2019中考数学试题分类汇编 知识点18 二次函数概念、性质和图象.doc

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1、1知识点知识点 1818 二次函数概念、性质和图象二次函数概念、性质和图象一、选择题1.（2018 山东滨州，10，3 分）如图，若二次函数2yaxbxc（a0）图象的对称轴为x1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0）则二次函数的最大值为abc；abc0；b4ac0；当y0 时，1x3其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4第 10 题图【答案】B【解析】由图像可知，当x1 时，函数值取到最大值，最大值为：abc,故正确；因为抛物线经过点B（1,0） ，所以当x1 时，yabc0,故错误；因为该函数图象与x轴有两个交点A、B，所以b4ac0，故错误；因为点A与点B关于直线x1 对

2、称，所以A(3，0)，根据图像可知，当y0 时，1x3，故正确；故选 B【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）已知二次函数22233yaxaxa（其中x是自变量） ，当2x 时，y随x的增大而增大，且21x 时，y的最大值为 9，则a的值为（ ）A.1或2 B.2或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为 y=a(x+1)2+3a2-a+3，对称轴为 x=-1，当2x 时，y随x的增大而增大，所以 a0，抛物线开口向上，因为21x 时，y的最大值为 9，结合对称轴及增减性可得，当 x=1 时，y=9，带入可得，a1=1，a2=-2，又因为

3、 a0，所以 a=1【知识点】二次函数，增减性23. （2018 甘肃白银，10，3）如图是二次函数2( , ,yaxbxc a b c是常数，0)a 图像的一部分，与x轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1，对于下列说法：0ab ，20ab，30ac，()(abm amb m为为常常数数），当13- ,ba 20ab 正确。当x=-1 时，yabc=3ac，由对称轴为x=1 和抛物线过x轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛物线与x轴的另一个交点则在-1 到 0 之间，所以当 x= -1 时，抛物线30yac。所以错误。 当x=1 时，抛物线yabc,此点为抛

4、物线的顶点，即抛物线的最高点，也是抛物线的最大值。当xm时，2()yambmcm ambc，此时有：()abcm ambc，即()abm amb，所以正确。抛物线过x轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛物线与x轴的另一个交点则在-1 到 0 之间，由图知，当23x时，有一部分图像位于x轴下方，说明此时0(a+c)2；点（3，y1） ， （1，y2）都在抛物线上，则有y1y2.其中正确的结论有（ ）A.4 个B.3 个C.2 个D. 1 个 【答案】B【解析】观察图象知抛物线开口向上，所以a0，对称轴在x轴负半轴，所以a，b同号，所以b0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c1，所以2b

5、a2a，2a-b0，a+cb，因为b(a+c)2不一定成立，故错误；设抛物线与x轴两交点横坐标分别为x1，x2且x1在x2左边，因为x1-31-x2，所以y1y2，正确，所以正确的个数是 3，故选B.【知识点】二次函数图象 数形结合 2511. （2018 广东广州，11，3 分）已知二次函数yx2，当x0 时，y随x的增大而_（填“增大”或“减小” ） 【答案】增大【解析】二次函数yx2的图像为抛物线，开口向上，对称轴为y轴，在对称轴的右侧（x0） ，y随x的增大而增大【知识点】二次函数的图像和性质12. （2018 广东省深圳市，11，3 分）二次函数2(0)yaxbxc a的图像如图所示

6、，下列结论正确是( )A0abc B20abC30ac D230axbxc有两个不相等的实数根【答案】B【思路分析】根据二次函数图象开口判断a的符号，再由“左同右异”判断b的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据抛物线对称轴判断 2ab的符号，当x1 时，yabca2ac3ac，故可根据x1 时，y值的符号判断ac的符号；由当y3 时对应的x值的个数可以判断出230axbxc的实数根情况【解析】由二次函数图象开口向下可知，a0，由“左同右异”可知b0，由图象与 y 轴交于正半轴可知c0，故abc0，故A选项错误；由图象可知，对称轴为：直线x1，即12ba，则b2a，故2ab0，故

7、B选项正确；当x1 时，yabca2ac3ac，由图象与 x 轴交于（1，0）可知，当x1 时，y0，即 3ac0，故C选项错误；当y3 时，23axbxc，即230axbxc，由图象可知，当y3 时x1，故230axbxc有两个相等的实数根错误，故 D 选项错误；故选 B【知识点】二次函数；对称轴；开口方向；点的坐标2613. （2018 贵州安顺，T10，F3）已知二次函数20(0)axbxca的图象如图，分析下列四个结论：abc0;3a + c 0；(a + c)2 0，故正确；当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+c0（1） ，当 x=1 时，y0，即 a+b+c0（2） ， （1）

