弹性与塑性力学基础-第1章-应力分析课件.ppt

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1、哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院弹性与塑性力学基础弹性与塑性力学基础第第 一一 章章应应 力力 分分 析析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.1应力定义应力定义 1.1.2应力的方向性应力的方向性1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2任意倾斜面上的正应力任意倾斜面上的正应力、全应力全应力S、剪应力剪应力 表示方法表示方法1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应

2、力莫尔圆 1.3.1主方向、主平面、主应力的概念主方向、主平面、主应力的概念 1.3.2应力不变量的概念应力不变量的概念 1.3.3任意方向截面应力的主应力的表达任意方向截面应力的主应力的表达 1.3.4三维应力状态应力莫尔圆三维应力状态应力莫尔圆弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 1-5正八面体剪应力正八面体剪应力 1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.1张量概念张量概念 1.6.2应力张量概念应力张量概念 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量 1.6.4应

3、变速率张量应变速率张量 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.1应力定义应力定义 应应力是指当物体中一微元面积力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力趋近于零时，作用在该面积上的内力P与与A比值的极限，即比值的极限，即(1-1)当物体受外力当物体受外力P1、P2、P3、作用时，产生与诸外力相平衡的内力。作用时，产生与诸外力相平衡的内力。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析作用于变形体作用于变形体中某一微元

4、面中某一微元面积的内力积的内力P哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.2应力的方向性应力的方向性 应力与方向有关，例如简单拉伸。应力与方向有关，例如简单拉伸。垂直于轴线平面上的应力垂直于轴线平面上的应力(1-2)式中：式中：P轴向力；轴向力；A0垂直于轴线的横截面面积。垂直于轴线的横截面面积。而当所截平面的法线与轴线成而当所截平面的法线与轴线成角时，角时，由于斜面的面积增大由于斜面的面积增大(由由A0A0/cos)，相应的轴向应力为相应的轴向应力为(1-3)随着随着增大，截平面越来越倾斜，增大，截平面越来越倾斜，应力也就越来越小

5、。应力也就越来越小。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析单单向向拉拉伸伸时时轴轴向向应应力力值值随随截截面面方方位位变变化化哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.2应力的方向性应力的方向性 为了便于研究，通常将任意方向为了便于研究，通常将任意方向截面上的应力分解为两个分量：截面上的应力分解为两个分量：垂直于截面的分量（正应力）垂直于截面的分量（正应力）平行于截面的分量（剪应力）平行于截面的分量（剪应力）显然，有：显然，有：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析

6、单单向向拉拉伸伸时时轴轴向向应应力力值值随随截截面面方方位位变变化化哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界只存在正应力情况边界只存在正应力情况 平面应力状态如图所示，平面应力状态如图所示，假设假设 z=0。x 1，y 2，任意截面上任意截面上BC：(,)设截面设截面BC的面积的面积A，AC面积为面积为Acos，AB的面积为的面积为Asin。沿沿BC面的法线方向力的平衡方程为：面的法线方向力的平衡方程为：即：即：(1-4)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分

7、析应力分析边边界界存存在在正正应应力力时时斜斜截截面面受受力力图图哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 沿沿a-aa-a方向方向,力的平衡方程为：力的平衡方程为：即：即：(1-5)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析边边界界存存在在正正应应力力时时斜斜截截面面受受力力图图哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 由式由式(1-4)和和(1-5)，

8、将，将 消去后，可得：消去后，可得：(1-7)应力圆：任一截面正应力应力圆：任一截面正应力 与剪应力与剪应力 关系图关系图确定任一截面上确定任一截面上 的的 和。和。坐标系：坐标系：圆圆心：心：轴上点轴上点半半径：径：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析 应力圆应力圆 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 任一截面上任一截面上的的 和和 确定方法：确定方法：取任一截面上法向取任一截面上法向 和和 的值。第一主应力截面法向夹角的值。第一主应力截面法向夹

