【教学课件】第四章量纲分析与相似原理.ppt

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1、第四章第四章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的相似原理相似原理，模型模型实验方法实验方法以及以及量纲分析法量纲分析法。解决流体解决流体力学问题力学问题的方法的方法数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础 第第第第4 4 4 4章章章章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论本章重点掌握：v量纲分析方法（瑞利法、定理）v相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计）4-1 4-1 量纲分析的基本概念量纲分析的基本概念一、单位与量纲单位：表

2、征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。二、基本量纲与基本物理量 1.基本量纲：具有独立性、唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如流速 dimvLT1密度 dimML3 力 dimFMLT2 压强 dim p=M L1 T12.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物理量作为基本物理

3、量。如(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理量相互独立。三、物理方程的量纲齐次性原理凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程 用 除其余各项，可得无量纲方程：4-2 4-2 量纲分析法量纲分析法 常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称 定理）。定理）。一、一、瑞利法 基本思想：假定各物理量之间呈指

4、数形式的乘积组合。例题例题1 1二、定理定理 基本思想：某一物理现象中，共有i个物理量(这些物理量不能由其它物理量组合而成)，这些物理量的基本量纲为j个，则i个物理量存在某种函数关系。例题例题2 2f(x1，x2，xi)=0如果用1，2，i-j表示由x1，x2，xi组成的无量纲量，则有：vF(1，2，i-j)=0 应用应用定理的步骤（定理的步骤（5步）步）：v 确定影响此物理现象的各个物理量 v 从n个物理量中选取m个基本物理量作为m个基本因次的代表。m一般为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度因次，如、V、dv 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理

5、量组合成一个无量纲的无量纲的 项项，一共写出 n3 个 项。v 据因次齐次性求各 项的指数 ai，bi，civ 写出描述物理现象的无因次关系式 4-3 4-3 流动相似的基本概念流动相似的基本概念表征表征流动流动过程过程的物的物理量理量 描述几何形状的描述几何形状的如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性质分几何几何几何几何相似相似相似相似运动运动运动运动相似相似相似相似动力动力动力动力相似相似相似相似流流动动相相似似应应满满足足的的条条件件一一.几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义

6、：模型和原型的全部对应线形长度的模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数比值为一定常数 。（4-14-1）以上标以上标“”表表示模型的有关量示模型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数）长度比例尺（相似比例常数）面积比例尺面积比例尺:（4-2）体积比例尺体积比例尺:（4-3）图图4-1 4-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流满足上述条件，流动才能几何相似动才能几何相似 定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。等，即它们的速度场

7、（加速度场）相似。图图4-24-2速度场相似速度场相似 二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）加速度比例尺加速度比例尺:（4-6）注：长度比例尺和速度比例尺注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺时间比例尺:速度比例尺速度比例尺:（4-4）（4-5）运动粘度比例尺运动粘度比例尺:体积流量比例尺体积流量比例尺:（4-7）（4-8）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力用方向一致、大小

8、互成比例，即它们的动力场相似场相似。图图4-3 4-3 动力场相似动力场相似 三三.动力相似（力相似）动力相似（力相似）（4-104-10）又由牛顿定律可知：又由牛顿定律可知：其中：其中：为流体的密度比例尺。为流体的密度比例尺。（4-94-9）力的比例尺：力的比例尺：动力粘度比例尺动力粘度比例尺:功率比例尺功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型与原型的密度比例尺，长有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。们确定所有动力学量的比例尺。压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺:力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺:

9、（4-11）（4-12）几何相似几何相似是运动相似和动力相似是运动相似和动力相似的前提的前提；动力相似动力相似是决定流动相似的主要是决定流动相似的主要因素；因素；运动相似运动相似是几何相似和动力相似是几何相似和动力相似的表现。的表现。定义：在定义：在几何相似几何相似的条件下，两种物理现的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则象保证相似的条件或准则 。由式由式由式由式(4-10)4-10)得得得得:（4-154-15）（4-164-16）（4-174-17）当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是牛顿相

10、似准则牛顿相似准则牛顿相似准则牛顿相似准则。称为称为牛顿数牛顿数，它是作用力与惯它是作用力与惯性力的比值。性力的比值。或或或或:令令令令:4-4 4-4 流动相似的准则流动相似的准则一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）三、压力相似准则三、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则(柯西准则柯西准则)五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则）流流场场中中有有各各种种性性质质的的力力，但但

