确定的最大值发生在的最大值发生在 处处,因因的值通常都很小，近似地将的值通常都很小，近似地将=1时的值作为最大值。时的值作为最大值。(3)最大值并不发生在

41、最大值并不发生在=1处。处。动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当当1时，时，01时，时，/2；当当=1时，时，=/2。(4)阻尼体系的位移阻尼体系的位移y(t)=Asin(t-)和干扰力和干扰力F(t)=sint 不同步，不同步，其相位角为其相位角为。只要有阻尼存在只要有阻尼存在,位移总是滞后于振动荷载。位移总是滞后于振动荷载。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动共振时共振时,=/2,位移方程式为位移方程式为 y(t)=ystcos

42、st=1/(2)，=，c=cc=2m阻尼力为阻尼力为注意到共振时注意到共振时可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。共振时受力特点讨论共振时受力特点讨论:14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 为了减小动力放大系数为了减小动力放大系数，当当 =/1时称时称为为(共振后区共振后区)，这时，应设法减小结构的自振频，这时，应设法减小结构的自振频率率。这种方法称为这种方法称为“柔性方案柔性方案”。动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图讨论：讨论：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构

43、在简谐荷载作用下的强迫振动采采用用冲冲量量方方法法首首先先讨讨论论瞬瞬时时冲冲量量的的动动力力反反应应，在在此此基基础础上上讨讨论论一般动力荷载下的动力反应。一般动力荷载下的动力反应。1.强迫力为一般动力荷载强迫力为一般动力荷载-无阻尼无阻尼(1)瞬时冲量的动力反应瞬时冲量的动力反应假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。由于荷载作用时间极短，可以认由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用为在冲击荷载作用完毕的瞬间，完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的有冲量，可以使处于静止状

44、态的质点获得速度而引起自由振动。质点获得速度而引起自由振动。思考：思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？还是速度？14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 根据动量定律，质点在瞬时冲量根据动量定律，质点在瞬时冲量F t 作用下作用下的动量变化为的动量变化为由于由于v0=0,所以有所以有 原来初位移、初速度为零的体系原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用在冲击荷载作用后的瞬间后的瞬间,变成了初位移为零变成了初位移为零,初速度为初速度为 的自由振的自由振动问题。动问题。由由(14-30)得得14-5 单自

45、由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若若冲冲击击荷荷载载不不是是在在t0，而而是是在在t时时作作用用，则则上上式式中中的的t 应应改为改为(t-)。(14-31)由式由式(14-30)可得在可得在t 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量S引起的动力引起的动力反应。反应。(14-30)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(2)一般动力荷载一般动力荷载F(t)的动力反应。的动力反应。把把整整个个加加载载过过程程看看成成是是由由一一系系列列瞬瞬时时冲冲量量所所组组成成的的。在在时时刻刻t 作作用用的的荷荷载载为为F(t)

46、，此此荷荷载载在在微微分分时时段段 d内内产产生生的的冲冲量量为为dS=F(t)d。根根据据式式(14-31)，此此微分冲量引起的动力反应为：微分冲量引起的动力反应为：(g)对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：称为称为杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分。(14-32)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(14-33)式式中中第第一一、二二项项代代表表自自由由振振动动部部分分，第第三三项项代代表强迫振动部分。表强迫振动部分。(14-32)如果初始位移如果初始位移y0和初始速度

47、和初始速度v0 不为零，则总位移应为：不为零，则总位移应为：14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动2.几种动荷载的动力反应几种动荷载的动力反应 (1)突加长期荷载突加长期荷载 o F(t)t0F 突加长期荷载就是指突然施突加长期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：荷载，它可表示为：如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（h）代入式代入式(9-32)并进行积分后，可得动力位移如下：并进行积分后，可得动力位移如下：（h）(14-34)(14-32)

48、14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动当当t=T/2时，时，y(t)max=2yst，动力系数为动力系数为=2。位移时程曲线图位移时程曲线图(14-34)式中式中 表示在静力荷载表示在静力荷载F0作用下所产生的作用下所产生的静力位移。静力位移。当突加荷载作用当突加荷载作用在系统上的时间超过在系统上的时间超过t=T/2 时就算作长期荷时就算作长期荷载载,这时引起的最大动这时引起的最大动力位移为相应静力位力位移为相应静力位移的两倍。移的两倍。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 其特点是当其特点是当t

49、=0时，时，在质体上突然施加常在质体上突然施加常量荷裁量荷裁F0，而且一直而且一直保持不变，直到保持不变，直到t=t1时时突然卸去。突然卸去。(2)突加短期荷载突加短期荷载 体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。段分别计算再叠加。第一阶段（第一阶段（0tt1）：）：此阶段与突加长期荷载相同，此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式因此动力位移反应仍按公式(9-34)计算。计算。荷载可以看作突加长期荷载荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方图中坐标上方实线及所续虚线部分实线及所续虚线部分)叠加上叠加上t=t1 时突加

50、上来的负时突加上来的负长期荷载长期荷载(F0)(图坐标下方虚线部分图坐标下方虚线部分)。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(14-35)第二阶段第二阶段(tt1)：荷载可以看作突加长期荷载荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线所续虚线部分图中坐标上方实线所续虚线部分)叠加上叠加上t=t1 时的负时的负突加长期荷载突加长期荷载(-F0)(图图9中坐标下方虚线部分中坐标下方虚线部分)。当。当tt1时，有时，有 第一阶段（第一阶段（0tt1）与与突加长期荷载相同，动力位突加长期荷载相同，动力位移反应为移反应为14-5 单自由度结构在任意荷