画法几何：第六周-投影变换课件.ppt

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1、第第 讲讲投影变换投影变换6 6画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换内内 容容6.16.1 换面法换面法6.2 6.2 旋转法旋转法23画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换6.1 6.1 换面法换面法O1OV HABaabb 投影变换的原理极其易懂。但要因题而异、投影变换的原理极其易懂。但要因题而异、灵活运用，其方法是变化多端的。灵活运用，其方法是变化多端的。P1 a1b1 研究如何改变空间几何元素研究如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助所得与投影面的相对位置，借助所得到的新投影进行简便地图解作图。到的新投影进行简便地图解作图。使空间几何元素与投影面处使空间几何

2、元素与投影面处于有利解题的位置，简化作图。于有利解题的位置，简化作图。例如，求一般位置直线的实长，可用直角三例如，求一般位置直线的实长，可用直角三角形法，也可用投影变换完成角形法，也可用投影变换完成(换面法或旋转法换面法或旋转法)。P1AB P1 Ha1b1=AB XX16.1.1 6.1.1 投影变换的目的投影变换的目的3画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换4O1OV HABaabb P1 a1b1XX16.1.2 6.1.2 换面法的概念换面法的概念 换面法换面法空间几何元素的空间几何元素的位置保持不变，用一新的投影位置保持不变，用一新的投影面替换原有的某一投影面，使面替换原有

3、的某一投影面，使得几何元素对新的投影面处于得几何元素对新的投影面处于有利解题的位置。有利解题的位置。6.1.3 6.1.3 选择新投影面的原则选择新投影面的原则有利于解题有利于解题 如：新投影面如：新投影面 (or(or)几何元素几何元素 (应熟练掌握特殊位置几何元素的特性应熟练掌握特殊位置几何元素的特性)新投影面须垂直某一原投影面新投影面须垂直某一原投影面新投影面新投影面新投影轴新投影轴新投影新投影展平方法：展平方法：新投影面新投影面P P1 1绕绕O O1 1X X1 1轴向外旋转轴向外旋转9090 再随再随H H面绕面绕OXOX轴向下旋转轴向下旋转9090被替换投影被替换投影画法几何画法

4、几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换56.1.4 6.1.4 点的换面点的换面一次换面一次换面.aa X ax O H X1 P1 a1.aX1 新、旧投影的关系：新、旧投影的关系：aaaa1 1 O O1 1X X1 1轴轴 a a1 1a aX1X1=aa=aax x (新投影与新轴的距离等于新投影与新轴的距离等于 被替代的投影与原轴的距离被替代的投影与原轴的距离 同时向两轴的外侧度量同时向两轴的外侧度量)二次换面二次换面 a1a2 O2X2a1a2 O2X2轴轴 a2aX2=aaX1a2aX2=aaX1P1 P2 X2.a2aX2V H P1 H P2 P1 O1 O2 画法几何画法几何

5、第第6 6讲讲 投影变换投影变换6一般位置直线变换成一般位置直线变换成投影面平行线投影面平行线aO 空空 间：间：P1P1直线直线投投 影：影：O1X1O1X1轴轴直线的某投影直线的某投影新投影：反映直线的实长及某倾角新投影：反映直线的实长及某倾角a X bbVHX1 HP1a1b1L6.1.5 6.1.5 四个基本问题四个基本问题 一般位置直线一般位置直线平行线平行线 一般位置直线一般位置直线垂直线垂直线 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面O1结论：一般位置直线变换成投影面平行线结论：一般位置直线变换成投影面平行线变换一次即可变换一次即可画法几何画法几

6、何第第6 6讲讲 投影变换投影变换7X2 P2 P1 a2b2空空 间：间：P1P1直线，且直线，且P1HP1H投投 影：影：O1X1O1X1轴轴直线的某投影直线的某投影新投影：反映直线的实长及某新投影：反映直线的实长及某 倾角实际大小倾角实际大小一般位置直线变换成投影面一般位置直线变换成投影面垂直线垂直线对于投影面平行线：对于投影面平行线：空空 间：间：P2P2直线，且直线，且P2P1P2P1投投 影：影：O2X2O2X2轴轴直线的某投影直线的某投影新投影：积聚为一点新投影：积聚为一点O2aO a X bbVHX1 HP1a1b1LO1结论：一般位置直线变换成投影面垂直线结论：一般位置直线变

