湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题含答案.pdf

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1、湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级期末联考 数学试题 第 1页（共 4 页）1湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级期末联考数 学 试 题数 学 试 题一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1数列 na满足+1=11，1=3,则2021a（）A12B23C52D32直线cos+3+2=0的倾斜角的范围是()A.B.C.D.3与双曲线2214xy 有相同的焦点，且短半轴长为2 5的椭圆方程是（）A2214520yxB2218580yxC2212520 xyD2212520yx4等比数列na的各项均为实数，其前n项和为nS，已知314S，6634

2、S，则5(a)A2B12C4D145已知点F为抛物线C：220ypx p的焦点，过点F且倾斜角为 60的直线交抛物线C于A，B两点，若3FA FB，则p（）A12B1C32D26若,M N为圆22:(2)(2)1Cxy上任意两点，P为直线3440 xy上一个动点，则MPN的最大值是（）A45B60C90D1207在平面直角坐标系中，定义xy称为点(,)P x y的“和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为 1 的点(,)P x y的轨迹围成的图形面积为 2；（2）设P是直线240 xy上任意一点，则点(,)P x y的“和”的最小值为 2；（3）设P是直线0axyb上任意一点，则使

3、得“和”最小的点有无数个”的充要条件是1a；（4）设P是椭圆2212yx 上任意一点，则“和”的最大值为3.其中正确的结论序号为（）湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级期末联考 数学试题 第 2页（共 4 页）2A（1）（2）（3）B（1）（2）（4）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4）8若数列 ,nnab的通项公式分别是，2015(1)2nnbn，且nnab对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）A1-1)2，B3-1)2，C1-2)2，D3-2)2，二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分

4、，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚正面朝上”，事件B“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）A 12P A B14P AB C事件A与B互斥D事件A与B相互独立10关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A若数列na的前n项和2(nSanbnc a，b，c为常数）则数列na为等差数列B若数列na的前n项和122nnS，则数列na为等差数列C数列na是等差数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等差数列D数列na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等比数列；11已知正方体111

5、1ABCDABC D的棱长为 2，M为1DD的中点，N为平面ABCD内一动点，则下列命题正确的有（）A若2MN，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为B若MN与平面ABCD所成的角为3，则N的轨迹为圆C若N到直线1BB与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线D若1D N与AB所成的角为3，则N的轨迹为双曲线12已知椭圆C：222210 xyabab的左，右焦点分别是1F，2F，其中122F Fc直线l过左焦点1F与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（）A若存在2ABF，则2ABF的周长为 4aB若AB的中点为M，则22OMbkka湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级期末联考 数

6、学试题 第 3页（共 4 页）3C若2123AF AFc ，则椭圆的离心率的取值范围是5 1,52D若AB的最小值为 3c，则椭圆的离心率13e 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13设点M在直线10 xy 上，M与y轴相切，且经过点2,2，则M的半径为_.14 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知 na是“和差等比数列”，12a，23a，则使得不等式10na 的n的最小值是_15 已知圆22(2)9xy与x轴的交点分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的顶点和焦点，设1F

7、，2F分别为双曲线C的左右焦点，P为C右支上任意一点，则21224PFPF的取值范围为16在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 是线段 BC1上的点，过 A1的平面与直线 PD 垂直，当 P 在线段 BC1上运动时，平面截正方体 ABCD-A1B1C1D1所得截面面积的最小值是四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17已知线段AB的端点4,3B，端点A在圆22:14Cxy上运动.(1)点M在线段AB上，且?=13?，求点M的轨迹方程；（2）若直线 y=k(x-2)与点 M 的轨迹相交，求实数 k 的取值范围.18甲、乙两人加工一批标准直径为 50mm 的钢球共 15

8、00 个，其中甲加工了 600 个，乙加工了 900 个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取 50 个进行误差检测，其结果如下：直径误差(mm)0.30.20.100.10.20.3从甲加工的钢球中抽到的个数26820563从乙加工的钢球中抽到的个数14724662(1)估计这批钢球中直径误差不超过0.1mm的钢球的个数；(2)以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为0.2mm的钢球中湖北省重点高中智学联盟 2022 年秋季高二年级期末联考 数学试题 第 4页（共 4 页）4抽取 5 个，再从这 5 个钢球中随机抽取 2 个，求这 2 个钢球都是乙加工的概率；(3)你认

9、为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.19已知双曲线 C 的焦点 F（2，0）和离心率 e=2 33.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l:y=kx+2与曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且?2,求 k 的取值范围.20已知正项数列 na的前n项和nS，满足22NnnSan，数列 nb的前n项积为!n（n!=1 2 3 n）(1)求数列 na的通项公式；(2)令nnnca b，求数列21nnncc c的前n项和21图 1 是直角梯形ABCD，/AB CD，D90，四边形ABCE是边长为 2 的菱形，并且BCE60，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且16