9、角 的二倍的二倍2，由，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于轴逆时针旋转，应力圆上对应于2 点的点的 轴上的轴上的 和和 的值。的值。最大剪应力确定方法：出现于最大剪应力确定方法：出现于或或的截面上，即的截面上，即出出现现在在图图中中的的 的的截截面面上上，最最大大剪剪应应力力的的值值为为 。2=0情况下应力圆：应力圆将切于情况下应力圆：应力圆将切于 上，最大剪应力值等于上，最大剪应力值等于。1=2=0的的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上将有将有=0。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大

10、（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况 如图所示，如图所示，x x、；y y、任意截面上任意截面上BC：(，)设截面设截面BC的面积的面积A，AC面积为面积为Acos，AB的面积为的面积为Asin。沿沿BC面的法线方向力的平衡方程为：面的法线方向力的平衡方程为：沿沿BC面的切线方向力的平衡方程为：面的切线方向力的平衡方程为：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析边界同时存边界同时存在正应力、在正应力、剪应力时斜剪

11、应力时斜截面受力图截面受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况 整理后，得整理后，得(1-8)或或(1-9)消去消去 后，则得后，则得(1-10)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情

12、况 坐标系：坐标系：参参数：数：x、y和和 xy圆圆心：心：轴上点轴上点半半径：径：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析应力莫尔圆应力莫尔圆 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况主应力状态主应力状态 1、2和和 0的确定的确定剪应力为零时的正应力的值为剪应力为零时的正应力的值为(1-11)根据式根据式(1-9)的第二式，当的第二式，当=0时，时，0则可得则可得(1-12)式式(1-12)也

13、可参照应力圆直接列出。也可参照应力圆直接列出。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况如果如果 0 0为方程式为方程式(1-12)的最小正根，的最小正根，则其他的根则其他的根 1，2，3，n，可由下式确定可由下式确定即即(1-13)当当时，便可确定时，便可确定=0时，时，x及及 y分别分别获得极值时的值，即互相垂直的两个主应力值。获得极值时的值，即互相垂直的

14、两个主应力值。角角 0和主应力可以在应力莫尔圆上的确定和主应力可以在应力莫尔圆上的确定弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况在在(，)平面内，平面内，横坐标轴上取横坐标轴上取作为圆心作为圆心,取取为为或或，在在及及处取处取 xy的值作为纵坐标的值作为纵坐标在在点，点，取取 xy为正值，得到应力圆的半径为正值，得到应力圆的半径CP1它等于它等于弹弹性性与与塑

15、塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-1单向及平面应力状态分析单向及平面应力状态分析 1.1.3平面应力状态应力关系平面应力状态应力关系 边界同时存在正应力、剪应力情况边界同时存在正应力、剪应力情况按式按式(1-11)，线段，线段OA和和OB表示主应力表示主应力主应力主应力 1与与x轴正向角度轴正向角度 0是是ACP1之半之半由图也可以看出，最大剪应力由图也可以看出，最大剪应力(1-14)即等于主应力差的一半，并且出现于即等于主应力差的一半，并且出现于与主应力截面成与主应力截面成/4/4 的截面上，故可实际物体中的截面上，故可

16、实际物体中平面之夹角在应力莫尔圆中所对应的平面间圆心角被放大了一倍。平面之夹角在应力莫尔圆中所对应的平面间圆心角被放大了一倍。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 从受力物体中取出任一无穷小四面体从受力物体中取出任一无穷小四面体三个面与坐标面平行，三个面与坐标面平行，第四个面法线第四个面法线n方向余弦是方向余弦是l、m、n。正应力总是沿着作用面的法线方向正应力总是沿着作用面的法线方向剪应力两个下标说明所在的

17、面剪应力两个下标说明所在的面(用外法线方向表示用外法线方向表示)与作用方向，与作用方向，例如例如 yx表示剪应力所在面与表示剪应力所在面与y轴垂直，轴垂直，它的方向与它的方向与x轴平行。轴平行。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表1-1中。中。表表1-1四面体个面上的应力分布四面体个面上的

18、应力分布弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 面的名面的名称称外法线外法线方向方向面积面积应力投影应力投影X X轴轴Y Y轴轴Z Z轴轴YOZ-X1/2dydz-x-xy-xzXOZ-Y1/2dzdx-yx-y-yzXOY-Z1/2dxdy-zx-zy-z倾斜面倾斜面NdASxSySz哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 在四面体面上的力作用于相应面的重心上。体积力忽略不计。在四面体面上的力作用于相应面的重心上。体积力