7、换成投影面垂直线变换两次，即：变换两次，即：一般位置直线一般位置直线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换8一般位置平面变换成投影面垂直面一般位置平面变换成投影面垂直面X O acbab c11V H X1 H P1a1,11b1c1空空 间：间：P P1 1面，且面，且 P P1 1H H 投投 影：影：O O1 1X X1 1轴轴面上投影面平行线反映实长的投影面上投影面平行线反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面垂直面)且反映平面的某倾角实际大小且反映平面的某倾角实际大

8、小O1结论：一般位置平面结论：一般位置平面变换变换成投影面垂直面成投影面垂直面变换一次即可变换一次即可面的投影变换，应以面的投影变换，应以面上的某一条线为主。面上的某一条线为主。当该线当该线某投影面时，某投影面时，则此面在该投影面上的投则此面在该投影面上的投影积聚为一直线。影积聚为一直线。为简化作图，此线应为简化作图，此线应为面上一投影面平行线。为面上一投影面平行线。画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换9一般位置平面变换成投影面平行面一般位置平面变换成投影面平行面X Oacbabc11VHX1 HP1a1,11b1c1空空 间：间：P1P1面面(且且P1H)P1H)投投 影：影：X

9、1X1轴轴面上投影面平行线面上投影面平行线 反映实长的投影反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线面积聚为线(垂直面垂直面)X2 P1P2b2a2c2实形空空 间：间：P2P2面面(即即P2P1)P2P1)投投 影：影：O2X2O2X2轴轴积聚为线积聚为线 的投影的投影新投影：反映图形的实际新投影：反映图形的实际 形状、及夹角实形状、及夹角实 际大小际大小(平行面平行面)O1O2结论：一般位置平面旋转成结论：一般位置平面旋转成 投影面平行面投影面平行面旋转两次旋转两次b1a1abx1o1baxo例：已知直线例：已知直线ABAB的水平投影的水平投影ab

10、ab，点，点A A的正面投影的正面投影a a，以及直线，以及直线ABAB的实长的实长L L。求直线。求直线ABAB的正面投影的正面投影a ab b。LL L画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换10例：例：过线外一点作直线与一般位置直线正交过线外一点作直线与一般位置直线正交abkakbXVHmV1X1Hmk1a1b1m1画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换11例：已知平面例：已知平面ABCABC和平面外一点和平面外一点D D，求点，求点D D到平面到平面 ABCABC的距离，并求出垂线的投影。的距离，并求出垂线的投影。dabcVHXX1HV1acbda1kx1kkxkb1

11、k1c1d1dko1x101kkx=k1kx1画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换12 例：例：求两平面之间的夹角求两平面之间的夹角cACDBPa(b)d bcdaXVHcbadX1HV1d2a2(b2)c2X2V1H2a1b1c1d1 画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换13画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换14.例：求两异面直线的距离。例：求两异面直线的距离。acbabcddO VHHX1 P1a1b1c1d1P1 P2 X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2 为距离实长。为距离实长。l1 的位置？的位置？KL为何种位置线？为何种位置线？分析：

12、分析：只需将其中的一条只需将其中的一条直线变换为投影面直线变换为投影面垂直线即可。垂直线即可。继续，返回到原投影！继续，返回到原投影！XKL为为P2的平行线！的平行线！k1 l1/O2X2轴。轴。O1 O2 画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换15eN ddX1VH1k1e1例：已知点例：已知点E E到平面到平面ABCABC的距离为的距离为N N，求点，求点E E的正面投影的正面投影e e。b1a1c1d1画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换16例：已知点例：已知点E E在平面在平面ABCABC上，距离上，距离A A、B B为为1515，求点，求点E E的投影。的投影。