10、AC(1)求证：平面1BC E 平面ABED(2)在棱1DC上是否存在点P，使得点P到平面1ABC的距离为155？若存在，求出直线EP与平面1ABC所成角的正弦值；若不存在，请说明理由22已知椭圆22122:10 xyCabab的离心率为13,1,22P为椭圆上一点，,A B为椭圆上不同两点，O为坐标原点，（1）求椭圆C的方程；（2）线段AB的中点为M，当AOB面积取最大值时，是否存在两定点,G H，使GMHM为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由（北京）股份有限1参考答案：参考答案：1B【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求2021a的值.【详解】由题可知

11、，132112,113nnaaaa，得214111,3,32213aaaa，数列 na是以 3 为周期的周期数列，20212 3 673212aaa .故选：B.2A【解析】【分析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的转化关系、三角函数的性质，考查直线的一般式方程，属于中档题.由直线的方程得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围.【解答】解：设直线的倾斜角为，则costan3，又1 cos1，所以33tan33，又0，所以故选 A3D4解：根据题意，设等比数列na的公比为q，若314S，6634S，则1q，（北京）股

12、份有限2则有616363313(1)1911(1)181aqSqqqaqSqq，解可得12q，又由314S，即312317144Saaaa，解可得18a，则451118162aa q，故选：B5C【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线AB的方程，代入C的方程，设1122,A x yB xy，根据根与系数关系即可得出1212,xx x x与p的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知12,22ppFAxFBx，代入3FA FB即可转化为关于p的二元一次方程，即可求解.【详解】由题意知,0,2pFAB的方程为3()2pyx，代入C的方程，得2233504pxpx，

13、设1122,A x yB xy，则212125,34ppxxx x；因为12,22ppFAxFBx，且3FA FB，所以12322ppxx，整理得21212342ppxxx x，所以22534234pppp，结合0p，解得32p.故选：C6B【分析】由图上易知，当P不动时，,PM PN为两切线角最大，再将MPN的最值问题转化为PC的最值问题可求.（北京）股份有限3【详解】如图，,PA PB为两切线，P为直线3440 xy上一个点，所以MPNAPB当,PM PN为两切线是取等号；又2APBAPC，故只需求maxsinAPC，1sinACAPCPCPC,又min223 24 24234PCd ，m

14、ax1sin,.263APCAPCAPB故选：B7B【分析】根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【解析】（1）当1xy时，点(,)P x y的轨迹如图，其面积为 2，正确；（2）P是直线240 xy上的一点，24yx，24xyxx43,0,4,02,34,2,x xxxxx可知，0 x，02x时递减，2x 时递增，故xy的最小值在2x 时取得，min()2xy，正确；（北京）股份有限4（3）同（2），xyxaxb，可知当1a 时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为cos,2sin,xycos2sinx

15、y，易知其最大值为3，正确.故选：B.8C【详解】试题分析：当为奇数时，由已知，所以，即，因为恒成立所以，所以，当为偶数时，由已知，所以，所以的最小值是当时，所以，所以考点：数列的函数性质9ABD【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知 AB 正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知 CD 正误.【详解】对于 AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有正，正，正，反，反，正，反，反，其中满足事件A的有正，正，正，反两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有正，正一种情况，2142P A，14P AB，A 正确，B 正确；事件A与事件B可以同时发生，事件A与事件B不互斥，C 错误；事件A

16、的发生不影响事件B的发生，事件A与事件B相互独立，D 正确.故选：ABD.10ABD【解析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.（北京）股份有限5【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，若数列 na的前n项和2nSanbnc，若0c，由等差数列的性质可得数列 na为等差数列，若0c，则数列 na从第二项起为等差数列，故A不正确；对于B，若数列 na的前n项和122nnS，可得1422a，2218224aSS，33216268aSS，则1a，2a，3a成等比数列，则数列 na不为等差数列，故B不正确；对于C，数列 na是等差数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，

17、32nnSS，即为12naaa，12nnaa，213nnaa，即为22322nnnnnnnSSSSSSSn d为常数，仍为等差数列，故C正确；对于D，数列 na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，不一定为等比数列，比如公比1q ，n为偶数，nS，2nnSS，32nnSS，均为 0，不为等比数列.故D不正确.故选：ABD.【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.11BCD【分析】设 MN 中点为 H，DM 中点为 Q，连接 PQ，计算出 PQ 可知 P 的轨迹为圆可判断A；根据已知算出 DN，可判断 B；根据抛物线定义可判断