19、忽略不计。x轴上轴上力的平衡力的平衡条件为条件为(1-15)平面图形投影几何关系有平面图形投影几何关系有 (1-16)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 将式将式(1-16)代入式代入式(1-15)便可得到便可得到Sx的表达式。的表达式。用同样的方法用同样的方法,可得到可得到Sy、Sz的的表达式，即表达式，即:(1-17)作用在任意倾斜面上的应力分量作用在任意倾斜面上的应力分量

20、可以用作用在相互垂直的三个面可以用作用在相互垂直的三个面 上的应力分量来表示。上的应力分量来表示。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.1任意倾斜面上的应力分量表示方法任意倾斜面上的应力分量表示方法 如果作用在物体表面上的外部载如果作用在物体表面上的外部载荷用荷用Fx,Fy,Fz表示表示,于是式于是式(1-17)中的中的Sx,Sy,Sz都换成都换成Fx,Fy,Fz，即即式式(1-17)可作为可作为应力的边界条件应力的边界条件。(1-17)上式中

21、，上式中，Fx,Fy,Fz 为作用在物体为作用在物体 表面上的已知面力分量表面上的已知面力分量(注意：非集中载荷注意：非集中载荷)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.2任意倾斜面上的正应力任意倾斜面上的正应力、全应力、全应力S S、剪应力剪应力 表示方法表示方法 设点设点C是四面体的重心，如果通过是四面体的重心，如果通过C点画一条与点画一条与z轴平行的轴轴平行的轴z，这，这时作用在四面体各面的时作用在四面体各面的12个分力个分力除两个应力除两

22、个应力 yx及及 xy外，或与外，或与z轴轴平行，或通过平行，或通过z轴。轴。对轴的力矩方程为对轴的力矩方程为由此可得由此可得用相同的方法可以得到用相同的方法可以得到 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 C哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.2任意倾斜面上的正应力任意倾斜面上的正应力、全应力、全应力S S、剪应力剪应力 表示方法表示方法 受力物体内一点的应力状态，可用三个相互垂直面上的应力分量受力物体内一点的应力状态，可用三个相互垂直面上的应力分量 x，y，z以及以及 xy，y

23、z，zx确定确定。即：斜面上正应力即：斜面上正应力、全应力全应力S及及剪应力剪应力 可由下式确定：可由下式确定：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析四面体受力图四面体受力图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.2任意倾斜面上的正应力任意倾斜面上的正应力、全应力、全应力S S、剪应力剪应力 表示方法表示方法 例题例题1 1设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定，即设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定，即 x=0，xy=1，xz=2，y=2，yz=0，z=1，试求通过点作用在其方向余试求通过点作用在其

24、方向余弦为弦为的斜面上的正应力、剪应力和全应力。的斜面上的正应力、剪应力和全应力。解：解：由式由式(1-17)，得斜面上全应力的各分量为，得斜面上全应力的各分量为弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-2三维应力状态分析三维应力状态分析 1.2.2任意倾斜面上的正应力任意倾斜面上的正应力、全应力、全应力S S、剪应力剪应力 表示方法表示方法 例题例题1 1所以，所以，全应力全应力:正应力正应力:剪应力剪应力:弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院

25、材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.1主方向、主平面、主应力的概念主方向、主平面、主应力的概念 主方向主方向：物体内某一方向单元面积上，剪应力等于零，则此方物体内某一方向单元面积上，剪应力等于零，则此方向称为主方向。向称为主方向。主平面：与主方向相垂直的平面。主平面：与主方向相垂直的平面。主应力：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力,用用 p表示。表示。主应力主应力 p与主平面上全应力与主平面上全应力S为为同一应力同一应力因此因此,有有:(1-19)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工

26、大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.2应力不变量的概念应力不变量的概念 将式将式(1-19)代入式代入式(1-17)，整理为，整理为(1-20)由几何关系可知由几何关系可知(1-21)根据式根据式(1-20)与式与式(1-21)可以确定四个未知量可以确定四个未知量l、m、n、p。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.2应力不变量的概念应力不变量的概念 式式(1-21)l

