2019中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形（含解析）.doc

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1、120192019 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 3636 相似三角形相似三角形一选择题（共一选择题（共 2828 小题）小题）1（2019重庆）制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A360 元B720 元C1080 元D2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是 1206=20 元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的

2、 3 倍，则面积扩大为原来的 9 倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是 5420=1080m2，故选：C2（2019玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）A：B2：3 C4：9 D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是 2：3，其面积之比是 4：9，故选：C3（2019重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）A3cmB4cmC4.5cmD5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例

3、求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm，根据题意，得： =，2解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C4（2019内江）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为（ ）A1：1 B1：3 C1：6 D1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为 1：9，故选：D5（2019铜仁市）已知ABCDEF，相似比为 2，且ABC 的面积为 16，则DEF 的面积为（ ）A32B8C4D16【分析】由AB

4、CDEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得ABC 与DEF 的面积比为 4，又由ABC 的面积为 16，即可求得DEF 的面积【解答】解：ABCDEF，相似比为 2，ABC 与DEF 的面积比为 4，ABC 的面积为 16，DEF 的面积为：16=4故选：C6（2017重庆）已知ABCDEF，且相似比为 1：2，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1：4 B4：1 C1：2 D2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比为 1：2，ABC 与DEF 的面积比为 1：4，3故选：A7（2019临安区）如图，小正方形

5、的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）ABCD【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A、C、D 图形中的钝角都不等于 135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形 B 中的边长分别为 1 和，=，图 B 中的三角形（阴影部分）与ABC 相似，故选：B8（2019广东）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ）ABCD【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出DEB

6、C 及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比【解答】解：点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DEBC，ADEABC，=（）2=4故选：C9（2019自贡）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为4，则ABC 的面积为（ ）A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，

7、故选：D10（2019崇明县一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（ ）5A3：4 B9：16C9：1 D3：1【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16故选：B11（2019随州）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ）A1BC 1D【分析】由 D

8、EBC 可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合 SADE=S四边形 BCED，可得出=，结合 BD=ABAD 即可求出的值，此题得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，6ADEABC，（）2=SADE=S四边形 BCED，=，=1故选：C12（2019哈尔滨）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A =B =C =D =【分析】由 GEBD、GFAC 可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出=，此题得解【解答】解：GEBD

9、，GFAC，AEGABD，DFGDCA，=， =，=故选：D13（2019遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ）7A5B4C3D2【分析】先求出 AC，进而判断出ADFCAB，即可设 DF=x，AD=x，利用勾股定理求出 BD，再判断出DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，AB=5，BC=10，AC=5过点 D 作 DFAC 于 F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，设 DF=x，则 AD=x，在

10、RtABD 中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA，x=2，AD=x=2，故选：D814（2019扬州）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（ ）ABC D【分析】（1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADB

11、AECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDA9PME=AMDP、E、D、A 四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正确故选：A15（2019贵港）如图，在ABC 中，EFBC，AB=3AE，若 S四边形 BCFE=16，则 SABC=（ ）A16B18C20D24【分析】由 EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出则 SABC的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，设

12、SAEF=x，S四边形 BCFE=16，=，解得：x=2，10SABC=18，故选：B16（2019孝感）如图，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD 于点 E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AHCD 交 BD 于点 H则下列结论：ADC=15；AF=AG；AH=DF；AFGCBG；AF=（1）EF其中正确结论的个数为（ ）A5B4C3D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD 是等腰三角形且顶角CAD=150，据此可判断；求出AFP 和FAG 度数，从而得出AGF 度数，据此可判断；证ADFBAH 即可判断；由AFG=CBG=

13、60、AGF=CGB 即可得证；设 PF=x，则AF=2x、AP=x，设 EF=a，由ADFBAH 知 BH=AF=2x，根据ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证PAFEAH 得=，从而得出 a 与 x的关系即可判断【解答】解：ABC 为等边三角形，ABD 为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD 是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，11由AFGAGF 知 AFAG，故错误；记 AH 与

14、CD 的交点为 P，由 AHCD 且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF 和BAH 中，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在 RtAPF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP=x，设 EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE 中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BEBH=a+2x2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH，=，即=，整理，得：2x2=（1）ax，12由 x0 得 2x=（1）a，即 AF=（1）EF，故正确；故选：B17（

15、2019泸州）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点G，若 AE=3ED，DF=CF，则的值是（ ）ABCD【分析】如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M设 DE=a，则 AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M四边形 ABCD 是正方形，ABCD，FNAD，四边形 ANFD 是平行四边形，D=90，四边形 ANFD 是解析式，AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，

16、FM=a，13AEFM，=，故选：C18（2019临安区）如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（ ）ABCD【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故选：A19（2019恩施州）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）A6B8C10D12【分析】根据正方形的性质