8、+（2）2，得6a+3c0，a0，a+（2a+c）0，故错误；x=1 时，y=a+b+c0，x=-1 时，y=a-b+c0，（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）-b0.（a+c）b，故正确.综上所述，正确的结论有 2 个，故选 B.【知识点】二次函数图象与系数的关系.14. （2018 四川雅安，11 题，3 分）已知函数 y=x，则此函数的图象大致是A B C D【答案】A【解析】由解析式可知，x0，y0，故排除 B、C 两项，因为 y=x，所以，随着 x 的增大，y 也在增大，但27是变大的速度会变慢，因此，选 A【知识点】函数的取值范围，增减性15. （2018 湖北荆门，12，3

9、分）二次函数20yaxbxc a的大致图象如图所示，顶点坐标为2, 9a，下列结论：420abc；50abc；若方程511a xx 有两个根1x和2x，且12xx，则1251xx ；若方程21axbxc有四个根，则这四个根的和为4.其中正确的结论有（ ）A1个 B2个 C.3个 D4个【答案】B.【解析】二次函数20yaxbxc a的顶点坐标为2, 9a， aabacab-944222，解得 a-cab54.抛物线的开口向上，a0，284a+2b+c=4a+8a-5a=7a0，故正确；5a-b+c=5a-4a-5a=-4a0，故错误；y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5c=a(x2+4x-

10、5)=a(x+5)(x-1)，二次函数与x轴的交点坐标为（-5，0）和（1，0） ，若方程a(x+5)(x-1)=-1 有两个根1x和2x，且12xx，则1251xx ，故正确；二次函数的对称轴为直线x=-2，若方程21axbxc有四个根，则这四个根的和为-8.故错误.故选 B.【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数与方程16.（2018 广西玉林，12 题，3 分）如图，一段抛物线 y=-x2+4(-2x2)为 C1，与 x 轴交于 A0、A1两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C1与 C2组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点

11、P1(x1,y1),P2(x2,y2)，与线段 D1D2交于点 P3(x3,y3)，设 x1,x2,x3均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取值范围是A.6t8 B.6t8 C.10t12 D.10t12【答案】C【解析】当-2x2 时，表达式为 y=-x2+4，其对称轴为 x=0，所以此时 x1+x2=0，但 x1、x2中必有一个负数，因此这种情况不考虑；由旋转的特点和方式可知，当 2x6 时，表达式为 y=(x-4)2-4，其对称轴为 x=4，所以此时 x1+x2=8，又可求得 D1(0,4)，A1(2,0)，D2(4,-4)，所以当 2x6 时，2x34，当直线 l 为 x 轴时，

12、与 C1C2有 3 个公共点，与题意不符，故舍去，因此当 2x6 时，x1+x2=8，2x34，故 10t12，选 C 【知识点】二次函数，对称性2917. （2018 湖南省永州市，9，4）在同一平面直角坐标系中，反比例函数0bybx与二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是（ ）xyOxyOxyOxyOA B C. D【答案】D【解析】A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数0bybx的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则a0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、

13、b 同号，即 b0所以反比例函数0bybx的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即b0所以反比例函数0bybx的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数0bybx的图象位于第一、三象限，故本选项正确因此，本题选 D【知识点】反比例函数、二次函数的图象与性质18. （2018 四川攀枝花，6，3）抛物线222xxy的顶点坐标为( )A.(1.1) B.(-1,1) C.(1,3) D.

14、(-1,3)【答案】A【解析】化为顶点式得，112222xxxy，所以抛物线的顶点坐标为 1 , 1，所以选 A30【知识点】抛物线的顶点19.（2018 湖北省孝感市，9，3 分）如图，在ABC中，90B，3ABcm，6BCcm，动点P从点A开始沿AB向点以B以1/cm s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2/cm s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由题意可知：PB=3-t，BQ=2t所以PBQS1 2PBBQ1 2（3t）2t2t3t由二次函数图象的性质可

15、知，PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是开口向下的抛物线故选 C【知识点】二次函数的图象；动点问题的图象.20. （2018 四川凉山州，12，4 分）二次函数20yaxbxc a的部分图象如图所示，31则下列结论错误的是（ ） A.40ab B. 0ab C. 1 5a b : D. -150xy当时，【答案】C【解析】图象开口方向向下，则 a0，又 图象对称轴为直线 x=2， 22ab，4ba ，40ab，故 A 选项正确；430abaaa ，故 B 选项正确；并且1 4a b :，故 C 选项错误；由图像可知图象与 x 轴另一交点坐标为：（5，0） ， -150xy当时，故 D

