振动系统的运动微分方程课件.ppt

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1、返回总目录Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动主讲 贾启芬目录 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 Mechanical and Structural Vibration 3.1 3.1 3.1

2、 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理Mechanical and Structural Vibration 3.1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方程3.1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式3.1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程3.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 3.1 3.1 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理Mechanical and Structural Vibration 3.1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方程 3.1 3

3、.1 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理Mechanical and Structural Vibration牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式以下几种形式 3.1 3.1 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理设设质质点点系系由由n个个质质点点组组成成，其其在在理理想想约约束束的的条条件件下下，质质点点系系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有其中表示作用在质

4、点系上主动力的元功表示作用在质点系上主动力的元功表示质点系动能的微分表示质点系动能的微分3.1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式Mechanical and Structural Vibration 3.1 3.1 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理 刚刚体体的的平平面面运运动动可可简简化化为为具具有有相相同同质质量量的的平平面面图图形形在在固固定定平平面内的运动。面内的运动。(质心运动定理和相对质心动量矩定理质心运动定理和相对质心动量矩定理)得得上式称为刚体平面运动微分方程。上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可

5、求解平面运动刚体动力学的两类问题应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题 。Mechanical and Structural Vibration3.1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 3.1 3.1 3.1 3.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。普遍定理。各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程各个定理都是从不同的方面提出了建立

6、运动微分方程的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。Mechanical and Structural Vibration3.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程运动方程运动方程运动方程 如果作用于质点系的力是有势力，如果作用于质点系的力是有势力，引入拉格朗日函数：引入拉格朗日函数：保守系统的拉格朗日方程。保守系统的拉

7、格朗日方程。3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。的简单而又统一的方法。Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程广义力广义力 拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。经推导得经推导得 如果作用于质点系的力有非有势力，则广义力如果作用于质点系的力有非有势力，

8、则广义力3.2.4 完整的非保守系统的拉格朗日运动方程完整的非保守系统的拉格朗日运动方程 Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 应用拉氏方程解题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤：1.1.判定质点系的自由度判定质点系的自由度数数n，选取适宜的广义，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。有多余的（不独立）坐标。2.2.计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速度和，表示为广义速度和

9、广义坐标的函数。广义坐标的函数。Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程或 若主动力为有势力，须将势能若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐表示为广义坐标的函数。标的函数。4.4.建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微分个二阶常微分方程。方程。5.5.求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。3.3.计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：Mechanical and Structural Vibration 3

10、.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 图 摆振系统例例 图图示示系系统统，摆摆的的支支点点在在水水平平方方向向受受到到弹弹性性约约束束，其其总总刚刚度度为为k，摆摆的的质质量量为为m，摆摆长长为为l。试试用用拉拉格格朗朗日日方方程程求求出出系系统统的运动方程。的运动方程。解：解：（1）选择）选择x及及 为广义坐标为广义坐标（2）动能及势能）动能及势能动能：势能：（3）广义外力为零 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程Mechanical and Structural Vibra

11、tion 这就是摆的运动方程。当微幅振动时，取cos 1，sin=0，并可略去高阶项，则可简化为两式相减得到得到运动方程图 摆振系统（4）运动方程）运动方程Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和刚体绕质心的转角为广义坐标，即图 刚体微幅运动例例 图图示示的的刚刚体体由由四四根根拉拉伸伸弹弹簧簧支支承承，被被限限制制在在图图示示平平面面内内运运动动。图图示示位位置置为为平平衡衡位位置置。且且质质量量为为m，转转动动惯惯量量IO

12、。试试导导出出微微幅幅运运动动微微分方程。分方程。并且四根弹簧端点的坐标分别为Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 图刚体微幅运动系统的动能为系统的势能为计算拉格朗日方程中各项导数拉格朗日方程Mechanical and Structural Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为图 刚体微幅运动Mechanical and Structural

13、Vibration 3.2 3.2 3.2 3.2 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程 例例 已知：弹性系数为已知：弹性系数为k ，滑块质量为，滑块质量为m1,水平面水平面光滑单摆长光滑单摆长l，摆锤质量为，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运，试列出该系统的运动微分方程。动微分方程。解：系统为二自由度保守系解：系统为二自由度保守系统。取统。取x ,为广义坐标，为广义坐标，x 轴轴 原点位于弹簧自然长度位原点位于弹簧自然长度位置，置，逆时针转向为正。逆时针转向为正。例例 题题Mechanical and Structural Vibration系统动能：系统动能：例

14、例 题题Mechanical and Structural Vibration 系统势能：（以弹系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，簧原长为弹性势能零点，滑块滑块A A所在平面为重力所在平面为重力势能零点）势能零点）拉格朗日函数：拉格朗日函数：例例 题题Mechanical and Structural Vibration代入代入拉氏方程拉氏方程：化简得：化简得：系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。例例 题题Mechanical and Structural Vibration 上式为系统在平衡位置上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动附近微幅运动的微分方程。的微分方程。若系统

15、在平衡位置附近作微幅运动，此时若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 5o,cos 1,sin ，略去二阶以上无穷小量，则略去二阶以上无穷小量，则 例例 题题Mechanical and Structural Vibration 例题例题例例 均质圆柱体的半径为均质圆柱体的半径为r，质量为，质量为mO，在水平面上滚动而无滑，在水平面上滚动而无滑动。在其中心水平轴动。在其中心水平轴O上，装有一细长杆的单摆，摆长上，装有一细长杆的单摆，摆长l，集中，集中质量为质量为m。细长杆的质量不计。求此系统在其平衡位置附近作。细长杆的质量不计。求此系统在其平衡位置附近作微幅摆动的固有频率。微幅摆动的固有频率。M