13、d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换18例：求已知直线与平面的例：求已知直线与平面的夹角夹角的实际大小。的实际大小。m nnm步骤步骤1 1：求求MNMN与与ABCABC的交点的交点K(K(求交求交)过过M M作作MD ABCMD ABC求求 MDMD与与 ABCABC的交点的交点L(L(求交求交)求求MKL(MKL)MKL(MKL)的实形即的实形即acbabc1 122 d de e步骤步骤2 2：过过M M作作MD ABCMD ABC求求 NMD(MND)NMD(MND)的实形的实形 与与NMDN

14、MD互为余角互为余角步骤步骤3 3：换面法换面法?如何换如何换?换几次换几次?画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换19例：求已知直线与平面的例：求已知直线与平面的 夹角夹角的实际大小。的实际大小。m nnmacbabc1 1b1 O1 O X1 HP1 a1,11 c1 m1 n1 X V H 步骤步骤1 1：求求MNMN与与ABCABC的交点的交点K(K(求交求交)过过M M作作MDABCMDABC求求 MDMD与与 ABCABC的交点的交点L(L(求交求交)求求MKL(MKL)MKL(MKL)的实形即的实形即 步骤步骤2 2：过过M M作作MD ABCMD ABC求求NMD(M

15、ND)NMD(MND)的实形的实形 与与NMDNMD互为余角互为余角步骤步骤3 3：换面法换面法?换几次换几次?如何换如何换?新投影面新投影面应垂直于平面、应垂直于平面、且平行于直线！且平行于直线！此时线面夹角此时线面夹角反映实际大小。反映实际大小。画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换20例：试检查空间点例：试检查空间点A A绕绕 O-OO-O轴轴(正平线正平线)旋转时旋转时会不会与平面会不会与平面 BCDEBCDE相相碰撞（作图说明）。碰撞（作图说明）。VHXOX1P1 VO1o1o1 ggffl1 k1 a1f1 g1 此题此题2 2解解分析：分析：点点A A 的旋转轨迹的旋转

16、轨迹 为垂直于为垂直于o oo o 的圆的圆 该圆的正面投影该圆的正面投影 积聚为与积聚为与o oo o垂直垂直 的直线的直线 该圆的水平投影该圆的水平投影 为椭圆，无法直为椭圆，无法直 接画出接画出步骤：步骤：作轨迹圆与已作轨迹圆与已知平面的交线知平面的交线FG(FG(过过a a 作作o o o o的垂线的垂线)换面，将换面，将O-OO-O轴积聚为一点轴积聚为一点(其余见图自明，其余见图自明，不赘述不赘述)若点若点A A与平面相碰，与平面相碰，其正面投影必在该其正面投影必在该 面上且与面上且与o o o o 垂直垂直 的直线上的直线上（即轨迹圆与已知（即轨迹圆与已知 平面的交线）平面的交线）

17、画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换 换面法的概念换面法的概念 选择新投影面的原则选择新投影面的原则 换面法的四个基本问题换面法的四个基本问题要点小结要点小结2122画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换226.2.1 6.2.1 旋转法的概念旋转法的概念 旋转法旋转法投影面保持不动，而使空间几何元素投影面保持不动，而使空间几何元素绕某一轴线旋转，使得几何元素对投影面处于有利绕某一轴线旋转，使得几何元素对投影面处于有利解题的位置。解题的位置。6.2.2 6.2.2 旋转的五要素旋转的五要素旋转轴旋转半径旋转平面旋转对象LSORA旋转中心旋转平面旋转轴 旋转轴旋转轴 旋转中

18、心旋转中心 旋转半径旋转半径 旋转平面旋转平面 旋转对象旋转对象6.2 6.2 旋转法旋转法画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换23旋转轴垂直于某一投影面旋转轴垂直于某一投影面 绕垂直轴旋转绕垂直轴旋转(简称旋转法简称旋转法)旋转轴相对于投影面的位置：旋转轴相对于投影面的位置：旋转轴平行于某一投影面旋转轴平行于某一投影面 绕水平轴旋转绕水平轴旋转画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换246.2.3 6.2.3 绕垂直轴旋转绕垂直轴旋转点点A A 绕垂直于绕垂直于H H 面面的轴的轴L L 旋转：旋转：V aAa1 A1aa1LlO oaa1laa1 lo点的旋转点的旋转结