11、不不论论是是哪哪种种力力，只只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。一、重力相似准则一、重力相似准则或或或或:令令令令:（4-18）（4-19）（4-20）称为称为弗劳德数弗劳德数，它是惯性力与重力它是惯性力与重力的比值。的比值。当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是重力相似准则重力相似准则重力相似准则重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）。（a）将重力比将重力比 带入式带入式(4-15)得：得：重力场中重力场中 ，则：，则：二、粘性力相似准则二、粘性力

12、相似准则 将粘性力之比将粘性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：或或或或:令令令令:（4-21）（4-22）（4-23）称为称为雷诺数雷诺数，它是惯性力与粘它是惯性力与粘性力的比值。性力的比值。当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是粘性力相似准则粘性力相似准则粘性力相似准则粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）。（b）模型与原型用同一种流体时，模型与原型用同一种流体时，则：，则：三、压力相似准则三、压力相似准则或或或或:令令令令:（4-24）（4-25）（4-26）当压强用压差代替：当压强用压

13、差代替：将压力比将压力比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：称为称为欧拉数欧拉数，它，它是总压力与惯性力是总压力与惯性力的比值。的比值。当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是这就是压力相似准则压力相似准则压力相似准则压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）。（4-27）（4-28）欧拉数欧拉数:欧拉相似准则欧拉相似准则:四、弹性力相似准则（柯西准则）四、弹性力相似准则（柯西准则）将弹性力之比将弹性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：（4-29）或或或或:（4-30）令令令令:（4-31）称为称为柯

14、西数柯西数，它是，它是惯性力与弹性力的惯性力与弹性力的比值。比值。当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则（柯西准则）（柯西准则）。四、弹性力相似准则（马赫准则）四、弹性力相似准则（马赫准则）（4-32）若流场中的流体为气体，由于若流场中的流体为气体，由于 （c c 为声速）为声速）则弹性力之比则弹性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：或或或或:（4-33）令令令令:（4-34）称为马赫数，它称为马赫数，它是惯性力与弹性力是惯性力

15、与弹性力的比值。的比值。称为称为马赫数马赫数，它，它是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力的比值。的比值。当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）（马赫准则）。五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则将表面张力之比将表面张力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得得:（4-35）或或或或:（4-36）令令令令:（4-37）称为称为韦伯数韦伯数，它，它是惯性力与表面张是惯性力与表面张力的比值。力的比值。当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等

16、，即当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是表面张力相似准则表面张力相似准则表面张力相似准则表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）。六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则或或或或:令令令令:（4-38）（4-39）（4-40）将惯性力之比将惯性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：称为称为斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。性力的比值。当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这

17、就是非定常相似准则非定常相似准则非定常相似准则非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则）。以上给出的以上给出的牛顿数牛顿数、弗劳德数弗劳德数、雷诺数雷诺数、欧拉欧拉数数、柯西数柯西数、马赫数马赫数、韦伯数韦伯数、斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数均称均称为相似准则数。为相似准则数。如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。方法是令方程中的有关力与惯性力相比。几点说明：弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则.一般弗劳德准则、雷

18、诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则.流动相似条件流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。都成比例。相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件：v1 1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；v2 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件；流

19、动满足单值条件；v3 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。相似也必须满足的条件。模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题：v1 1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质；型，选择流动介质；v2 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；v3 3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，

20、即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。一、一、模型律的选择 从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则和雷诺准则，故有 即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 即原、模型采用同oxing流体，则将导致 ，失去了模型试验的价值。4-5 4-5 模型试验设计模型试验设计实际应用时，通常只保证主要力相似.一般情况下：有压管流、潜体绕流：明渠流动、绕桥墩流动：选雷诺准则 选弗劳得准则二、模型设计定长度比尺 ，确定模型流动的几何边界；选介质 ，一般采用同一介质：；

21、选模型律.例题例题3 3例题例题1 1 例例11 已知管流的特征流速Vc与流体的密度、动力粘度和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.解解 式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：假定例题例题1 1代入指数方程，则得相应的量纲方程根据量纲齐次性原理，有解上述三元一次方程组得：故得：其中常数k需由实验确定.例题例题2 2 例例22 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度V、流体的密度和动力粘度有关，试用定理量纲分析法建立FD的公式结构.解解 选基本物理量、V、d，根据定理，上式可变为其中假定例题例题2 2对1：解上述三元一次方程组得：故例题例题2 2代入 ，并就FD解出，可得：式中 为绕流阻力系数，由实验确定。同理：例题例题3 3 例例33 已知溢流坝的过流量Q1000m3/s,若用长度比尺CL1/60的模型(介质相同)进行实验研究，试求模型的流量Q.解解 溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳德准则进行模型设计.例题例题3 3由Fr准则：