16、echanical and Structural Vibration 例题例题系统的动能为均质圆柱体的动能与集中质量动能的算术和系统的动能为均质圆柱体的动能与集中质量动能的算术和Mechanical and Structural Vibration 例题例题选取通过选取通过O轴的水平面为重力的零势能平面，此系统的势能函轴的水平面为重力的零势能平面，此系统的势能函数、拉格朗日函数为数、拉格朗日函数为对于广义坐标对于广义坐标 来说，来说，Mechanical and Structural Vibration 例题例题或对于广义坐标来说，Mechanical and Structural Vibra

17、tion 例题例题分析此系统在其平衡位置附近的微幅运动，即 都很小，sin=、sin2=2、cos=1、sin2=0、=0Mechanical and Structural Vibration 例例 楔形体重楔形体重P，倾角，倾角，在光滑水平面上。圆柱，在光滑水平面上。圆柱体重体重Q，半径为，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最高点。试求：体在斜面最高点。试求：(1)(1)系统的运动微分方程；系统的运动微分方程；(2)(2)楔形体的加速度。楔形体的加速度。解：研究整体系统。解：研究整体系统。具有两个自由度。具有两个自由度。取广义坐标为取广义坐标为x

18、 x,s s ；各坐标原点均在初各坐标原点均在初始位置。始位置。例例 题题Mechanical and Structural Vibration系统的动能：系统的动能：系统的势能：系统的势能：取水平面为重力势能零点。取水平面为重力势能零点。例例 题题Mechanical and Structural Vibration代入保守系统拉氏方程代入保守系统拉氏方程拉格朗日函数：拉格朗日函数：并适当化简，得到系统的运动微分方程。并适当化简，得到系统的运动微分方程。例例 题题Mechanical and Structural Vibration解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为 拉格朗日函数拉格朗

19、日函数L中不显含中不显含 t ，故系统存在，故系统存在能量积分。能量积分。例例 题题Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程一般情况下，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式具有以

20、下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和加速度矢量加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。Mechanical and Structural Vibration 质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 刚度矩阵中的元素称刚度影响系数刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称在单自由度系统中，简称弹性常数弹性常

21、数)。它表示系统单位变形所需的作用力。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，具体地说，如果使第如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标个质量坐标方向施加的力，定义为方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度影响系数kij；在第；在第j个质量坐标方个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法义，可直接写出刚度矩阵，从而建立

22、作用力方程，这种方法称为称为影响系数法影响系数法。刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。画出各物块的受力图根据平衡条件，有画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3

23、.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 画出受力图，则有画出受力图，则有同理，令同理，令画出受力图，有画出受力图，有最后令最后令Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 因此刚度矩阵为因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即Mechanical and Structural

24、 Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 Mechanical and Structural Vibration 在单自由度的弹簧在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是质量系统中，若弹簧常数是k，则，则 就是物就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数柔度影响系数，用，用 表示。表示。具体地说，仅在第具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到

25、单位力作用时相个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。n自由度系统的柔度矩阵自由度系统的柔度矩阵 为为n阶方阵，其元素阶方阵，其元素 称为柔度影响称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。系数，表示单位力产生的位移。3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程Mechanical and Structural Vibration 现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。当受到当受到F

26、1作用后，第一个弹簧的变形为作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个，第二和第三个弹簧的变形为零。弹簧的变形为零。首先施加单位力首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是所以三物块的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程F1 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分

27、别为Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 F3再令再令可得到可得到系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 柔度矩阵一般也是对称的。柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为系统的柔度矩

28、阵为Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 用柔度影响系数来建立其运动微分方程用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到应用叠加原理可得到Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 写成矩阵形式写成矩阵形式位移方程位移方程

29、是非奇异的，即 的逆矩阵存在与作用力方程比较与作用力方程比较Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程即当刚度矩阵即当刚度矩阵是非奇异时是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。如图示系统具有刚体运动

30、，柔度矩阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 例例 试试写写出出图图所所示示刚刚体体AB的的刚刚度度矩矩阵阵并并建建立立系系统统的的运运动动微分方程。微分方程。解解：刚刚体体AB在在图图面面内内的的位位置置可可以以由由其其质质心心C的的坐坐标标yC(以以水水平位置平位置O为坐标原点，且水平运动不计为坐标原点，且水平运动不计)和绕和绕C转角转角 确定。确定。Mechanical an

31、d Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 图图为为 时时的的受受力力图图，分分别别表表示示保保持持系系统统在在该位置平衡，应加在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩点的力和力偶矩由刚体由刚体AB的平衡条件得到的平衡条件得到Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 图图为为 时时的的受受力力图图，分分别别表表示示保保持持系系统统在在该该

32、位位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。点的力。由平衡条件得由平衡条件得刚度矩阵刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 图图为为 取取任任意意值值时时，刚刚体体AB作作平平面面运运动动的的受受力力图图，根根据据达达朗朗贝贝尔尔原原理理，可可写出系统的运动微分方程写出系统的运动微分方程整理后得到整理后得到Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3

33、.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 例例 试试求求图图示示悬悬臂臂梁梁的的柔柔度度影影响响系系数数，并并建建立立其其位位移移方方程程。(梁梁的的弯弯曲曲刚刚度度为为EI，其质量不计，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有按材料力学的挠度公式，则有Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 表表示示在在m2处处施施加加单单位位力力在在m1处处产产生生的的位位移移等等于于在在m1处处施施加加单单位力在位力在m1处产生的位移。有处产生的位移。有柔度矩阵为柔度矩阵为得系统的位移方程得系统的位移方程Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程