青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解课件.pptx

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1、第第1212章章 乘法公式与因式分解乘法公式与因式分解12.1 12.1 平方差公式平方差公式 时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长为(m+1)米，宽为(m-1)米的长方形花坛，你会计算改造后的花坛面积吗？你能说出上面乘式中两个因式以及它们乘积的特征吗？积：多项式的积有4项，合并同类项后成为两项；结构：式子左边是m与1的和及m与1的差的乘积，等式右边是这两个数的平方差探索发现由多项式的乘法则可以得到：从而有下面的平方差公式：也就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。aa-ba-bbba边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，剩余面积是多少？把剩余的部分

2、拼接成右图，你能算出面积吗？aa-bb右边：左边：(1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反互为相反数(式);(2)公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方,减去第二项的平方.(3)公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式 特征特征结构结构 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b适当交换合理加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)找一找、填一填找一找、填一填aba2-b21

3、x x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)解：解：解：解：原式=原式=原式=原式=利用平方差公式计算情境导航中提出的问题：解：803797=(800 3)(800 3)=800232=640000-9=639991所以，这个城市广场的面积为639991平方米。要求：练习本写过程，然后再填空！（）（a-2)(a+2)(a2+4)例3、利用平方差公式计算:(x4+y4)(x4+y4)(x4+y4)解:原式=练习3：(1)(1+2x)(12x)=12x2(2)(2a2+b2)(2a2b2)=2a4b4(3)(3m+2n)(3m2n)=3m

4、22n2指出下列计算中的错误：第二数被平方时，未添括号。第一 数被平方时，未添括号。第一数与第二数被平方时，都未添括号。试用语言表述平方差公式(a+b)(ab)=a2b2。应用平方差公式 时要注意一些什么？两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；第第1212章章 乘法公式与因式分解乘法公式与因式分解12.2 12.2 完全平方公式完全平方公式探索发现请用多项式的乘法法则计算：(a+b)2(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2由此得到完全平方公式，即：就是说，两数和的平方

5、等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。bbaa(a+b)ababab+和的完全平方公式：完全平方公式完全平方公式 的几何意义的几何意义(ab)2=?探 究两数差的平方(ab)2=a(b)2=a22a(b)(b)2=a22abb2 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。aabb(a-b)aababbbb差的完全平方公式：完全平方公式完全平方公式 的几何意义的几何意义完全平方公式的结构特点：完全平方公式的结构特点：等号左边两个数的等号左边两个数的和（或差）和（或差）的平方的平方归 纳(a+b)2a2+2ab+b2(a-b)2a2-2ab+b2等号右边是等号左边等号右边是等号左边两

6、个数的平方和加上两个数的平方和加上（或减去）这两个数的乘积的（或减去）这两个数的乘积的2倍倍完全平方有完全平方有3项，首平方，尾平方，项，首平方，尾平方，首尾乘积首尾乘积2倍在中央，中央符号同前方倍在中央，中央符号同前方口诀：例例1 1、运用完全平方公式计算：、运用完全平方公式计算：解解:(4m+n)2=16m2(4m)2+2(4m)n+n2+8mn+n2解：解：(x-2y)2=x2x2-2x 2y+(2y)2-4xy+4y2思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?互为相反数的两数的偶数次幂相等。互为相反数的两数的偶数次幂相等。解：原式=解：原式=正+正负+

7、正正+正这样就将4种情况转化为2种情况了！解：解：（1）1022=(100+2)2=10000+400+4=10404解：解：（2）992=(100 1)2=10000-200+1=9801 例例3 3、运用完全平方公式计算：、运用完全平方公式计算：下面各式的计算是否正确？如果不正确，下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2错错错错错错错错(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(-x+y)2=x2-2xy

8、+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同结果不同：结果不同：完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项，即即(a+b)2a2+2ab+b2;平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项，即即(a+b)(ab)a2b2.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方平方公式公式的条件，即为的条件，即为“两数和的平方两数和的平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a和和b、对照公式原形的两边、对照公式原形的