19、论：结论：水平投影水平投影:点绕点绕o o转一转一角到点角到点a a1 1 正面投影：正面投影：点点a a沿水平线移至点沿水平线移至点a a1 1 ol当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，其运动轨迹：当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，其运动轨迹：在该投影面上的投影为一圆在该投影面上的投影为一圆 在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线 o画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换25a1la1 l直线的旋转直线的旋转b1 aabbb1直线直线ABAB绕垂直于绕垂直于H H面的轴面的轴L L旋转一旋转一角：角：结论：结论：水平投影水平投影:

20、点点a a、b b绕绕 l 转相同的角度转相同的角度到点到点a a1 1、b b1 1 正面投影：正面投影：点点a a、b b分别沿水平线移至点分别沿水平线移至点a a1 1、b b1 1当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影上的投影长度不变其在该投影上的投影长度不变 其对该投影面的夹角保持不变其对该投影面的夹角保持不变abla1b1l注意注意“三同三同“:同轴同轴 同方向同方向 同角度同角度画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换26a1la1 l平面图形的旋转平面图形的旋转b1 b1ABCABC绕垂直于绕垂直于H H面的轴面的轴 L

21、L旋转一旋转一角：角：结论：结论：水平投影水平投影:点点a a、b b、c c绕绕 l 转相同的转相同的角度角度到点到点a a1 1、b b1 1、c c1 1 正面投影：正面投影：点点a a、b b、c分别沿水平线移至点分别沿水平线移至点a a1 1、b b1 1、c1当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影面上的投影形状、大小保持不变其在该投影面上的投影形状、大小保持不变 其对该投影面的夹角保持不变其对该投影面的夹角保持不变 abca1b1c1 c1 aabbc cc1画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换27一般位置直线旋转成一般位

22、置直线旋转成投影面平行线投影面平行线例：例：将一般位置直线将一般位置直线ABAB旋转成正平线。旋转成正平线。6.2.4 6.2.4 四个基本问题四个基本问题 一般位置直线一般位置直线平行线平行线 一般位置直线一般位置直线垂直线垂直线 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面a1la1 lb1 b1aabb选择旋转轴选择旋转轴L L垂直于垂直于H H面面以改变直线以改变直线ABAB与与V V面的相对位置面的相对位置选择旋转轴选择旋转轴L L通过端点通过端点B B简化作图过程简化作图过程结论：一般位置直线旋转成投影面平行线结论：一般位置直线旋转成投影面平行线旋转一

23、次即可旋转一次即可a1b1 等于直线段AB的实长!等于直线与H面夹角的真实大小a1b1 平行于OX轴La1b1=LabA1B1为正平线画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换28a1l1a1 l1b1 b1aabb一般位置直线旋转成投一般位置直线旋转成投影面垂直线影面垂直线b2 a2 a2b2l2l2La2b2=La1b1a2 b2A2B2 为铅垂线例：例：将一般位置直线将一般位置直线ABAB旋转成铅垂线。旋转成铅垂线。选择旋转轴选择旋转轴L L1 1过点过点B B並垂直于並垂直于H H面面将将ABAB旋转成正平线旋转成正平线A A1 1B B1 1结论：一般位置直线旋转成投影面垂直线

24、结论：一般位置直线旋转成投影面垂直线旋转两次，即：旋转两次，即：一般位置直线一般位置直线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线选择旋转轴选择旋转轴L L2 2过点过点A A1 1並垂直于並垂直于V V面面将正平线将正平线A A1 1B B1 1旋转成铅垂线旋转成铅垂线A A2 2B B2 2a2b2 OX画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换29a1llb1k1 aabbc ckka1 b1 c1 c1 k1一般位置平面旋转成投一般位置平面旋转成投影面垂直面影面垂直面k1c1OX轴a1b1c1为一直线kbck1b1c1kbck1b1c1例：例：将一般位置平面将一般位置平面A