16、 项正确； 故选：C【知识点】二次函数综合，二次函数的图像与性质21. （2018 山东省泰安市，7，3）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数yaxb在同一坐标系内的大致图象是（ ）32【答案】C【解析】先由二次函数的图象确定a、b的符号，再根据a、b的符号来确定一次函数与反比例函数的图象的位置.解：二次函数的图象开口向上， a0反比例函数ayx位于一、三象限，抛物线的对称轴 y 轴左侧，02b a b0直线yaxb位于一、二、三象限，故选 C.【知识点】二次函数的图像及性质；一次函数的图像及性质；反比函数的图像及性质.22. （2018 陕西，10，3 分）对于

17、抛物线2(21)3yaxaxa，当x=1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）33A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【思路分析】根据题目给出的条件求出a的取值范围，把抛物线的顶点坐标用含字母a的代数式表示出来，得出顶点横纵坐标的符号，即可判断所在象限【解题过程】抛物线2(21)3yaxaxa，当x=1 时，y0，2130aaa 解得：a121 22ba aa ，2244 (3)(21)81 444acba aaa aaa抛物线顶点坐标为：（21 2a a，81 4a a）a1，2102a a，8104a a该抛物线的顶点一定在第三象限故选择 C【知识点】二次函数的图象和性质

18、二、填空题1. （2018 年山东省枣庄市，17，4 分）如图 1，点P从ABC的顶点B出发，沿ACB匀速运动到点A.图 2 是点P运动时，线段BP长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则ABC的面积是 .34【答案】12【思路分析】将动点P的运动过程划分为BC、CA、AB共 3 个阶段，分别进行分析，最后得出结论【解题过程】动点P运动过程中：当动点P在BC上时，BP由 0 到 5 逐渐增加，所以可得 BC=5；当动点P在AC上时，BP 先变小后变大且当 BP 垂直AC时，BP 最小为 4；当动点P在AB上时，BP由 5 到 0 逐渐减小，所以可得 AC=5，由题意可得ABC

19、 等腰三角形，AB=BC=5，且底边上高为 4， BP 垂直 AC 时，勾股定理可得AP=CP=3,所以ABC 面积=1641221 2ACBP* *= = = =【知识点】函数的图像；分类讨论思想；数形结合思想2. （2018 四川广安，题号 15，分值：3）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的有_.abc0 方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=3 2a+b=0 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 第 15 题图【答案】.【解析】二次函数 y=ax2+bx+c 的图像开口向下，a0.二次函数图像与 y 轴的交点在

20、y 轴的正半轴，c0.x=-0， 2b0，abc0.则正确；35由二次函数图像与 x 轴的交点横坐标为 3，对称轴 x=1，则另一个点的横坐标为 21-3=-1，方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1，x2=3.正确；对称轴为 x=-=1， 2则 2a+b=0.正确；二次函数图像的开口向下，对称轴为 x=1，当 0x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小.错误.故正确的有.【知识点】二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程3. （2018 四川省南充市，第 16 题，3 分）如图，抛物线2yaxbxc（a，b，c是常数，0a ）与x轴交于A，B

21、两点，顶点( , )P m n.给出下列结论：20ac；若13,2y，21,2y，31,2y在抛物线上，则123yyy；关于x的方程20axbxk有实数解，则kcn；当1na 时，ABP为等腰直角三角形，其中正确结论是 （填写序号） 36【答案】【思路分析】根据抛物线的对称轴1 2，得到a，b之间的关系，再根据当x=1 时的函数值大于 0，得到关于a，b，c的关系式，两式相加即可；结合图象，根据抛物线的增减性，直接判断即可；根据题意，易得抛物线 y=2axbxk的顶点坐标，从而可得kbmam20，利用抛物线的顶点坐标，用含m的式子表示n，然后将其代入kbmam20 即可；利用顶点坐标公式，表示

22、出n的值，又根据an1 ，可得a1 =abac 442，整理得到442 acb，利用根与系数的关系，求出AB的长度，在利用等腰直角三角形的判定证明即可.【解题过程】解：抛物线2yaxbxc的开口向上，a0，ab 20，由函数图像知（1，cba）在抛物线2yaxbxc上，cba0，（ba ）+（cba）0 即ca 20，错误；a0，x2y，从图象可以看出 x=21到对称轴的距离小于 x=21到对称轴的距离，2y3y，1y2y3y，正确；若关于x的方程02kbxax有实数解，抛物线ykbxax2与x轴有交点，抛物线ykbxax2是抛物线2yaxbxc向上或向下平移得到的.抛物线ykbxax2的顶点

23、坐标为kbmamm2，kbmam20，抛物线2yaxbxc的顶点为nmP,，cbmamn2，()kcn2kcambmckbmam20，0)(nck，nck，错误；抛物线2yaxbxc的对称轴为abx2，顶点的纵坐标为abac 442，抛物线2yaxbxc的顶点为nmP,，an1，a1=abac 442整理得：442 acb，设抛物线2yaxbxc与x轴交于 A、B 两点，01，xA ，02，xB,对称轴x=ab 2与x轴交于 D 点，如下图：371x，2x是一元二次方程02cbxax两根，1x+2x=ab，1x2x=ac，AB=21xx ，AB=aacbxxxxxxxx442212 212 2