27、、m、n不能同时为零。式不能同时为零。式(1-20)包含三个未知量包含三个未知量l、m、n 的线性齐次方程，若有非零解，则方程组系数行列式应等于零，即的线性齐次方程，若有非零解，则方程组系数行列式应等于零，即(1-22)展开行列式后，得展开行列式后，得:(1-23)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.2应力不变量的概念应力不变量的概念式中式中(1-24)I1、I2、I3分别称为第一、第二和第三应力不变量。分别称为第一、第二和第三应力不变

28、量。应力不变量的解释：应力不变量的解释：(1)主应力其大小与方向，在物体形状和引起内力变化因素确定后，主应力其大小与方向，在物体形状和引起内力变化因素确定后，便是完全确定的，它不随坐标系的改变而变化。便是完全确定的，它不随坐标系的改变而变化。(2)当坐标变换时，虽然每个应力分量都将随之改变，但这三个量是当坐标变换时，虽然每个应力分量都将随之改变，但这三个量是 不变的。不变的。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3任意方向截面上应力的主应

29、力表达任意方向截面上应力的主应力表达 由式由式(1-23)可知，主应力有可知，主应力有3个，常用个，常用 1，2，3表示，其中每个表示，其中每个主应力作用面的法线方向与坐标之间夹角的方向余弦可由式主应力作用面的法线方向与坐标之间夹角的方向余弦可由式(1-20)及及(1-21)求出。可以证明，求出。可以证明，3个主方向是相互垂直的个主方向是相互垂直的。若三个坐标轴的方向为主方向，分别用若三个坐标轴的方向为主方向，分别用1、2、3表示。则由表示。则由(1-18)式可得出任意斜面上的正应力为：式可得出任意斜面上的正应力为：(1-25)因为此时由式因为此时由式(1-17)有：有：，(1-26)全应力的

30、平方为：全应力的平方为：(1-27)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3任意方向截面上应力的主应力表达任意方向截面上应力的主应力表达 根据式根据式(1-25)、式、式(1-27)以及式以及式(1-21)，即，即可以求出用可以求出用、以及以及 1、2、3表示的表示的l2、m2，n2，其表达式为其表达式为(1-28)主应力平面示意图主应力平面示意图弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大

31、（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.3任意方向截面上应力的主应力表达任意方向截面上应力的主应力表达 上式中上式中(1-29)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4三维应力状态应力莫尔圆三维应力状态应力莫尔圆 如果设如果设 1 2 3，由于由于l2、m2、n2永远是非负值永远是非负值，所以式，所以式(1-28)(1-28)中右端的分子和分母应有相同的正负号，在中右端的分子

32、和分母应有相同的正负号，在m2的表达式中，由于分的表达式中，由于分母是负数，所以分子也应当为负数，即母是负数，所以分子也应当为负数，即(1-30)可以将上式写成可以将上式写成(1-31)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4三维应力状态应力莫尔圆三维应力状态应力莫尔圆 在在、坐标中，式坐标中，式(1-31)取等号后，则表示一个圆的方程式：取等号后，则表示一个圆的方程式：半径：半径：；圆心：；圆心：轴上为轴上为 ；正应力和剪应力在以正应力

33、和剪应力在以 为半径的圆所围绕的区域之内。为半径的圆所围绕的区域之内。同样由同样由l2和和m2表达式，表达式，可得可得(1-32)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆三维应力状态的主应力及应力莫尔圆 1.3.4三维应力状态应力莫尔圆三维应力状态应力莫尔圆 和和 应当在以应当在以和和为半径的两个圆围绕区域之外为半径的两个圆围绕区域之外应力应力 和和 应当在以三个应力圆应当在以三个应力圆所围成阴影所示的范围之内所围成阴影所示的范围之内由应力圆可看出最大剪应力等于由应力圆可看出最大剪

34、应力等于最大和最小主应力值之差的一半最大和最小主应力值之差的一半三维应力三维应力莫尔圆莫尔圆弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 根据几何关系式（根据几何关系式（1-21）有）有由式（由式（1-18）、式（）、式（1-25）及式（）及式（1-26）可写出）可写出 2的表达式的表达式(1-33)将将n2(1-l2-m2)代入，可得：代入，可得：(1-34)为了求出为了求出 的极值，取对的极值，取对l和和m的偏导数并令它等于零，有的偏导数并令它等于零，有(1-35)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学