17、可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的14性质可得出=2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12故选：D20（2019杭州）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，DEBC，与边 AC 交于点 E，连结BE记ADE，BCE 的面积分别为 S1，S

18、2（ ）A若 2ADAB，则 3S12S2B若 2ADAB，则 3S12S2C若 2ADAB，则 3S12S2D若 2ADAB，则 3S12S2【分析】根据题意判定ADEABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答【解答】解：如图，在ABC 中，DEBC，15ADEABC，=（）2，若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE，而 S2+SBDE2S2但是不能确定 3S1与 2S2的大小，故选项 A 不符合题意，选项 B 不符合题意若 2ADAB，即时，此时 3S1S2+SBDE2S2，故选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意故选：D21（2019永州）如图，在ABC 中，点 D

19、是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（ ）A2B4C6D8【分析】只要证明ADCACB，可得=，即 AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB，=，AC2=ADAB=28=16，AC0，16AC=4，故选：B22（2019香坊区）如图，点 D、E、F 分别是ABC 的边 AB、AC、BC 上的点，若DEBC，EFAB，则下列比例式一定成立的是（ ）A =B =C =D =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论【解答】解：DEBC，DEBC，ADEABC，EFAB，EFAB，CEFCAB，D

20、EBC，EFAB，四边形 BDEF 是平行四边形，DE=BF，EF=BD，正确，故选：C1723（2019荆门）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF、BE 交于点 G，则 SEFG：SABG=（ ）A1：3 B3：1 C1：9 D9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFGBAG，=（）2=，故选：C24（2019达州）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF=AC连接DE，DF 并

21、延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则的值为（ ）ABCD1【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GHAC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=， =，由此即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形18AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHAC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C25（2019南充）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结

22、 AP，过点 B 作BEAP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CHBE 于点 G，交 AB 于点 H，连接 HF下列结论正确的是（ ）19ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先证明 BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明CEHCBH，RtHFERtHFA，利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解：连接 EH四边形 ABCD 是正方形，CD=ABBC=AD=2，CDAB，BEAP，CHBE，CHPA，四边形 CPAH 是平行四边形，CP=AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在 RtABE 中，AH=HB，EH=HB，

23、HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项 A 错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABCCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA，RtHFERtHFA，AF=EF，设 EF=AF=x，在 RtCDF 中，有 22+（2x）2=（2+x）2，20x=，EF=，故 B 错误，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH=，故 C 错误HF=，EF=，FC=HF2=EFFC，故 D 正确，故选：D26（2019临沂）如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物 CD 的高是（ ）A9.3m B10.

24、5mC12.4mD14m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出 CD 即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B27（2019长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长21为（ ）A五丈 B四丈五尺 C一丈 D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出

25、结论【解答】解：设竹竿的长度为 x 尺，竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5 尺，影长五寸=0.5 尺，解得 x=45（尺）故选：B28（2019绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为（ ）A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD 知ABOCDO，据此得=，将已知数据代入即可得【解答】解：ABBD，CDBD，ABO=CDO=90，又AOB=COD，ABOC

26、DO，则=，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，=，22解得：CD=0.4，故选：C二填空题（共二填空题（共 7 7 小题）小题）29（2019邵阳）如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF写出图中任意一对相似三角形： ADFECF 【分析】利用平行四边形的性质得到 ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF30（2019北京）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点F，若 AB=

27、4，AD=3，则 CF 的长为 【分析】根据矩形的性质可得出 ABCD，进而可得出FAE=FCD，结合AFE=CFD（对顶角相等）可得出AFECFD，利用相似三角形的性质可得出=2，利用勾股定理可求出 AC 的长度，再结合 CF=AC，即可求出 CF 的长【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，AB=CD，AD=BC，ABCD，FAE=FCD，23又AFE=CFD，AFECFD，=2AC=5，CF=AC=5=故答案为：31（2019包头）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF若 SAEF=1，则 SA

28、DF的值为 【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2a、BE=3a，根据 EFBC 得=（）2=，结合 SAEF=1 知 SADC=SABC=，再由=知=，继而根据 SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，可设 AE=2a、BE=3a，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，24SABC=，四边形 ABCD 是平行四边形，SADC=SABC=，EFBC，=，=，SADF=SADC=，故答案为：32（2019资阳）已知：如图，ABC 的面积为 12，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为 9 【分析】设四边形 BCED 的面积为

29、x，则 SADE=12x，由题意知 DEBC 且 DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE=12x，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，且 DE=BC，ADEABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形 BCED 的面积为 9，25故答案为：933（2019泰安）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古

30、代的长度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直线 AC 上）？请你计算 KC 的长为 步【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出 CK 的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH，=，即=，CK=答：KC 的长为步故答案为2634（2019岳阳）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短

