《朴素集合论》PPT课件.ppt
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1、前言前言 学习这门课程有两大任务:学习这门课程的学习这门课程的知识、知识、学习逻辑推理的方法学习逻辑推理的方法。一、一、首先我们要明确:拓扑学研究的是什么?拓扑学研究的对象拓扑学研究的对象就是就是高度抽象了的高度抽象了的这些数学空间的具有最基础结构的空间。这些数学空间的具有最基础结构的空间。它们只具有最基本的数学要求:它们只具有最基本的数学要求:开集开集。我。我们把这样的空间称为拓扑空间。们把这样的空间称为拓扑空间。拓扑学以拓扑空间为基本研究对象,运用集拓扑学以拓扑空间为基本研究对象,运用集合运算的知识,延拓出闭集、导集、闭包、序列、合运算的知识,延拓出闭集、导集、闭包、序列、基、子基等概念。
2、基、子基等概念。二、二、其次,只有其次,只有掌握了这门课程的证明方法掌握了这门课程的证明方法(逻(逻辑推理的方法),才能称得上学好了这门课程。辑推理的方法),才能称得上学好了这门课程。学习这门课程,提醒大家注意以下几点:(1)熟练掌握证明集合运算的常用方法。)熟练掌握证明集合运算的常用方法。如:要证明AB,A=B,A为开集(AT),f连续,A为闭集,xd(A),x收敛,X为间,正则空间,正规空间,完全正则空间,X为紧致空间等,应从哪儿入手?(2)熟练掌握各种定义、定理,因为证明某个熟练掌握各种定义、定理,因为证明某个命题,往往是从定义出发去证明的。命题,往往是从定义出发去证明的。(3)证明某个
3、命题,要证到什么程度才算证完,证明某个命题,要证到什么程度才算证完,要心中有数。证明的开头应如何写?要心中有数。证明的开头应如何写?(4 4)每一步推理均要有根有据,根据只能是每一步推理均要有根有据,根据只能是前面的定义、定理,有时也可参考一下集合的前面的定义、定理,有时也可参考一下集合的文氏图。文氏图。(5 5)证明时用到的根据切不可将数学分证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入,因为数学分析中的析中的结论想当然地引入,因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量(拓扑)空间,既实数空间是非常完美的度量(拓扑)空间,既是的,又是的,是的,又是的,。而要证的命题不一。而要证的命题不一
4、定具备这样的条件。定具备这样的条件。第第1章集合论初步章集合论初步 在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算,关系,映射以及集合的基数等方面的知识 11集合的基本概念 集合指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体一、集合的概念 1.元素、空集、单点集2.2.集合的表示法:集合的表示法:3.常见的集合与元素关系的记号常见的集合与元素关系的记号设A,B是两个集合如果,AB,我们则称A为B的子集;如果A是B的子集,但A又不等于B,即AB,AB,我们称A为B的真子集.(2)子集、真子集注:设X是一个集合,我们常用P(X)表示X的所有所有子集构
5、成的集族,称为集合X的幂集幂集例如,集合1,2的幂集是P=1,1,2,2,我们常常需要讨论以集合作为元素的集合,这类集合常称为集族集族.例如,A=1,1,2,1,2,3是一个集族.它的三个元素分别为:1,1,2,1,2,3 二、集族 三、幂集1.2集合的基本运算 一、并、交、补(差)二、运算定律(5 5)De MonganDe Mongan律律A-A-(B B C C)(A-BA-B)(A-CA-C)A-A-(BCBC)()(A-BA-B)(A-CA-C)定义1.2.2 设X是一个基础集对于X的任何一个子集A,我们称XA为A(相对于基础集X而言)的补集或余集,并且记作CA,为了方便起见有时也记
6、作 我们应当提醒读者,补集的定义与基础集的选取有关 基础集基础集13关系 定义131设X和Y是两个集合集合(x,y)|xX,yY称为X与Y的笛卡儿积,记作XY,读为X叉乘Y一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积XY完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积YX 1、笛卡儿积、笛卡儿积XY定义1.3.3 设X,Y是两个集合如果R是X与Y的笛卡儿积XY的一个子集,即 R RXYXY,则称 R是从X到 Y的一个关系 定义1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即RXY如果(x,y)R,则我们称x与y是R相关的,并且记作xRy2、关系、关系如果AX,则Y的子集 yY|存在xA使得xRy称为集合A对于关系R而言
7、的象集,或者简单地称为集合A的象集,或者称为集合A的R象,并且记作R(A),R(X)称为关系R的值域 定义1.3.5 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即RXY这时笛卡儿积YX的子集(y,x)YX|xRy是从集合Y到集合X的一个关系,我们称它为关系R的逆,并且记作3、关系的运算、关系的运算(1)、逆、原象)、逆、原象设R X Y,S YZ则 S R(x,z)XY|存在yY使得xRy并且ySz(2)复合)复合定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的一个关系则:(3)运算性质)运算性质定理1.3.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,
8、S是从集合Y到集合Z的一个关系则对于X的任意两个子集A和B,我们有:(1)R(AB)R(A)R(B);(2)R(AB)R(A)R(B);(3)(SR)(A)S(R(A)习题 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系则对于X的任意两个子集A和B以及Z中的任意一个子集C,我们有:14 等价关系定义1.4.1 设X是一个集合从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系集合X中的关系(x,x)|xX称为恒同关系,或恒同,对角线,记作(X)或 1、恒同关系、恒同关系 2、等价关系、等价关系集合X中的一个关系如果同时是自反,对称,和传递的,则称为集合X中的一个等价关系 i)
9、i)关系R是自反自反的 (X)R,对于任何xX,有xRx;ii)ii)关系R是对称对称的 R=R-1 对于任何x,yX,如果xRy则yRx;iv)iv)关系R是传递传递的 RRR,任何x,y,zX,如果xRy,yRz,则有xRz 定义1.4.3设R是集合X中的一个等价关系集合X中的两个点x,y,如果满足条件:xRy,则称x x与与y y是是R R等价的等价的,或简称为等价的;3、等价类、商集、等价类、商集对于每一个xX,集合X的子集:yX|yRx称为x的R等价类或等价类,常记作 或x,即:x=yX|yRx 集族|xX称为集合X相对于等价关系R而言的商集商集,记作XR 即:即:XR|x XRx并
10、且任何一个y都称为R等价类的一个代表元素;定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系则:(1)如果xX,则x,因而;(2)对于任意x,yX,或者=,或者证明(1)设xX,由于R是自反的,4、等价类的性质、等价类的性质因此x,所以xRx,设zxy.此时有zRx,且zRy由于R是对称的,所以xRz又由于R是传递的,所以xRy(2)对于任意x,yX,如果对于任何一个t,有tRx,由上述xRy和R的传递性可见tRy,即t这证明在初等数论中我们早就知道整数模(素数)p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类,每一个等价类记作,称为整数x的模p同余类 同理可证因此=(注意:要证或者或者,应从以下入
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