35、基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 分别消去分别消去(1-3)、(2-3)，可得关于，可得关于l和和m的两个三次方程式：的两个三次方程式：(1-36)满足上两式的解有如下四种情况：满足上两式的解有如下四种情况：(1)l=0、m0，由式由式(1-22)可得，可得，n=1，由式由式(1-34)得得=0。(2)l 0、m0，由式由式(1-36)的第一式可得的第一式可得由于由于(1-3)不等于零，故不等于零，故由式由式(1-21)可得可得弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析此解代表通过（平行）2

36、并平分 1、3所夹角的平面 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 用相同的方法可得用相同的方法可得(3)l=0、m=n=(4)n=0、l=m=弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析此解代表通过（平行）此解代表通过（平行）1并并平分平分 2、3所夹角的平面所夹角的平面 此解代表通过（平行）此解代表通过（平行）3并并平分平分 1、2所夹角的平面所夹角的平面哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 将以上所得到的将以上所得到的l、m、n值代入式值代入式(1-34)中中,得到剪应力的极值得到剪应力的极值(1-37

37、)23、31、12满足如下条件满足如下条件(1-38)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 例题例题已知物体内某点的应力状态为已知物体内某点的应力状态为 x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。解：解：由式由式(1-24)，各应力不变量为，各应力不变量为代入式代入式(1-23)，得，得弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4

38、主剪应力主剪应力 例题例题已知物体内某点的应力状态为已知物体内某点的应力状态为 x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。解（续）：解（续）：由高等代数学可知，式由高等代数学可知，式(1-23)(1-23)的三次方程的根可以写成的三次方程的根可以写成 式中：式中：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 例题例题已知物体内某点的应力状态为已知物体内某点的应力状态为 x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-

39、3,z=4。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。解解（续）：（续）：将将I1、I2及及I3的值代入以上两式可以求得的值代入以上两式可以求得即即：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 例题例题已知物体内某点的应力状态为已知物体内某点的应力状态为 x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。解（续）：解（续）：于是可得：于是可得：即即：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础

40、第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-4主剪应力主剪应力 例题例题已知物体内某点的应力状态为已知物体内某点的应力状态为 x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。试求应力不变量、主应力和最大剪应力。解（续）：再由式解（续）：再由式(1-37)，可得最大剪应力，可得最大剪应力如果想要知道各个主方向的如果想要知道各个主方向的l,m,n值，可利用式（值，可利用式（1 12020）求解。）求解。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1

41、-5正八面体剪应力正八面体剪应力 (1-39)等倾面及正八面体等倾面及正八面体将以上方向余弦的值代入式将以上方向余弦的值代入式(1-25)后，则得正八面体的正应力后，则得正八面体的正应力 0为为(1-40)正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一正八面体上的正应力等于平均正应力正八面体上的正应力等于平均正应力弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-5正八面体剪应力正八面体剪应力 如将式如将式(1-39)代入式代入式(1-33)则得正八面体上的剪应力为则得正八面体上

42、的剪应力为(1-41)可以用应力第一不变量和应力第二不变量来表示，因为可以用应力第一不变量和应力第二不变量来表示，因为因此因此(1-42)正八面体上剪应力和正应力均为不变量，可以方便表示材料力学行为正八面体上剪应力和正应力均为不变量，可以方便表示材料力学行为八面体剪应力也可以用主剪应力表示，即八面体剪应力也可以用主剪应力表示，即(1-43)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.1张量概念张量概念 研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标系时按照一研究对象的分量由一

43、组坐标系变换到另一组坐标系时按照一定规律变化，这些分量的集合称为张量。定规律变化，这些分量的集合称为张量。受力物体上一点的应力状态由三个互相垂直的坐标面上的六受力物体上一点的应力状态由三个互相垂直的坐标面上的六 个应力分量或三个主应力来确定，坐标系变换时存在三个应个应力分量或三个主应力来确定，坐标系变换时存在三个应 力不变量，这一组量的集合称为应力张量。力不变量，这一组量的集合称为应力张量。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.2应力张量概念应力张量概念式中，式中，