24、121=a2，对称轴PD=x=ab 2与x轴交于 D 点，BD=21AB=a1，AD=a1=a1，BD= AD，PDAB，PBD=45，PA=PB，PBA=90，ABP为等腰直角三角形，正确.综上所述：正确的结论.【知识点】二次函数图像性质与二次函数系数的正负关系，二次函数的在区间内的单调性，二次函数图像的平移，二次函数与一元二次方程的思想，二次函数最值4. （2018 山东省淄博市，16，4 分）已知抛物线 y=x2+2x-3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧） ，将这条抛物线向右平移m（m0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）.若B、C是线段AD的三等分点

25、，则m的值为_.【答案】2 或 8【思路分析】求出点A、B的坐标，利用三等分点得到的线段相等求解.【解题过程】易求点A（-3,0） ，B（1,0） ，若平移中C在AB之间且B、C是线段AD的三等分点，则AC=CB，此时C（-1,0） ，m=2；若平移中C在B点右侧且B、C是线段AD的三等分点，则AB=BC，此时C（5,0） ，m=8.【知识点】二次函数的特征点5. （2018 四川省德阳市，题号 17，分值：3）已知函数 y=使 y=a 成立的 x 的值恰好只有 3( 2)2 2, 4, ( 6)2 2, 4.?个时，a 的值为_. 38【答案】2.【解析】画出函数解析式的图像，要使 y=a

26、成立的 x 的值恰好只有 3 个，即函数图像与 y=2 这条直线有 3 个交点，即 a=2.第 17 题答图【知识点】二次函数的应用1. （2018 武汉市，15，3 分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是2 2360tty在飞机着陆滑行中，最后 4 s滑行的距离是_m【答案】24【思路分析】由2 2360tty23(20)6002t知在飞机着陆滑行 20s时滑行的距离最大 600m，然后再求出飞机滑行 16s时滑行的距离，即可求出飞机最后 4 s滑行的距离.【解题过程】2 2360tty23(20)6002t，当t=20 时，滑行到最大距离 600m时

27、停止；当t=16 时，y=576，所以最后 4s滑行 24m.【知识点】求二次函数顶点坐标 已知自变量的值求函数值2.3.4.395.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.4030.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （2018 浙江杭州，22，12 分）设二次函数)(2babxaxy（ba,是常数，0a）（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数的图象经过A（-1,4） ，B（0，-1） ，C（1,1）三个点中的其中两个点，求该二次

28、函数的表达式；（3）若0ba，点P（2，m）(m0)在该二次函数图象上，求证：0a.【思路分析】 （1）比较根的判别式与 0 的大小关系；（2）根据函数关系式特点可判断出一定过（1,0）且不经过（1,1） ，故代入另两点求出, a b；（3）将 P 点代入结合0ba，运用等式或不等式的性质整体转换【解题过程】2222(1)0,44 ()(2 )0,12211,01,1()42,32113(3)(2,)42()320,0,aaacba abbaxababbyxxabaPmmababababbabm 二次函数与轴有个或个交点（）由（）可得，图像过（），则不经过（），即只可经过A，B两点，代入A，B

29、得：在二次函数图象上，又20,0aa即【知识点】二次函数图像与 x 轴的交点与一元二次方程解的关系；二次函数的解析式；点与函数图象的关系412. （2018 浙江湖州，19，6）已知抛物线 yax2+bx3（a0）经过点（1，0） ， （3，0） ，求a，b的值【思路分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可【解题过程】解 把点（1，0） ， （3，0）的坐标分别代入 yax2+bx3，得，.2 分0 = 3, 0 = 9 + 3 3.?解得.4 分 = 1, = 2.?即a的值为 1，b的值为2【知识点】抛物线的解析式，点的坐标3. （2018 宁波市，22 题，10 分） 已知抛物

30、线经过点（1,0） ， （0， ）. =1 22+ + 3 2（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表 =1 22+ + 达式.【思路分析】【解题过程】解（1）把（1,0）和（）代入,得0，3 2 =1 22+ + 1 2+ + = 0 =3 2?解得 = 1 =3 2?抛物线的函数表达式为 =1 22 +3 2（2） = +3 2=1 2( + 1)2+ 2顶点坐标为(-1,2)将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移 1 个单位长 =1 22 +3 2度，再向下平移 2 个单位长度(答案不唯一)42平移后的函数表达式为 =1 22【知识点】待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移