25、BCABC旋转成铅垂面。旋转成铅垂面。选择旋转轴选择旋转轴L L垂直于垂直于V V面面以改变直线以改变直线ABAB与与H H面的相对位置面的相对位置作面上正平线作面上正平线CKCK、並选择旋转轴、並选择旋转轴L L通过顶点通过顶点C C简化作图过程简化作图过程结论：一般位置平面旋转成投影面垂直面结论：一般位置平面旋转成投影面垂直面旋转一次即可旋转一次即可A1B1C1为铅垂面画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换30一般位置平面旋转成一般位置平面旋转成投影面平行面投影面平行面a1llb1k1 aabbc ckka1 b1 c1 c1 k1a2b2b2 c2 c2a2 La2b2=La1

26、b1a2b2c2为为ABCABC的实形！的实形！l2l2a2b2平行于平行于OX轴轴例：例：将一般位置平面将一般位置平面ABCABC旋转成正平面。旋转成正平面。作面上正平线作面上正平线CKCK、选择旋转轴选择旋转轴L L1 1通过顶点通过顶点C C、並垂直于並垂直于V V面面将将CKCK旋转成铅垂线、从而将旋转成铅垂线、从而将ABCABC旋转成铅垂面旋转成铅垂面A A1 1B B1 1C C1 1选择旋转轴选择旋转轴L L2 2通过顶点通过顶点B B1 1、並垂直于、並垂直于H H面面将铅垂面将铅垂面A A1 1B B1 1C C1 1旋转成正平面旋转成正平面A A2 2B B2 2C C2

27、2结论：一般位置平面旋转成投影面平行面结论：一般位置平面旋转成投影面平行面旋转两次，即：旋转两次，即：一般位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面A A2 2B B2 2C C2 2为正平面为正平面画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换316.2.5 6.2.5 不指明轴旋转法不指明轴旋转法a1b1k1 aabbc ckka1 b1 c1 c1k1a2b2b2 c2 c2a2 a1b1c1 abcb2a2OX轴k1c1为铅垂线Lb2a2=Lb1a1不指明轴旋转法的特点：不指明轴旋转法的特点：仍然是绕垂直轴旋转法仍然是绕垂直轴旋转法,但不画旋转轴但不画旋转轴

28、 拉开每一步变换的结果拉开每一步变换的结果,避免图形重叠避免图形重叠绕正垂轴旋转绕正垂轴旋转绕铅垂轴旋转绕铅垂轴旋转例：将一般位置平面例：将一般位置平面ABCABC旋转成正平面。旋转成正平面。A1B1C1为铅垂面A2B2C2为正平面画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换326.2.66.2.6绕水平轴旋转法绕水平轴旋转法aabbc ca1b1c1ddoa0aa1aOoomnmnV amMSH SNnmna1oA1AOaSH绕水平轴旋转法的优点：绕水平轴旋转法的优点：只需一次旋转即可以只需一次旋转即可以将平面旋转成水平面将平面旋转成水平面点的旋转规律：点的旋转规律：点的旋转轨迹是点的旋

29、转轨迹是O O为为中心、中心、AOAO为半径的圆为半径的圆平面平面SMN,SMN,故故aaaa1 1mnmn水平轴水平轴铅垂面铅垂面迹线迹线a a1 1o=Ao=A1 1O=AOO=AO点的旋转作图：点的旋转作图：作水平线作水平线MN过点过点a a作作S SH Hmnmn得得o o、o o求出旋转半径实长求出旋转半径实长aoao求实形作图：求实形作图：作面上水平线作面上水平线CDCD作作aocdaocd求求aoao的实长的实长求求a a1 1、b b1 1、c c1 1以以o o为中心求得为中心求得a a1 1画法几何画法几何第第6 6讲讲 投影变换投影变换 旋转法的概念旋转法的概念 旋转法的四个基本问题旋转法的四个基本问题要点小结要点小结33