31、直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步【分析】如图 1，根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论；如图 2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值【解答】解：如图 1，四边形 CDEF 是正方形，CD=ED，DECF，设 ED=x，则 CD=x，AD=12x，DECF，ADE=C，AED=B，ADEACB，x=，如图 2，四边形 DGFE 是正方形，过 C 作 CPAB 于 P，交 DG 于 Q，27设 ED=x，SABC=ACBC=ABCP，125=13CP，CP=，同理得：CDGCAB，x=

32、，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：35（2019吉林）如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，B=C=90，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽 AB= 100 m28【分析】由两角对应相等可得BADCED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB【解答】解：ADB=EDC，ABC=ECD=90，ABDECD，解得：AB=（米）故答案为：100三解答题（共三解答题（共 1515 小题）小题）36（2019张家界）如图，点 P 是O 的直径 AB 延长线上一点，且 AB=4，点 M 为上一个动点（不与 A，B 重合），射线 PM 与O 交于

33、点 N（不与 M 重合）（1）当 M 在什么位置时，MAB 的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：PANPMB【分析】（1）当 M 在弧 AB 中点时，三角形 MAB 面积最大，此时 OM 与 AB 垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】解：（1）当点 M 在的中点处时，MAB 面积最大，此时 OMAB，OM=AB=4=2，29SABM=ABOM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PANPMB37（2019株洲）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中AM=AN（1

34、）求证：RtABMRtAND；（2）线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=，求 tanABM 的值【分析】（1）利用 HL 证明即可；（2）想办法证明DNTAMT，可得由 AT=，推出，在 RtABM 中，tanABM=【解答】解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=，RtABM30tanABM=38（2019大庆）如图，AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作EC

35、OB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC2=CECP；（3）当 AB=4且=时，求劣弧的长度【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明CBECPB，可得=解决问题；（3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出 BM，求出 tanBCM 的值即可解决问题；【解答】（1）证明：AB 是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，即 AC 平

36、分FAB（2）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF 是O 的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，31CD 是直径，CBD=CBP=90，CBECPB，=，BC2=CECP；（3）解：作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD 是直径，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120的长=39（2019江西）如图，在A

37、BC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长32【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出 BC=CD=4，证AEBCED，得出比例式，求出 AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD 为ABC 的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=440（2019上海）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EF=AEBE；（

38、2）联结 BF，如课=求证：EF=EP33【分析】（1）利用正方形的性质得 AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则 BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和 AF=BE 得到=，则可判定 RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE 和DAF 中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，=，而 AF=BE，=，

39、=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，345=1，4=5，即 BE 平分FBP，而 BEEP，EF=EP41（2019东营）如图，CD 是O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若 BD=AD，AC=3，求 CD 的长【分析】（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB 可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出 CD 的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示OB=OD，OBD

40、=ODBCD 是O 的切线，OD 是O 的半径，ODB+BDC=90AB 是O 的直径，ADB=90，35OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=242（2019南京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作AFDE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求O 的半径【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先证明 CG 是直径，求出 CG 即

41、可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC=90，CDF+ADF=90，AFDE，36AFD=90，DAF+ADF=90，DAF=CDF，四边形 GFCD 是O 的内接四边形，FCD+DGF=180，FGA+DGF=180，FGA=FCD，AFGDFC（2）解：如图，连接 CGEAD=AFD=90，EDA=ADF，EDAADF，=，即=，AFGDFC，=，=，在正方形 ABCD 中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DAAG=41=3，CG=5，CDG=90，CG 是O 的直径，O 的半径为3743（2019滨州）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，ADCD 于点

42、D，且 AC 平分DAB，求证：（1）直线 DC 是O 的切线；（2）AC2=2ADAO【分析】（1）连接 OC，由 OA=OC、AC 平分DAB 知OAC=OCA=DAC，据此知 OCAD，根据 ADDC 即可得证；（2）连接 BC，证DACCAB 即可得【解答】解：（1）如图，连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC 平分DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OCAD，又ADCD，OCDC，DC 是O 的切线；（2）连接 BC，AB 为O 的直径，AB=2AO，ACB=90，ADDC，38ADC=ACB=90，又DAC=CAB，DACCAB，=，即 AC2=ABAD，AB=2AO，A

43、C2=2ADAO44（2019十堰）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，过点 D 作 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：FG 是O 的切线；（2）若 tanC=2，求的值【分析】（1）欲证明 FG 是O 的切线，只要证明 ODFG；（2）由GDBGAD，设 BG=a可得=，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接 AD、ODAB 是直径，ADB=90，即 ADBC，AC=AB，39CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG 是O 的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，设 BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：445（2019杭州）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DEAB 于点 E（1）求证：BDECAD（2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长【分析】（1）想办法证明B=C，DE