9、两边,做到不做到不丢项、丢项、2ab时不少乘时不少乘2；第一；第一(二二)数数被平方时要注意添括号被平方时要注意添括号,是是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键运用完全平方公式进行多项式乘法的关键第第1212章章 乘法公式与因式分解乘法公式与因式分解12.3 12.3 用提公因式法进行因式分解用提公因式法进行因式分解 导学提纲 自学教材，理解以下内容。1、什么是因式分解？因式分解与整式乘法有什么不同？2、什么是多项式的公因式？怎样确定公因式？3、什么是提公因式法？怎样用提公因式法进行因式分解？整式乘法与因式分解互为逆运算。因式分解的定义因式分解因式分解整式乘法整式乘法积和 把一个把一个多项式多

10、项式化成几个化成几个整式整式的的积积的形式的形式,这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是整式的乘积的形式.下列变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是整式的乘积的形式.温馨提示温馨提示 （）（）（）（）（）因式分解因式分解：解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式公因式的定义8ab4ab2c的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低

11、次幂次幂公因式公因式4ab一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数步骤步骤议一议议一议问:多项式中的公因式是如何确定的？多项式各项系数的最大公约数。多项式各项系数的最大公约数。（当（当系数是整数时）系数是整数时）定系数：定系数：多项式各项中都含有的相同的字母。多项式各项中都含有的相同的字母。相同字母的指数取各项中字母的最低相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。次幂。定字母：定字母：定指数：定指数：练习二练习二 口答：找出下列各多项式中的公因式：（1）ax+ay+a （2）6a3b23a2b212a2b3 （3）4x2+10 xy （4）(a+b)2y+(a+b)y2 a(a+b)y3a

12、2b22x提示：提示：公因式公因式可以是单项式，可以是单项式，也可也可以是多项式以是多项式。因式分解因式分解：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。探探索索发发现现解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法 典例探讨典例探讨（2）解:4x2y 16xy+8x2=(4x2y+16xy 8x2)(4x xy+4x 4y 4x 2x)4x(xy+4y 2x)用提公因式法分解因式的步骤：用提公因式法分解因式的步骤：第一步：找出

13、公因式；第二步：确定另一个因式；第三步：将多项式化成两个因式乘积的形式。典例探讨典例探讨小冬解的有误吗？小冬解的有误吗？把把 8 a 3 b2 12ab 3 c+ab分解因式分解因式.解：8 a3b2 12ab3c+ab =ab8a2b-ab12b2 c+ab1 =ab(8a2b-12b2c)例例3 32 2、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数一看系数二看字母三看指数小小结结3 3、提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤(分三步分三步)：第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式；第二步，提公因式；第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。第三步，

14、将多项式化成两个因式乘积的形式。1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（2 2）小心漏项）小心漏项（1 1）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号第第1212章章 乘法公式与因式分解乘法公式与因式分解12.4 12.4 用公式法进行因式分解用公式法进行因式分解复习回顾复习回顾平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？123什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么是什么?因式分解与整式乘法有什么区

15、别和联系？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？完成下面填空并思考：（一）根据乘法公式计算：（二）根据等式的对称性填空_；_；_；_；_；_；_；_；（三）思考：、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？、对比（一）和（二）你有什么发现？后退继续乘法公式：因式分解：后退继续 作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。把 ;。一、说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？讨论：因式分解时，平方差公式 有什么特征？二、说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？;。讨论：因式分解时，完全平方公式 有什么特征？后退继续探究公式的结构特征平方差公式的结构特征：（1）左

16、边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反；（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差。返回探究公式的结构特征完全平方公式的结构特征：（1）左边是三项式，有两项都为正且能够写成平方的形式，另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍。（2）右边是两平方项底数和的平方。返回利用公式法进行因式分解例1 把下列各式进行因式分解：分析：在（1）中，可以把 看成是 ，把25看成是52；请独立完成第（2）题，你能行！后退继续利用公式法进行因式分解例2 把下列各式进行因式分解：分析：在（1）中，可以把 看成是 ，把4看成是 22 请分析第（2）题的特点并完成它，你一定能行！后退继续利用公式法进行因式分解把下列各式进行因式分解：后退继续