【教学课件】第四节平面方程.ppt

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1、第四节第四节 平面方程平面方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程四、两平面间的关系四、两平面间的关系一、平面的点法式方程 若向量n垂直于已知平面，则称向量n为平面 的法线向量.若已知平面过点M0(x0,y0,z0)，且向量n=(A,B,C)为法线向量.可用向量运算建立平面的方程.nM0M=0.设点M(x,y,z)为平面 上的任意一点，则M0M=(xx0,yy0,zz0)必定位于平面上.由于向量n垂直于平面，因此n必垂直于平面上的任一向量，从而有nM0M，则由两向量数量积的坐标表示法可得方程(1)即为过点M0(

2、x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)为法线向量的平面方程.称为点法式方程.例1 求过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量的平面方程.解 由平面的点法式方程可知，过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量的平面方程为2(x1)+(y2)(z+1)=0.二、平面的一般式方程 若将平面的点法式方程变形并记 则可化为方程Ax+By+Cz+D=0，(2)这表明过点M0且垂直于一已知向量的平面总可以表示为x，y，z的一次方程.反过来，对于任给三元一次方程(2)，总有解x0，y0，z0，即有Ax0+By0+Cz0+D=0.(3)式(2)减去式(3)，可得即表明任何一个三元一次方程

3、总表示平面.因此称式(2)为平面的一般式方程.例2 研究平面Ax+By+Cz=0的几何特性.解 注意到原方程等价于 A(x0)+B(y0)+C(z0)=0,这表示所给平面为过原点O(0,0,0)，且以n=(A,B,C)为法线向量的平面.即Ax+By+Cz=0表示过原点的平面.例3 研究Ax+By+D=0所表示平面的几何特性.解 所给平面的法线向量n=(A,B,0).而z轴的方向向量为(0,0,1).由两向量数量积的坐标表示法可得 (A,B,0)(0,0,1)=A0+B0+01=0,可知n与z轴垂直.因此平面Ax+By+D=0平行于z轴.特别当C=D=0时，平面Ax+By=0过z轴.同理可知Ax

4、+Cz+D=0和By+Cz+D=0分别表示平行于y轴和x轴的平面.例4 研究平面Cz+D=0的几何特性.解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行.同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面；By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面.因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面.例5 求过x轴，且过点(1,1,1)的平面方程.解 设过x轴的平面方程为By+Cz=0.由于平面过点(1,1,1)，因此有BC=0，即B=C.将其代入所设方程并化简可得y+z=0为所求平面方程.例6 已知空间中的点M1(2,0,1)，M2(1,1,1)，M3(3,2,1)，求过这三点的平面方程.解法1

5、 设n为所求平面的法线向量.由于M1，M2，M3在 所求平面上，因此M1M2=(12,10,1(1)=(3,1,2),M1M3=(32,20,1(1)=(5,2,2),M1M2，M1M3在所求平面上.即有nM1M2，且nM1M3.由平面的点法式方程，可得2(x2)4(y0)+(z(1)=0,即 2(x2)4y+(z+1)=0 为所求平面方程.解法2 可以利用平面的一般式方程，设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.由于平面过点M1，M2，M3.因此这三点的坐标必定满足平面方程，即有代入所设平面方程并化简可得2x4y+z3=0.三、平面的截距式方程 设平面过点M1(a,0,0)，M2(0,b,

6、0)，M3(0,0,c)三点，下面研究平面的方程(其中a，b，c皆不等于0).设平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0.由于M1(a,0,0)在平面上，因此 Aa+D=0,将A，B，C代入所设的平面方程并化简可得即为所求方程.称为平面的截距式方程.称a，b，c为平面在x轴，y轴，z轴上的截距.例7 若已知某平面在x，y，z轴上的截距分别为1,2,1，求这个平面的方程.解 由平面的截距式方程，可知所求平面方程为即 2x+y2z2=0.截距式方程给出了平面与三个坐标轴的交点，因此，为了画出平面图形，将平面的一般式方程化为截距式方程，然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该平面的图形.例8 试画出平面3

7、x+2y+6z12=0的图形.解 先将所给平面的一般式方程化为截距式方程：可知该平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(4,0,0)，(0,6,0)，(0,0,2).所求平面即以此三点为顶点的三角形所在平面.四、两平面间的关系 两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的夹角.设两平面1，2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)，设这两个法线向量间的夹为 ，则由两向量的夹角余弦公式可知这也是两平面夹角的余弦公式.由两平面的夹角公式可知，平面1和2垂直的充分必要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0，两平面平行的充分必要条件为例9 设平面1，2的方程分别为 2xy+z7=0,x+y+2z11=0，求1，2的夹角.解 1，2的法线向量分别为n1=(2,1,1)，n2=(1,1,2).由两平面的夹角公式有故所给两平面的夹角