各种各样的代数运算精选PPT.ppt

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1、各种各样的代数运算第1页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例课件作者：南京师大数科院周兴和1、仿射变换 定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为射影射影仿射变换仿射变换.定理3.1 射影变换保持l：x3=0不变a31=a32=0.证明：(略,见教材).显然,射影仿射变换形如作用于射影仿射平面(拓广平面上).第2页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例1、仿射变换显然,射影仿射变换形如作用于射影仿射平面(拓广平面上).将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式),得称(3.3)

2、决定的变换为仿射变换仿射变换,作用于一般仿射平面上.第3页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例1、仿射变换中,如果矩阵A为正交阵,即满足AA=E,则称为正交变换正交变换,(3.3)的齐次坐标表达式称为射影正交变换射影正交变换.2、正交变换 定义3.2 在仿射变换 注：正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于射影仿射平面上.第4页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 定义 (代数运算代数运算)设A,B,C为集合,为AB到C的一个对应.则称为AB到C的一个代数运算代数

3、运算.特别地,若B=C=A,则称为集合A上的一个代数运算.注：代数运算可以满足结合律,交换律,分配律中的某一个或者全部.以下这些概念都将在近世代数课程中学习,我们仅承认并应用.定义了代数运算的集合称为代数系统代数系统,代数学就是研究代数系统的科学.第5页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 比如,实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算.比如,对于数域F上的向量空间V,数乘向量是FV到V的一个代数运算.有形形式式的集合,更有各种各样的代数运算.比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.比如,sin不是一

4、个代数运算,而sincos是一个代数运算.第6页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 定义3.3 (群群)设G为非空集合.在G上定义一个代数运算,称为乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群群,记作G.注1 定义中的运算是称为称为乘法,未必是通常的乘法.注2 群中的乘法不一定满足交换律.若满足交换律,可以将这种乘法称称为为加法,这样的群称为交换群交换群或加法群加法群或Abel群群.第7页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 例1

5、 设Q*表示全体非零有理数的集合,则Q*对于数的乘法构成群.例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合,则M对于矩阵的乘法构成群.定义3.3 (群群)设G为非空集合.在G上定义一个代数运算,称为乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群群,记作G.第8页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 定义3.4 (子群子群)设G为群,H为G的一个非空子集,若H对于G上的乘法也构成群,则称H为G的一个子群子群.定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.证明.只要由上述(1),(2)推出H对于G的乘法

6、满足群的4个条件(严格证明将来见近世代数课程).第9页，此课件共11页哦第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例一、二维射影变换的特例二、群与变换群二、群与变换群 定义3.5 (群的同构群的同构)两个群G,G之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G之间的一个同构映射同构映射.如果群G与G之间存在一个同构映射,则称G同构同构于G,记作GG.定理3.3 非空集合S上全体全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群.称为集合S上的全变换群全变换群.定理3.4 非空集合S上若干个若干个一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(1)若g1,g2G,则g1g2G.(2)若gG,则g1G.定义3.6 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群变换群.第10页，此课件共11页哦今日无作业今日无作业下周一再见！下周一再见！第11页，此课件共11页哦