18、 C；以 DA、DC、1DD所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，利用向量的夹角公式计算可判断 D.【详解】对于 A，设 MN 中点为 H，DM 中点为 Q，连接 HQ，则/HQ DN，且12HQDN，如图，若2MN，则所以2224 13 DNMNDM，3DN，则32HQ，所以点 H（北京）股份有限6的轨迹是以 Q 为圆心，半径为32的圆，面积234Sr，故 A 错误；对于 B，tanDMMNDDN，3MND，则33tan3DMDN，所以 N 的轨迹是以 D 为圆心，半径为33的圆，故 B 正确；对于 C，点 N 到直线1BB的距离为 BN，所以点 N 到定点 B 和直线 DC 的距离相等，

19、且 B 点不在直线 DC 上，由抛物线定义可知，N 的轨迹是抛物线，故 C 正确；对于 D，如图，以 DA、DC、1DD所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设,0N x y，10,0,2D，2,0,0A，2,2,0B，所以1,2D Nx y，0,2,0AB ，122121cos60242 D N AByD N ABxy，化简得2234yx，即221443yx，所以N的轨迹为双曲线，故 D 正确；故选：BCD.12AC【分析】根据椭圆的定义判断 A；用点差法判断 B；先算出2212211xycAF AF，进而根（北京）股份有限7据 A 在椭圆上进行消元得到2222212x

20、acca，然后结合椭圆的范围得到2222212xacca的范围，最后求出离心率的范围；根据AB的最小值为通径的长度22ba求得答案.【详解】对 A，根据椭圆的定义2ABF的周长为1122|4|AFBFAaFBF，故 A 正确；对 B，设1122,A x yB xy，则1212,22xxyyM，所以1212yykxx，1212OMyykxx，由22112222222121212122222212122222101xyyyyyxxyybababxxxxaxyab，即22OMbkka，故 B 错误；对 C，22211121111,AF AFcxycxyxyc ，根据2221121xyba222222

21、21212222,cAF AFaxacac ac ，则222225 123,52caccacea，故 C 正确；对 D，容易知道，AB的最小值为通径长度22ba，所以223bca，整理为2222323bacacac，即222320caca，两边同时除以2a，得22320ee，解得：12e，或2e（舍），所以椭圆的离心率12e，故 D 错误.故选：AC.131 或 5#5 或 1【分析】由点M在直线10 xy 上设,1M aa,圆与y轴相切,应用数形结合可得出a与半径的关系,再根据圆经过点2,2也可写出a与半径的关系，求解即可.【详解】由点M在直线10 xy 上，设,1M aa.又M与y轴相切，

22、且经过点2,2，（北京）股份有限8半径22(2)(12)raaa，且a0.解得1a 或5a .则M的半径为 1 或 5.故答案为:1 或 5145【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得345,a a a的值，从而求得正确答案.【详解】依题意，2121551aaaa，323323353aaaaaa，解得392a，44343492592aaaaaa，解得4548a，5545455485548aaaaaa，解得53241032a，所以使得不等式10na 的n的最小值是5.故答案为：51591,5【解析】22(2)9xy与x轴交点的坐标分别为1,0，5,0，故1a，5c，因为P为C右支上任意一点

23、，根据双曲线的定义有1222PFPFa，即122PFPF令24,)tPF，则22212222(2)44414444PFtttttPFtt，因为4tt在4,)上为增函数，所以44454tt，所以44(0,45tt，所以491(1,45tt，即21224PFPF9(1,5.（北京）股份有限916?17(1)22216139xy(2)k 7?4【详解】（1）解；设点00,A xy、,M x y，由题意可得13AMAB ，即0000143133xxxyyy，可得003223322xxyy，因为点A在圆C上，所以，220014xy，即2233314222xy，化简可得22216139xy，故点M的轨迹方

24、程为22216139xy.（2）k7?418(1)2Nnnan(2)前n项和为112N1 2nnn【分析】（1）首先令1n，求出首项12a，当2n时，根据1nnnaSS求出 na为等比数列，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可.（2）首先求出 nb的通项公式，进而通过（1）求出nc的通项公式，代入21nnnccc后利用裂项相消的方法进行求和即可.【详解】（1）由题意：22,NnnSan，当1n 时，可得12a，当2n时，11222,NnnSann，由-得：122,Nnnaann，（北京）股份有限10由na为正项数列，得 na是首项为2，公比为2的等比数列.因此可得12 22Nnnnan（2）