44、ij代表应力状态的各个分量，代表应力状态的各个分量，角标角标i=x、y或或z，j=x、y或或z；重复角标分量重复角标分量 xx、yy、zz；不重复角标分量不重复角标分量 xy、xz、yx、yz、zx、zy已知坐标系已知坐标系(x,y,z)中的应力，中的应力，则则(x,y,z)中的应力也可以知道，中的应力也可以知道，应力分量是按照一定规律变化。应力分量是按照一定规律变化。受力物体某点的应力状态，受力物体某点的应力状态，不应因选择不同的坐标系而变化，不应因选择不同的坐标系而变化，应力张量有其不变量存在。应力张量有其不变量存在。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析

45、哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量实验背景：实验背景：实践中发现三向等压应力并不引起塑性变形实践中发现三向等压应力并不引起塑性变形例如：铅在室温下的例如：铅在室温下的 s约为约为20MPa铅块在密闭油缸中加上铅块在密闭油缸中加上2000MPa的高压油，卸压后，铅试的高压油，卸压后，铅试样并不呈现显著的塑性变形样并不呈现显著的塑性变形 应力张量中一部分量对塑性变形不起作用，应力张量中一部分量对塑性变形不起作用，一部分量对塑性变形起作用。一部分量对塑性变形起作用。主应力空间中，当主应力空间中

46、，当 1 2 3时，全应力端点的轨迹为球面，时，全应力端点的轨迹为球面，在任何方向截面上都不存在剪应力。在任何方向截面上都不存在剪应力。从塑性变形机理知，无论是滑移、双晶或晶界滑移，都主要是与从塑性变形机理知，无论是滑移、双晶或晶界滑移，都主要是与 剪应力有关。剪应力有关。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量应力张量分解成两部分，一部分是反映平均应力应力张量分解成两部分，一部分是反映平均应力(m)大小的球张量，大小的球

47、张量，另一部分就是应力偏量，即另一部分就是应力偏量，即 上式写成张量缩写符号上式写成张量缩写符号式中式中 ijKroneker符号，当符号，当i=j，=1；i j，=0；kk求和记号，角标用同样母表示并依次取求和记号，角标用同样母表示并依次取x、y、z相加，即相加，即 kk x+y+z弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量应力偏量的分量，应力偏量的分量，。应力偏量与应力张量一样，也有三个不变量应力偏量与应力张量一样，也有

48、三个不变量J1、J2及及J3。式中：式中：I1应力张量第一不变量应力张量第一不变量I2应力张量第二不变量应力张量第二不变量I3应力张量第三不变量应力张量第三不变量弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量J2与屈服准则相关与屈服准则相关 J3决定应变的类型决定应变的类型(伸长类、缩短类或平面应变类伸长类、缩短类或平面应变类)应力偏量对塑性加工是一个重要的概念应力偏量对塑性加工是一个重要的概念分析简单拉伸分析简单拉伸、拉拔及挤

49、压变形区中典型部位应力状态：拉拔及挤压变形区中典型部位应力状态：v主应力的数目不等主应力的数目不等(简单拉伸是单向应力、拉拔及挤压是三向应力简单拉伸是单向应力、拉拔及挤压是三向应力)v且符号不一且符号不一(简单拉伸只有拉应力，挤压只有压应力，拉拔则有拉有压简单拉伸只有拉应力，挤压只有压应力，拉拔则有拉有压)v应力偏量却很相似应力偏量却很相似(对比以上各工序的应变简图与应力偏量简图，可见其符号对比以上各工序的应变简图与应力偏量简图，可见其符号是一致的是一致的)，所以产生类似的变形，即轴向伸长横向收缩。，所以产生类似的变形，即轴向伸长横向收缩。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章

50、 应力分析应力分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量 简单拉伸简单拉伸：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析应力应力状态状态分析分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张量及应力偏量 1.6.3应力张量球张量与偏张量应力张量球张量与偏张量 拉拔拉拔：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第一章第一章 应力分析应力分析应力应力状态状态分析分析哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院1-6应力张量及应力偏量应力张