阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法.ppt

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1、日喀则市第三日喀则市第三高级中学高级中学成雁兵成雁兵 欧几里德原本欧几里德原本与公理化方法与公理化方法 本节内容本节内容 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何四四、形形式式主主义义的的公公理理化化时时期期希希尔尔伯伯特的特的几何基础几何基础五五、结结构构主主义义的的公公理理化化时时期期布布尔尔巴巴基的基的数学原本数学原本六、张景中公理几何体系六、张景中公理几何体系 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是什么是“公理公理”？公公理理

2、：在在一一个个系系统统中中已已为为反反复复的的实实践践所所证证实实而而被被 认认为为不不需需要要证证明明的的真真理理，是可以作为证明中的理论依据。是可以作为证明中的理论依据。什么是什么是“公理化方法公理化方法”？公公理理化化方方法法：从从某某些些基基本本概概念念和和基基本本命命题题出出发发，依依据据特特定定的的演演绎绎规规则则，推推导导是是系系列列定定理理，从从而而构构成成一一个个演演绎绎系系统统的方法。的方法。公理化思想方法的作用公理化思想方法的作用 (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。这种方法具有分析、总结数学知识的作用。(2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性公理化方法有利于比

3、较各门数学的实质性 异同。异同。(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性 和结构和谐性确实符合数学美的要求。和结构和谐性确实符合数学美的要求。二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本 几何原本几何原本 公元前公元前3世纪，世纪，1607年年 前前6卷译成中文卷译成中文“此此书书有有四四不不必必：不不必必疑疑，不不必必揣揣，不不必必试试，不不必必改改。有有四四不不得得：欲欲脱脱之之不不可可得得，欲欲驳驳之之不不可可得得，欲欲减减之之不不可可得得，欲欲前前后后更更

4、之之不不可可得得。有有三三至至三三能能：似似至至晦晦实实至至明明，故故能能以以其其明明明明他他人人之之至至晦晦；似似至至繁繁实实至至简简，故故能能以以其其简简简简他他人人之之繁繁；似似至至难难实实至至易易，故故能能以以其其易易易易他他人人之之难难。易易生生于于简简，简简生生于于明明，综综其其妙妙在在明明而已而已”徐光启徐光启 几何原本几何原本的主要内容的主要内容 共共13卷卷 第一卷：提出第一卷：提出23个定义、个定义、5条公设、条公设、5条公理、条公理、48个命题个命题 第第一一卷卷从从定定义义、公公设设、公公理理开开始始，接接着着用用 48个个命命题题讨讨论论了了关关于于直直线线和和由由直

5、直线构成的平面图形。线构成的平面图形。第二卷：第二卷：14个命题个命题 包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。第三卷：第三卷：37个命题个命题 包包含含圆圆心心角角、圆圆周周角角、切切线线、割割线线的的理理论论及圆幂定理等。及圆幂定理等。命题命题16 在在圆圆的的直直径径的的端端点点所所作作直直径径的的垂垂线线必必在在圆圆外外，不不能能有有其其它它的的直直线线插插在在这这垂垂线线与与圆圆之之间间，而而且且半半圆圆的的角角大大于于锐锐角角，其其余余的的角角小小于于任任意意锐锐角。角。第四卷：第四卷：16个命题个命题 包包含含圆圆的的内内接接和和外外多多边边形

6、形的的性性质质及正及正5、6边形的作图等。边形的作图等。第五卷：第五卷：25个命题个命题 内容为欧道克斯的比例论内容为欧道克斯的比例论 第七九卷：数论初步第七九卷：数论初步 第第十十卷卷：讨讨论论不不可可公公度度量量的的分分类类，包包括与整数的开方有关的几何运算。括与整数的开方有关的几何运算。第第十十一一十十三三卷卷：立立体体几几何何，分分别别由由40、18、19个个命命题题组组成成。包包含含直直线线与与平平面面的的位位置置关关系系、多多面面角角、棱棱柱柱体体、相相似似体体积之比及正多面体等积之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何 原本原本的成就：的成就：

7、集集古古代代数数学学之之大大成成，论论证证严严密密，影影响响深深远远，是是2000千千年年来来公公认认的的第第一一部部科科学学巨巨著著。其其中中作作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。原本原本的不足：的不足：原本原本的逻辑体系是不严密、不完备的的逻辑体系是不严密、不完备的 1、缺少连续公理、缺少连续公理 2、缺少合同公理、缺少合同公理 3、缺少顺序公理、缺少顺序公理 原本原本对一些基本元素（原始概念），如点、对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。线、面等进行定义，这是不可能的。四、形式主义公理化时期四、形式主义公理化时期 希尔伯特

8、的希尔伯特的几何基础几何基础 希希尔尔伯伯特特的的公公理理系系统统，放放弃弃了了欧欧氏氏体体系系中中公公理理的的直直观观显显然然性性，把把初初等等几几何何中中有有关关基基本本概概念念的的根根本本关关系系和和性性质质抽抽取取出出来来作作为为公公理理，给给出出了了一一个个自自然然、简简明明、全全面面而而又严密的几何公理系统。又严密的几何公理系统。与与欧欧氏氏公公理理系系统统不不同同的的是是，他他对对公公理理体体系系中中基基本本概概念念和和公公理理不不给给予予任任何何具具体体的的称称为为点、线、面。点、线、面。在在这这三三个个集集合合中中，引引进进用用“结结合合”、“顺顺 序序”、“合合同同”、“连

9、连续续”、“平平行行”等等词词表表示示的的五五种种关关系系，而而关关系系的的性性质质用用相相应应的五组公理来刻画。的五组公理来刻画。五、五、结构主义的公理化时期结构主义的公理化时期 布尔巴基的布尔巴基的数学原本数学原本。19世纪末世纪末20世纪初世纪初希尔伯特建立了严密的几何公理希尔伯特建立了严密的几何公理皮亚诺建立了自然数公理皮亚诺建立了自然数公理戴德金建立了实数公理戴德金建立了实数公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义勒贝格提出了可列可加的测度公理勒贝格提出了可列可加的测度公理柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义