25、由于数列 nb的前n项的乘积为!n，当1n 时，得11b；当2n时，得*!2,N1!nnbn nnn；11b 符合通项，故得*Nnbn n.由（1）可知：2nnnnca bn，221112211421221 2nnnnnnnnncccnnnn，令nT为21nnnccc的前n项和，12233411111111111421 22 22 23 23 24 221212nnnnTnnn.19(1)?;(2)(?，?)(?，1)20(1)1062；(2)310；(3)乙更符合标准，理由见解析.【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过0.1mm 的个数即可；（2）先求出比例

26、，结合古典概型的概率计算即可；（3）观察表格中的数据，即可下结论.【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过0.1mm 的钢球中，甲：3360039650个，乙：3790066650个，所以这批钢球中直径误差不超过0.1mm 的钢球一共有3966661062个；（2）甲、乙加工钢球的总数之比为600:9002:3，所以抽取的 5 个钢球中，甲占 2 个，记为 A，B，乙占 3 个，记为 a，b，c，（北京）股份有限11从 5 个钢球中抽取的 2 个钢球的基本事件有：,.,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc abac bc，共十个，则全是乙加个的基本事件为：.,abac bc，共 3 个；

27、所以所求概率为310P；（3）乙加工的钢球更符合标准.理由：甲、乙各加工的 50 个钢球中直径误差为 0mm 的个数：甲有 20 个，乙有 24 个，2024；甲生产的钢球中误差达到0.3的个数较多.21(1)证明见解析(2)存在，155【分析】（1）在图 1 中，连接AC，交BE于 O，由几何关系可得ACBE，3OAOC，结合图 2 易得1AOC是二面角1ABEC的平面角，由勾股定理逆定理可证1OAOC，进而得证；（2）以OA，OB，1OC为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设1DPDC ，0,1，求得AP，同时求出平面1ABC的法向量,nx y z，由点面距离的向量公式AP ndn 求得

28、，进而求得EP，结合向量公式可求直线 EP 与平面1ABC所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示：在图 1 中，连接AC，交BE于 O，因为四边形ABCE是边长为 2 的菱形，并且60BCE，所以ACBE，且3OAOC在图 2 中，相交直线OA，1OC均与BE垂直，所以1AOC是二面角1ABEC的平面角，因为16AC，所以22211OAOCAC，1OAOC，所以平面1BG E 平面（北京）股份有限12ABED；（2）由（1）知，分别以OA，OB，1OC为 x，y，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则33,022D，10,0,3C，3,0,0A，0,1,0B，0,1,0E，13 3,32

29、2DC，33,022AD，3,1,0AB ，13,0,3AC ，3,1,0AE .设1DPDC ，0,1，则13333,32222APADDPADDC .设平面1ABC的法向量为,nx y z，则100AB nAC n ，即30330 xyxz，取1,3,1n r，因为点P到平面1ABC的距离为155，所以2 32 31555AP ndn，解得12，则3 333,442AP ，所以3 13,442EPAPAE .设直线EP与平面1ABC所成的角为，所以直线EP与平面1ABC所成角的正弦值为15sincos,5EP nEP nEPn .22（1）22143xy；（2）存在；2 2GMHM【分析】

30、（1）由离心率公式以及将点31,2P代入方程，列出方程组，进而得出方程；（2）当直线AB的斜率存在时，联立AB直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AOBS，再由二次函数的性质得出M的坐标，消去k，得出点M在椭圆221322xy上，（北京）股份有限13结合定义得出平面内存在两点,G H使得2 2GMHM，当直线AB的斜率不存在时，设出,A B坐标，由三角形面积公式以及正弦函数的性质求出M的坐标，进而得出平面内存在两点,G H使得2 2GMHM.【解析】（1）由12e，可设2,at ct，则3,bt方程化为2222143xytt又点31,2P在椭圆上，则22914143tt，解得1t 因此

31、椭圆C的方程为22143xy 2当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm联立直线AB和椭圆C的方程消去y得，2234120 xxm化简得：2223484120kxkmxm222121122221118412442223434AOBkmmSmxxmxxx xmkk 2222222222433493123434mmk mmkmkkk242222222 3342 3343434mmmkmkkk当221342mk时，S取得最大值3，即此时22234mk又1212122286,23434kmmxxyyk xxmkk，则1212,22xxyyM即2243,3434kmmMkk令22434334kmxkkmyk，则221322xy（北京）股份有限14因此平面内存在两点,G H使得2 2GMHM当直线AB的斜率不存在时，设2cos,3sinA，则2cos,3sinB2 3sincos3sin2AOBS，即当4取得最大值3此时AB中点M的坐标为(2,0)，满足方程221322xy即2 2GMHM